江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

2019—2020 学年度第一学期高一年级期中考试 数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，每题只有一个选项符合要求） 1.设集合 ，则 = ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据并集的定义求解即可 【详解】由题,则 , 故选：D 【点睛】本题考查并集的定义,考查列举法表示集合,属于基础题 2.函数 （ 且 ）的图象恒过定点( ) A. （0，4） B. （1，2） C. （-1，4） D. （-1，2） 【答案】C 【解析】 【分析】 令 ,可得 ,代入 中,可得 ,即可求得定点 【详解】由题,令 ,可得 , 则 ,所以定点为 故选：C 【点睛】本题考查指数型函数图象恒过定点问题,属于基础题 3.若函数 则 f(log43)等于( ) A. B. 3 C. D. -3 { } { }0,1,2,3 , 1,3,5A B= = A B { }0,5 { }1,3 { }1,3,5 { }0,1,2,3,5 { }0,1,2,3,5A B∪ = 1( ) 2 2xf x a += + 0a > 1a ≠ 1 0x + = 1x = − ( )f x ( )1f − 1 0x + = 1x = − ( ) 1 11 2 2 2 2 4f a− +− = + = + = ( )1,4− 1 , [ 1,0),( ) 4 4 , [0,1], x x xf x x   ∈ − =    ∈ 1 3 1 3 − 【答案】B 【解析】 【分析】 可判断 ,代入 即可 【详解】由题,因为 ,所以 故选：B 【点睛】本题考查对数运算性质的应用,考查分段函数求值 4.函数 f（x）=lnx+2x-6 的零点 x0 所在区间是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 判断函数是连续增函数，利用函数的领导品牌定理，从而得到函数 f（x）=lnx+2x-6 的零点 所在的区间． 【详解】∵连续函数 f（x）=lnx+2x-6 是增函数，∴f（2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，f（3）=ln3 ＞0， ∴f（2）•f（3）＜0，故函数 f（x）=lnx+2x-6 的零点所在的区间为（2，3）， 故选 C． 【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 5.设 ，则( ) A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 借助特殊值 ,利用指数函数,对数函数的单调性判断即可 【详解】由题, , , , 则 , . [ ]4log 3 0,1∈ ( ) 4xf x = 4 4 40 log 1 log 3 log 4 1= < < = ( ) 4log 3 4log 3 4 3f = = ( )0,1 ( )1,2 ( )2,3 ( )3,4 0.9 9 99 , 0.9 , log 0.9x y z= = = z y x< < z x y< < y z x< < y x z< < 0,1 0.9 09 9 1x = > = 9 00 0.9 0.9 1y< = < = 9 9log 0.9 log 1 0z = < = 0 1z y x< < < < 故选：A 【点睛】本题考查指数,对数比较大小问题,考查借助中间值比较大小,考查指数函数,对数函 数的单调性的应用 6.函数 在区间 上的最大值是 5，最小值是 1，则 m 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用配方法可得 ,则 , ,根据二次函数的对称性即可判 断 的范围 【详解】由题, , 因为 , ,且对称轴为 , 所以 , 因为 在区间 上的最大值是 5,最小值是 1, 所以 故选：B 【点睛】本题考查已知二次函数最值求参数问题,属于基础题 7. 是定义域为 上的奇函数，当 时， 为常数），则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：因为 是定义域为 且 是奇函数，所以 ， 所 以 ， ， ，故选 D. 2( ) 4 5f x x x= − + [0, ]m [2, )+∞ [2,4] ( ,2]−∞ [0,2] ( ) ( )22 1f x x= − + ( )0 5f = ( )2 1f = m ( ) ( )22 1f x x= − + ( )0 5f = ( )2 1f = 2x = ( )4 5f = ( )f x [0, ]m 2 4m≤ ≤ ( )f x R 0x ≥ ( ) 2 2 (xf x x m m= + + ( )2f − = 9 7 9− 7− ( )f x R ( )f x ( ) ( ) ( )0 0 0 0f f f= − ⇒ = ( ) 00 2 2 0 1 0f m m= + × + = + = 1m = − ( ) ( ) 22 2 2 2 2 1 7f f  − = − = − + × − = −  考点：1、函数的奇偶性；2、分段函数的解析式. 