2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第四章　6 第6讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第四章　6 第6讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

第 6 讲　函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω >0)，x∈[0，＋∞)表示一 个振动量时 A T＝ 2π ω f＝ 1 T＝ ω 2π ωx＋φ φ 2.用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： x － φ ω π 2ω－ φ ω π－φ ω 3π 2ω－ φ ω 2π－φ ω ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.三角函数图象变换的两种方法(ω>0) [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)把 y＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 1 2，纵坐标不变，所得图象对应的函 数解析式为 y＝sin 1 2x.(　　) (2)将 y＝sin 2x 的图象向右平移 π 3 个单位长度，得到 y＝sin (2x－π 3 )的图象．(　　) (3)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为 A，最小值为－A.(　　) (4)如果 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距 离为 T 2.(　　) (5)若函数 y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则 φ＝2kπ＋ π 2 (k∈Z)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× [教材衍化] 1．(必修 4P58A 组 T3 改编)函数 y＝2sin (1 2x－π 3 )的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2，4π， π 3 　　　　　　 B．2， 1 4π， π 3 C．2， 1 4π，－ π 3 D．2，4π，－ π 3 解析：选 C.由题意知 A＝2，f＝ 1 T＝ ω 2π＝ 1 4π，初相为－ π 3 . 2．(必修 4P62 例 4 改编)如图，某地一天从 6～14 时的温度变化曲线近似满足函数 y＝ Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为____________________． 解析：从图中可以看出，从 6～14 时的是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的半个周期， 所以 A＝ 1 2×(30－10)＝10，b＝ 1 2×(30＋10)＝20， 又 1 2× 2π ω ＝14－6，所以 ω＝ π 8 . 又 π 8 ×10＋φ＝2π＋2k，k∈Z，取 φ＝ 3π 4 ， 所以 y＝10sin(π 8 x＋3π 4 )＋20，x∈[6，14]. 答案：y＝10sin(π 8 x＋3π 4 )＋20，x∈[6，14] [易错纠偏] (1)搞错图象平移的单位长度； (2)搞错横坐标伸缩与 ω 的关系； (3)搞不清 f(x)在 x＝ π 2 处取最值； (4)确定不了解析式中 φ 的值． 1．将函数 y＝2sin (2x＋π 6 )的图象向右平移 1 4个周期后，所得图象对应的函数为(　　) A．y＝2sin(2x＋π 4 ) B．y＝2sin(2x＋π 3 ) C．y＝2sin(2x－π 4 ) D．y＝2sin(2x－π 3 ) 解析：选 D.函数 y＝2sin(2x＋π 6 )的周期为π，将函数 y＝2sin(2x＋ π 6 )的图象向右平移 1 4 个周期即 π 4 个单位长度，所得函数为 y＝2sin[2(x－π 4 )＋π 6 ]＝2sin(2x－π 3 )， 故选 D. 2．函数 y＝sin x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2 倍得到的图象 对应的函数解析式是________． 解析：根据函数图象变换法则可得． 答案：y＝sin 1 2x 3．若函数 f(x)＝sin ωx(0<ω<2)在区间[0， π 3 ]上单调递增，在区间[π 3 ， π 2 ]上单调递减， 则 ω＝________． 解析：由题意知当 x＝ π 3 时，函数取得最大值，所以有 sin ωπ 3 ＝1，所以 ωπ 3 ＝ π 2 ＋2k π(k∈Z)，所以 ω＝3 2＋6k(k∈Z)，又 0<ω<2，所以 ω＝ 3 2. 答案： 3 2 4．已知简谐运动 f(x)＝2sin (π 3 x＋φ)(|φ| < π 2 )的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的 初相 φ 为________． 解析：将点(0，1)代入函数表达式可得 2sin φ＝1，即 sin φ＝1 2.因为|φ|< π 2 ，所以 φ＝ π 6 . 答案： π 6 　　　　　　五点法作图及图象变换 (1)要得到函数 y＝sin (2x－π 6 )的图象，只需将函数 y＝cos 2x 的图象(　　) A．向右平移 2π 9 个单位　 　 　 B．向左平移 2π 9 个单位 C．向右平移 π 3 个单位 D．向左平移 π 3 个单位 (2)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－ π 2 <φ< π 2 )的最小正周期是π，且当 x＝ π 6 时，f(x)取得最大值 2. ①求 f(x)的解析式； ②作出 f(x)在[0，π]上的图象(要列表)． 【解】　(1)选 C.因为 y＝sin(2x－π 6 )＝ cos[ π 2 －(2x－ π 6 )]＝cos(2π 3 －2x)＝cos(2x－2π 3 )＝cos[2(x－ π 3 )]，将函数 y＝cos 2x 的图 象向右平移 π 3 个单位长度，可以得到 y＝cos [2(x－π 3 )]的图象，即 y＝sin(2x－ π 6 )的图象， 故选 C. (2)①因为函数 f(x)的最小正周期是π， 所以 ω＝2. 又因为 x＝ π 6 时，f(x)取得最大值 2. 所以 A＝2， 同时 2× π 6 ＋φ＝2kπ＋ π 2 ，k∈Z， φ＝2kπ＋ π 6 ，k∈Z，因为－ π 2 <φ< π 2 ， 所以 φ＝ π 6 ，所以函数 y＝f(x)的解析式为 f(x)＝2sin(2x＋π 6 ). ②因为 x∈[0，π]，所以 2x＋ π 6 ∈[π 6 ， 13π 6 ]， 列表如下： 2x＋ π 6 π 6 π 2 π 3π 2 2π 13π 6 x 0 π 6 5π 12 2π 3 11π 12 π f(x) 1 2 0 －2 0 1 描点、连线得图象： (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法 ①五点法：用“五点法”作 y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设 z＝ωx＋ φ，由 z 取 0， π 2 ，π， 3 2π，2π来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得 出图象． ②图象变换法：由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主 要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．　 (2)三角函数图象的左右平移时应注意的三点 ①弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象． ②注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数． ③由 y＝Asin ωx 的图象得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为|φ ω |而 不是|φ|. 1．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)函数 y＝sin(2x＋π 3 ) 的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点(－π 12，0)中心对称(　　) A．向左平移 π 12个单位长度 B．向右平移 π 12个单位长度 C．向左平移 π 6 个单位长度 D．向右平移 π 6 个单位长度 解 析 ： 选 B. 假 设 将 函 数 y ＝ sin (2x＋π 3 )的 图 象 平 移 ρ 个 单 位 长 度 得 到 y ＝ sin (2x＋2ρ＋π 3 )关于点(－π 12，0)中心对称， 所以将 x＝－ π 12代入得到 sin(－π 6 ＋2ρ＋ π 3 )＝sin(π 6 ＋2ρ)＝0， 所以 π 6 ＋2ρ＝kπ，k∈Z， 所以 ρ＝－ π 12＋ kπ 2 ， 当 k＝0 时，ρ＝－ π 12. 2．已知曲线 C1：y＝cos x，C2：y＝sin(2x＋2π 3 )，则下面结论正确的是(　　) A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度，得到曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度，得到曲线 C2 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度，得到曲线 C2 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度，得到曲线 C2 解析：选 D.