8.已知函数 ，则 的递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 令 ，则 是 上的减函数，而 的 递增区间是 ，根据复合函数的同增异减原则知， 的递减区 间是 ，故选 C. 9.若 ，且角 的终边与角 的终边垂直，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先得到角 的终边相同的角的集合为 ,因为角 的终边 与角 的终边垂直,所以角 的终边相同的角的集合为 或 ,再根据 确定角 的值 【详解】由题,设角 的终边相同的角的集合为 , 因为角 的终边与角 的终边垂直,则 或 所以角 的终边相同的角的集合为 ( ) 2 1 3 log ( 2 3)f x x x= − + + ( )f x ,1− ∞（ ） 3, 1− −（ ） 1,1−（ ） 1（， ）+ ∞ 2 2 3( 0)t x x t= − + + > 1 3 logy t= (0, )+∞ 2 2 3( 0)t x x t= − + + > ( 1,1)− ( ) ( )2 1 3 log 2 3f x x x= − + + ( 1,1)− 2 4π α π< < α 7 6 π− =α 7 3 π 10 3 π 4 7 3 3 π π或 7 10 3 3 π π或 7 6 π− 5| 2 ,6B k k Zβ β π π = = + ∈   α 7 6 π− α 4| 2 ,3A k k Zα α π π = = + ∈   | 2 ,3A k k Z πα α π = = + ∈   2 4π α π< < α 7 6 π− 7 5| 2 , | 2 ,6 6B k k Z k k Zβ β π π β β π π   = = − + ∈ = = + ∈       α 7 6 π− 2 πα β= + 2 πα β= − α 或 , 因为 ,所以当 时, 或 , 故选：D 【点睛】本题考查终边相同的角的应用,考查角的终边的位置关系 10.某厂原来月产量为 ，一月份增产 ，二月份比一月份减产 ，设二月份产量为 ， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：因为一月份增产 ，所以一月份的产量为 ，又因为二月份比一月份减产 ，所以二月份产量为 ，故选 C. 考点： 阅读能力及数学建模思想的应用. 11.已知幂函数 ，对任意 ，且 ，有 ，若函数 （其中 且 ）在 R 上单 调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由幂函数定义及函数单调性可解得 ,即 ,则 ,又 由于 在 R 上单调递增,可得 ,解出不等式即可 【详解】因 幂函数,所以 ,解得 或 ,为 4| 2 ,3A k k Zα α π π = = + ∈   | 2 ,3A k k Z πα α π = = + ∈   2 4π α π< < 1k = 10 3 πα = 7 3 π b 0 030 0 030 a 0.99a b= a b= 0.91a b= a b> 0 030 1.3b 0 030 01.3 70 0b× = 0.91b 2 1( ) ( 1) mf x m m x −= − − 1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2x x≠ 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x − >− ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1, 1 log , 1a a f x xF x f x x  − − ≤=  > 0a > 1a ≠ (2,3] (1,3] (4, )+∞ (2,4] 2m = ( )f x x= ( ) ( )2 1, 1 log , 1a a x xF x x x  − − ≤=  > ( )F x ( ) 2 0 1 2 1 1 log 1a a a a  − >  >  − × − ≤ 2 1 1m m− − = 2m = 1m = − 因为对任意 ,且 ,有 , 所以 在 单调递增,则 ,即 , 所以 ,则 , 所以 , 又因为 在 R 上单调递增,所以 ,解得 故选：A 【点睛】本题考查幂函数的定义及幂函数的单调性的应用,考查分段函数已知单调性求参问题 12.已知定义在 上的函数 和 的图象如图 给出下列四个命题： ①方程 有且仅有 个根；②方程 有且仅有 个根； ③方程 有且仅有 个根；④方程 有且仅有 个根； 其中正确命题的序号是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 根据图象可得 ， ①由于满足方程 的 有三个不同值，由于每个值 对应了 2 个 值， 1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2x x≠ 1 2 1 2 ( ) ( ) 0f x f x x x − >− ( )f x ( )0, ∞+ 1 0m − > 1m > 2m = ( )f x x= ( ) ( )2 1, 1 log , 1a a x xF x x x  − − ≤=  > ( )F x ( ) 2 0 1 2 1 1 log 1a a a a  − >  >  − × − ≤ 2 3a< ≤ [ ]2 2− , ( )y f x= ( )y g x= ( ( )) 0f g x = 6 ( ( )) 0g f x = 3 ( ( )) 0f f x = 5 ( ( )) 0g g x = 4 2 2 2 2g x f x− ≤ ≤ − ≤ ≤（ ） ， （ ） [ ] 0f g x =（ ） g x（ ） g x（ ） x 故满足 的 值有 6 个，即方程 有且仅有 6 个根，故①正确． ②由于满足方程 的 有 2 个不同的值，从图中可知， 一个 的值在 上，令一个 的值在 上． 当 的值在 上时，原方程有一个解；当 的值在 上时，原方程有 3 个 解．故满足方程 的 值有 4 个，故②不正确． ③由于满足方程 的 有 3 个不同的值，从图中可知，一个 等于 0， 一个 ，一个 ． 而当 时对应 3 个不同的 x 值；当 时，只对应一个 值； 当 时，也只对应一个 值． 故满足方程 的 值共有 5 个，故③正确． ④由于满足方程 的 值有 2 个，而结合图象可得，每个 值对应 2 个不同 的 值， 故满足方程 的 值有 4 个，即方程 有且仅有 4 个根，故④正确． 故选 D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13.已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 ∵扇形的圆心角为 ，半径为 ， ∴扇形的面积 故答案为 14.已知 ，则幂函数 的图象不可能经过第__________象限． 【答案】二、四 [ ] 0f g x =（ ） x [ ] 0f g x =（ ） [ ] 0g f x =（ ） f x（ ） f x（ ） 2 1− −（ ， ） f x（ ） 01（ ，） f x（ ） 2 1− −（ ， ） f x（ ） 01（ ，） [ ] 0g f x =（ ） x [ ] 0f f x =（ ） f x（ ） f x（ ） 2 1f x ∈ − −（ ）（ ， ） 1 2f x ∈（ ）（，） 0f x =（ ） 2 1f x ∈ − −（ ）（ ， ） x 1 2f x ∈（ ）（，） x [ ] 0f f x =（ ） x [ ] 0g g x =（ ） g x（ ） g x（ ） x [ ] 0g g x =（ ） x [ ] 0g g x =（ ） 4 π 4 2π 4 π 4 21 1S 16 22 2 4R πα π= = × × = 2π 11, ,32a  ∈ −   ay x= 【解析】 当 或 时，图象经过一、三象限，当 时，图象经过第一象限，幂函数 的图象不可能经过第二、四象限，故答案为二、四． 15.若 ，则 的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】对 ，等号两边同时取对数，得 ，即 ， 利用换元法，令 ，则 ，代入 ，由二次函数的配方， ，即 的最大值是 ，故答案为 ． 16.已知 ，函数 在区间 上的最大值是 ，则 的取值范围是 __________． 【答案】 【解析】 由 题 意 知 ， ， ， 故 ， ① 时 ， ，故符合题意；② 时 ， ， 且 ，∴ ， 故 ，故符合题意；③ 时 ， ， ， 且 ， ∴ ， 故 ， 故 不 符 合 题 意 ； ④ 时 ， ，故不符合题意．综上所述： 的取值范围是 ，故答案 为 . 【方法点睛】本题主要考查函数的解析式和函数的最值、以及分类讨论思想的应用.属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一， 尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是 1a = − 3a = 1 2a = ay x= 4 100x y⋅ = lg lgx y⋅ 4 4 100x y⋅ = ( )4lg lg100 2x y⋅ = = 1 lg lg 24 x y+ = lg ( )t y t= ∈R lg 8 4x t= − lg lgx y⋅ 2 2lg lg (8 4 ) 4 8 4( 1) 4x y t t t t t⋅ = − = − + = − − + lg lgx y⋅ 4 4 a∈R 3( ) 2 xf x a a−= − + [1,5) 4 a 5, 2  −∞   [1,5)x∈ 32 [1,4]x− ∈ 32 [1 ,4 ]x a a a− − ∈ − − 1a ≤ 3 3( ) | 2 2 [1,4]x xf x a a− −= − + = ∈ 