易知 C1：y＝cos x＝sin(x＋π 2 )，把曲线 C1 上的各点的横坐标缩短到原来的 1 2倍，纵坐标不变，得到函数 y＝sin (2x＋π 2 )的图象，再把所得函数的图象向左平移 π 12个单 位长度，可得函数 y＝sin[2(x＋π 12)＋π 2 ] ＝sin (2x＋2π 3 )的图象，即曲线 C2，故选 D. 　　　　　　由图象确定 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 (1)(2020·温州市十校联合体期初)函数 y＝f(x)在区间 [－π 2 ，π]上的简图如图所 示，则函数 y＝f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝sin(2x＋π 3 )　　　　 B．f(x)＝sin(2x－2π 3 ) C．f(x)＝sin(x＋π 3 ) D．f(x)＝sin(x－2π 3 ) (2)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b (A > 0，ω > 0，|φ| < π 2 )的图象的一部分如图所 示，则 f(x)的表达式为________． 【解析】　(1)由图象知 A＝1， 因为 T 2＝ π 3 －(－π 6 )＝ π 2 ， 所以 T＝π，所以 ω＝2， 所以函数的解析式是 y＝sin(2x＋φ)， 因为函数的图象过点(π 3 ，0)， 所以 0＝sin(2 × π 3 ＋φ)， 所以 φ＝kπ－ 2π 3 ，k∈Z， 所以当 k＝0 时，φ＝－ 2π 3 ， 所以函数的解析式是 y＝sin(2x－2π 3 )，故选 B. (2)由图象可知，函数的最大值 M＝3，最小值 m＝－1， 则 A＝ 3－（－1） 2 ＝2，b＝ 3－1 2 ＝1， 又 T＝2(2 3π－π 6 )＝π， 所以 ω＝ 2π T ＝ 2π π ＝2， 所以 f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1， 将 x＝ π 6 ，y＝3 代入上式，得 sin(π 3 ＋φ)＝1， 所以 π 3 ＋φ＝ π 2 ＋2kπ，k∈Z， 即 φ＝ π 6 ＋2kπ，k∈Z，因为|φ|< π 2 ，所以 φ＝ π 6 ， 所以 f(x)＝2sin(2x＋π 6 )＋1. 【答案】　(1)B　(2)f(x)＝2sin(2x＋π 6 )＋1 确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求 A，b，确定函数的最大值 M 和最小值 m， 则 A＝ M－m 2 ，b＝ M＋m 2 . (2)求 ω，确定函数的最小正周期 T，则可得 ω＝ 2π T . (3)求 φ，常用的方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A，ω，b 已知)或代入图象与直线 y＝b 的 交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． ②特殊点法：确定 φ 值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下： “最大值点”(即图象的“峰点”)时 ωx＋φ ＝ π 2 ＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象 的“谷点”)时 ωx＋φ＝ 3π 2 ＋2kπ(k∈Z)．　 1.(2020·宁波市高考模拟)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－ π 2 <φ< π 2 )的部分图象如图所示，则 ω，φ的值分别是(　　) A．2，－ π 3 B．2，－ π 6 C．4，－ π 6 D．4， π 3 解析：选 A.由图可得 3 4T＝ 5π 12 －(－π 3 )＝ 3π 4 ，所以 T＝π，所以 T＝ 2π ω ＝π，ω＝2， 所以 f(x)＝2sin(2x＋φ)，又 f(x)的图象经过点(5π 12 ，2)，所以 f(5π 12 )＝2sin(5π 6 ＋φ)＝2，所 以 sin(5π 6 ＋φ)＝1，所以 5π 6 ＋φ＝ π 2 ＋2kπ(k∈Z)，即 φ＝－ π 3 ＋2kπ(k∈Z)，又－ π 2 <φ < π 2 ，所以 φ＝－ π 3 . 2．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三期中)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋π 3 )(x∈R，ω＞0)的图 象如图，P 是图象的最高点，Q 是图象的最低点，且|PQ|＝ 13. (1)求函数 y＝f(x)的解析式； (2)将函数 y＝f(x)的图象向右平移 1 个单位后得到函数 y＝g(x)的图象，当 x∈[0，2]时， 求函数 h(x)＝f(x)·g(x)的最大值． 