51 2a< ≤ 1 0a− < 4 0a− > 1 4a a− ≤ − 32 [0,4 ]x a a− − ∈ − 3( ) 2 [ ,4]xf x a a a−= − + ∈ 5 42 a< ≤ 1 0a− < 4 0a− > 1 4a a− > − 32 [0,1 ]x a a− − ∈ − 3( ) 2 [ ,1]xf x a a a−= − + ∈ 4a > 3( ) 2 xf x a a−= − + = 32 2 [2 4,2 1]xa a a−− ∈ − − a 5, 2  −∞   5, 2  −∞   将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清 晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.计算下列各式的值： （1） ； （2） . 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】 （1）利用指数幂的性质运算即可； （2）利用对数的性质运算即可 详解】解：（1） （2） 【 ( ) 1 2 2 301 32 2017 34 8 −   + − +       2 1lg 4lg3 4 lg6 lg0.023 − + + − 53 18 ( ) 1 2 2 301 32 2017 34 8 −   + − +       1 2 2 39 2714 8 −   = + +       3 412 9 = + + 53 18 = 2 1lg 4lg3 4 lg6 lg0.023 − + + − ( )2 6lg3 4lg3 4 lg 0.02 = − + + ( )2lg3 2 lg300= − + 2 lg3 lg300= − + 100lg 3003  = ×   lg10000= 【点睛】本题考查利用指数幂,对数性质的运算问题,考查运算能力 18.设全集 ，集合 ， ， . （1）求 和 ； （2）若 ，求实数 的取值范围. 【答案】(1) ， (2) 或 【解析】 【分析】 （1）先解出 A，然后进行交集、补集的运算即可； （2）根据题意可得 C⊆A 可讨论 C 是否为空集，从而可求出实数 a 取值范围． 【详解】（1） ， ， （2）由 知 当 时，即 时， ，满足条件； 当 时，即 时， 且 ， 综上， 或 【点睛】本题考查描述法 定义，分式不等式的解法，交集、补集的运算，以及子集的定 义． 考查了分类讨论的数学思想，属于中档题. 19.已知角 θ 的终边上有一点 P(x，－1)(x≠0)，且 tan θ＝－x，求 sin θ＋cos θ. 【答案】 或 0 【解析】 【分析】 利用三角函数的定义可得 ,则 ,分别讨论当 和 两种情况, 再利用三角函数定义求解即可 【详解】由题,因为 ,所以 , 的 的 4= U = R 3 02 xA x x  −= < +  { }1B x x= ≥ { }2 3C x a x a= ≤ ≤ + UC A A B A C A∪ = a { }U 2 3C A x x x= ≤ − ≥或 { }1 3A B x x∩ = ≤ < >3a 1 0a− < < { }2 3A x x= − < < { }U 2 3C A x x x= ≤ − ≥或 { }1 3A B x x∩ = ≤ < A C A∪ = C A⊆ 2 3a a> + >3a =C ∅ 2 3a a≤ + 3a ≤ 2 2a > − 3 3a + < 1 0a∴− < < >3a 1 0a− < < 2− 1tan xx θ −= = − 1x = ± 1x = 1x = − 1tan xx θ −= = − 1x = ± 当 时, 为 ,则 ； 当 时, 为 ,则 , 综上, 或 0 【点睛】本题考查三角函数定义的应用,考查已知终边上一点求三角函数值,考查运算能力 20.某辆汽车以 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求 ）时,每小时的油耗（所需要的汽油量）为 升,其中 为常数, 且 ． （1）若汽车以 千米/小时的速度行驶时,每小时的油耗为 升,欲使每小时的油耗不超 过 升,求 的取值范围； （2）求该汽车行驶 千米的油耗的最小值． 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）将 x=120 代入每小时的油耗，解方程可得 k=100，由题意可得 ， 解不等式可得 x 的范围； （2）设该汽车行驶 100 千米油耗为 y 升，由题意可得 换元令 化简整理可得 t 的二次函数，讨论 t 的范围和对称轴的关系，即可得到所求最小值． 