解：(1)过 P 作 x 轴的垂线 PM，过 Q 作 y 轴的垂线 QM(图略)，则由已知得|PM|＝2，|PQ| ＝ 13，由勾股定理得|QM|＝3，所以 T＝6， 又 T＝ 2π ω ，所以 ω＝ π 3 ， 所以函数 y＝f(x)的解析式为 f(x)＝sin(π 3 x＋π 3 ). (2)将函数 y＝f(x)图象向右平移 1 个单位后得到函数 y＝g(x)的图象， 所以 g(x)＝sin π 3 x. 函数 h(x)＝f(x)·g(x)＝sin(π 3 x＋π 3 )sin π 3 x ＝ 1 2sin2 π 3 x＋ 3 2 sin π 3 xcos π 3 x ＝ 1 4(1－cos 2π 3 x)＋ 3 4 sin 2π 3 x ＝ 1 2sin(2π 3 x－π 6 )＋ 1 4. 当 x∈[0，2]时， 2π 3 x－ π 6 ∈[－π 6 ， 7π 6 ]， 所以当 2π 3 x－ π 6 ＝ π 2 ， 即 x＝1 时，h(x)max＝ 3 4. 　　　　　　三角函数图象与性质的综合应用(高频考点) 三角函数的图象与性质的综合问题是每年高考的热点内容，题型多为解答题，难度为中 档题．主要命题角度有： (1)图象变换与函数性质； (2)恒等变换与函数性质； (3)三角函数图象与性质； (4)三角函数性质与平面向量； (5)三角函数性质与解三角形((4)、(5)后面讲)． 角度一　图象变换与函数性质 将函数 f(x)＝cos 2x－sin 2x 的图象向左平移 π 8 个单位后得到函数 F(x)的图象，则 下列说法中正确的是(　　) A．函数 F(x)是奇函数，最小值是－2 B．函数 F(x)是偶函数，最小值是－2 C．函数 F(x)是奇函数，最小值是－ 2 D．函数 F(x)是偶函数，最小值是－ 2 【解析】　f(x)＝cos 2x－sin 2x＝ 2cos(2x＋π 4 )，将 f(x)的图象向左平移 π 8 个单位后得 F(x)的图象，则 F(x)＝ 2cos[2(x＋π 8 )＋π 4 ]＝ 2cos(2x＋π 2 )＝－ 2sin 2x，所以 F(x)是奇函数， 最小值为－ 2.故选 C. 【答案】　C 角度二　恒等变换与函数性质 (2019·高考浙江卷)设函数 f(x)＝sin x，x∈R. (1)已知 θ∈[0，2π)，函数 f(x＋θ)是偶函数，求 θ 的值； (2)求函数 y＝[f(x＋π 12)] 2 ＋[f(x＋π 4 )] 2 的值域． 【解】　(1)因为 f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数 x 都有 sin(x＋θ)＝sin(－x ＋θ)， 即 sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ， 故 2sin xcos θ＝0， 所以 cos θ＝0. 又 θ∈[0，2π)，因此 θ＝ π 2 或 3π 2 . (2)y＝[f(x＋π 12)] 2 ＋[f(x＋π 4 )] 2 ＝sin2(x＋π 12)＋sin2(x＋π 4 ) ＝ 1－cos(2x＋π 6 ) 2 ＋ 1－cos(2x＋π 2 ) 2 ＝1－ 1 2( 3 2 cos 2x－3 2sin 2x) ＝1－ 3 2 cos(2x＋π 3). 因此，函数的值域是[1－ 3 2 ，1＋ 3 2 ]. 角度三　三角函数图象与性质 已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中图 象最高点和最低点的横坐标分别为 π 12和 7π 12 ，图象在 y 轴上的截距为 3，给出下列四个结论： ①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的最大值为 2； ③f(π 4 )＝1；④f (x－π 6 )为奇函数． 其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　由图知，周期 T＝2(7π 12 －π 12)＝π， 则 ω＝2，由 2× π 12＋φ＝ π 2 ，得 φ＝ π 3 . 由 f(0)＝ 3，得 Asin π 3 ＝ 3，即 A＝2. 所 以 f(x) ＝ 2sin(2x＋π 3 )， 则 f(π 4 )＝ 2sin( π 2 ＋ π 3 ) ＝ 2cos π 3 ＝ 1 ， f(x－π 6 )＝ 2sin [2(x－π 6 )＋π 3 ]＝2sin 2x 为奇函数．所以四个结论都正确． 【答案】　D 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 (1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数 y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋ π 2 (k∈Z)时，函 数 y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数． (2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期，其最小正周期为 T＝ 2π ω . (3)单调性：根据 y＝sin t 和 t＝ωx＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－ π 2 ＋2kπ≤ωx＋φ≤ π 2 ＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由 π 2 ＋2kπ≤ωx＋φ≤ 3π 2 ＋2kπ(k∈Z)得单调减区间． (4)对称性：利用 y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)得其 对称中心． 