【详解】（1）由题意可得当 时, , 解得 ,由 , 即 ,解得 , 又 ,可得 , 1x = P ( )1, 1− ( ) ( )2 22 2 1 1sin cos 0 1 1 1 1 θ θ −+ = + = + − + − 1x = − P ( )1, 1− − ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1sin cos 2 1 1 1 1 θ θ − −+ = + = − − + − − + − sin cos 2θ θ+ = − x 60 120x≤ ≤ 1 4500 5 x k x  − +   k 60 120x≤ ≤ 120 11.5 9 x 100 [ ]60,100 1 4500100 95 x x  − +   100 1 4500 5y x kx x  = ⋅ − +   1t x = 120x = 1 4500 =11.55 x k x  − +   100k = 1 4500100 95 x x  − +   2 145 4500 0x x + ≤﹣ 45 100x≤ ≤ 60 120x≤ ≤ 60 100x≤ ≤ 每小时的油耗不超过 9 升, 的取值范围为 ； （2）设该汽车行驶 100 千米油耗为 升,则 令 ,则 ， 即有 ， 对称轴为 ,由 ,可得 , ①若 即 , 则当 ,即 时, ； ②若 即 , 则当 ,即 时, ． 答：当 ,该汽车行驶 100 千米的油耗的最小值为 升； 当 ,该汽车行驶 100 千米的油耗的最小值为 升． 【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用换元法和 二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题． 21.已知函数 为 上的偶函数， 为 上的奇函数，且 . （1）求 的解析式； （2）若函数 在 上只有一个零点，求实数 的 取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 x [ ]60,100 y ( )2 100 1 4500 20 9000020 60 1205 ky x k xx x x x  = ⋅ − + = − +     1t x = 1 1t ,120 60  ∈   2 2 290000 20 20 90000 +209000 900 k ky t kt t = − + = − −   9000 kt = 60 100k≤ ≤ 1 1,9000 150 90 k  ∈   1 9000 120 k  75 100k＜≤ 9000 kt = 9000x k = 2 min 20 900 ky = − 1 9000 120 k < 60 75k≤ ＜ 1 120t = 120x = min 105 4 6 ky = − 75 100k＜≤ 2 20 900 k− 60 75k≤ ＜ 105 4 6 k− ( )f x R ( )g x R ( ) ( ) ( )4log 4 1xf x g x+ = + ( )f x ( ) ( ) ( )( )2 1 log 2 2 2 02 xh x f x a a a= − ⋅ + > R a ( ) ( )4log 4 1 2 x xf x = + − [ )1 1,2  ∪ +∞   【分析】 （1）由 解之即可；（2）将函数 的解析式代入化简，把 函数 在 上只有一个零点的问题转化成方程 的根的问题，然后利用指数、对数 的运算性质进一步转化为方程 ，再通过换元法可变为方程 只有一个正根的问题，最后分成方程有两相等正根、一正跟一负根 和方程为一次方程三种情况讨论即可. 【详解】（1） 因为 ，所以 ， 即 ， 由 解之得： . （2） 进一步化简得 ， 令 得： ， 化简得： ，令 ，则 ， 即方程 只有一个正根，当 时， ，满足题意；当方程有一 正一负两根时，满足条件，则 ，所以 ；当方程有两个相等的正根时，则 ，所以 或 （舍）， 时， 满足条件. 综上，实数 的取值范围为： . 【点睛】本题主要考查利用消元法求函数的解析式及指数、对数方程根的问题通过换元法转 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 log 4 1 log 4 1 x x f x g x f x g x −  + = + − = + ( )f x ( )h x R ( ) 0h x = ( ) 21 2 2 2 2 1 0x xa a− + − = ( ) 21 2 2 1 0a t at− + − = ( ) ( ) ( )4log 4 1xf x g x+ = + ( ) ( ) ( )4log 4 1xf x g x −− + − = + ( ) ( ) ( )4log 4 1xf x g x −− = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 log 4 1 log 4 1 x x f x g x f x g x −  + = + − = + ( ) ( )4log 4 1 2 x xf x = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 24log1 1log 2 2 2 log4 2 2 221 22 xx xh x f x a axa a= − ⋅ + = ⋅ ++ − − ( ) ( )2 2 2 1 2 1 1log log 2 2 22 2 2 x x xh x a a += − ⋅ + ( ) 0h x = ( )2 2 2 2 1log log 2 2 22 x x x a a + = ⋅ + ( ) 21 2 2 2 2 1 0x xa a− + − = 2xt = 0t > ( ) 21 2 2 1 0a t at− + − = 1a = 2 4t = 1 01a − <− 1a > ( )28 4 1 0a a∆ = + − = 1 2a = 1a = − 1 2a = 2t = a [ )1 1,2  ∪ +∞   化为整式方程根的问题，试题综合性较强，对运算能力要求较高，难度中等偏上. 22.定义：若对定义域内任意 x，都有 （a 为正常数），则称函数 为“a 距”增函数． （1）若 ， (0， )，试判断 是否为“1 距”增函数，并说明理由； （2）若 ， R 是“a 距”增函数，求 a 的取值范围； （3）若 ， (﹣1， )，其中 k R，且为“2 距”增函数，求 的最小 值． 【答案】（1）见解析； （2） ； （3） . 【解析】 【分析】 （1）利用“1 距”增函数的定义证明 即可；（2）由“a 距”增函数的定 义得到 在 上恒成立，求出 a 的取值范围即可； （3）由 为“2 距”增函数可得到 在 恒成立，从而得到 恒 成 立 ， 分 类 讨 论 可 得 到 的 取 值 范 围 ， 再 由 ，可讨论出 的最小值． 【详解】（1）任意 , , 因为 , , 所以 ，所以 ，即 是“1 距”增函数． （2） . 因为 是“ 距”增函数，所以 恒成立， 因为 ,所以 在 上恒成立， ( ) ( )f x a f x+ > ( )f x ( ) 2xf x x= − x∈ +∞ ( )f x ( ) 3 1 44f x x x= − + x∈ ( ) 2 2x k xf x += x∈ +∞ ∈ ( )f x 1a > ( ) 2 4 min 2 , 2 0 1, 0 k kf x k − − < <=   ≥ ( ) ( )1 0f x f x+ − > ( ) ( ) 2 2 13 3 04f x a f x x xa a+ − = + + − > x∈R ( )f x ( ) ( )2f x f x+ > ( )1x∈ + ∞﹣， ( )2 22 2x k x x k x+ + + > + k ( ) 2 2 2 2 42 2 k kxx k xf x  + − +  = = ( )f x 0x > ( ) ( ) ( ) ( )11 2 1 2 2 1x x xf x f x x x+ + − = − + − − = −  0x > 2 1> 2 1x > ( ) ( )1 0f x f x+ − > ( )f x ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 31 1 14 4 3 34 4 4f x a f x x a x a x x x a xa a a   + − = + − + + − − + = + + −      ( )f x a 2 2 3 13 3 04x a xa a a+ + − > 0a > 2 2 13 3 04x xa a+ + − > x∈R 所以 ，解得 ，因为 ,所以 . （3）因为 ， ，且为“2 距”增函数， 所以 时， 恒成立， 即 时， 恒成立， 所以 ， 当 时， ，即 恒成立， 所以 , 得 ; 当 时， ， 得 恒成立， 所以 ,得 , 综上所述，得 . 又 ， 因为 ,所以 ， 当 时，若 ， 取最小值为 ； 当 时，若 ， 取最小值. 因为 在 R 上是单调递增函数， 所以当 ， 的最小值为 ；当 时 的最小值为 ， 即 . 【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考 查了分类讨论思想的运用，属于中档题． 2 2 1=9 12 04a a ∆ − − <   2 1a > 0a > 1a > ( ) 2 2x k xf x += ( )1,x∈ − +∞ 1x > − ( ) ( )2f x f x+ > 1x > − ( )2 22 22 2x k x x k x+ + + +> ( )2 22 2x k x x k x+ + + > + 0x ≥ ( ) ( )2 22 2x k x x kx+ + + > + 4 4 2 0x k+ + > 4 2 0k+ > 2k > − 1 0x− < < ( ) ( )2 22 2 -x k x x kx+ + + > 4 4 2 2 0x kx k+ + + > ( )( )1 2 0x k+ + > 2k > − 2k > − ( ) 2 2 2 2 42 2 k kxx k xf x  + − +  = = 1x > − 0x ≥ 0k ≥ 0x = 2 2 2 4 k kx + −   0 2 0k− < < 2 kx = − 2 2 2 4 k kx + −   2xy = 0k ≥ ( )f x 1 2 0k− < < ( )f x 2 42 k− ( ) 2 42 , 2 0 1, 0 k min kf x k − − < <=   ≥