利用 y＝sin x 的对称轴为 x＝kπ＋ π 2 (k∈Z)求解，令 ωx＋φ＝kπ＋ π 2 (k∈Z)得其对称轴．　 1．(2020·宁波市十校联考模拟)将函数 y＝sin (2x－π 3 )的图象向左平移 π 4 个单位长度， 所得函数图象的一条对称轴方程是(　　) A．x＝ 2 3π　　　　　　　　 B．x＝－ 1 12π C．x＝ 1 3π D．x＝ 5 12π 解 析 ： 选 A. 将 函 数 y ＝ sin (2x－π 3 )的 图 象 向 左 平 移 π 4 个 单 位 长 度 ， 可 得 y ＝ sin (2x＋π 2 －π 3 )＝sin (2x＋π 6 )的图象，令 2x＋ π 6 ＝kπ＋ π 2 ，求得 x＝ kπ 2 ＋ π 6 ，k∈Z，可得所 得函数图象的对称轴方程为 x＝ kπ 2 ＋ π 6 ，k∈Z，令 k＝1，可得所得函数图象的一条对称轴 方程为 x＝ 2π 3 ，故选 A. 2．(2020·杭州市高三期末检测)设 A，B 是函数 f(x)＝sin|ωx|与 y＝－1 的图象相邻的两 个交点，若|AB|min＝2π，则正实数 ω＝(　　) A. 1 2 B．1 C. 3 2 D．2 解析：选 B.函数 f(x)＝sin|ωx|＝{sin ωx，x ≥ 0 －sin ωx，x＜0，ω为正数，所以 f(x)的最小值是－ 1，如图所示： 设 A，B 是函数 f(x)＝sin|ωx|与 y＝－1 的图象相邻的两个交点，且|AB|min＝T＝ 2π ω ＝2 π， 解得 ω＝1.故选 B. 3．(2020·宁波市高考模拟)已知函数 f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x，a∈R，则函数 f(x)的最 小正周期为______，振幅的最小值为________． 解析：函数 f(x)＝asin 2x＋(a＋1)cos 2x，a∈R， 化简可得：f(x)＝ a2＋（a＋1）2sin(2x＋θ)＝ 2(a＋1 2 )2 ＋1 2sin(2x＋θ)，其 tan θ＝ 1＋a a . 函数 f(x)的最小正周期 T＝ 2π 2 ＝π. 振幅为 2(a＋1 2 )2 ＋1 2， 当 a＝－ 1 2时，可得振幅的最小值 2 2 . 答案：π　 2 2 核心素养系列 8　数学建模——三角函数实际问题中的核心素养 已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作 y ＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据： t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数 y＝Acos ωt＋b(A>0，ω>0)的图象．根 据以上数据， (1)求函数 f(t)的解析式； (2)求一日(持续 24 小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过 1.25 米的时间． 【解】　(1)由表格得{A＋b＝1.5， －A＋b＝0.5，解得{A＝1 2， b＝1， 又因为 T＝12，所以 ω＝ 2π 12 ＝ π 6 ， 故 y＝f(t)＝ 1 2cos π 6 t＋1. (2)由题意，令 1 2cos π 6 t＋1>1.25. 即 cos π 6 t> 1 2， 又因为 t∈[0，24]，所以 π 6 t∈[0，4π]， 故 0≤ π 6 t< π 3 或 5π 3 < π 6 t≤2π或 2π< π 6 t<2π＋ π 3 或 2π＋ 5π 3 < π 6 t≤2π＋2π， 即 0≤t<2 或 10 0，－π 2 < φ < π 2 )在 x＝ 2π 3 时取得最大值，且它的最小正周期为π，则 (　　) A．f(x)的图象过点(0， 1 2 ) B．f(x)在[π 6 ， 2π 3 ]上是减函数 C．f(x)的一个对称中心是(5π 12 ，0) D．f(x)的图象的一条对称轴是 x＝ 5π 12 解析：选 C.因为函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π， 所以 T＝ 2π ω ＝π， 所以 ω＝2，即函数 f(x)＝Asin(2x＋φ)， 又因为函数 f(x)＝Asin(2x＋φ)在 x＝ 2π 3 时取得最大值， 所以 sin(2 × 2π 3 ＋φ)＝±1， 即 2× 2π 3 ＋φ＝± π 2 ＋2kπ(k∈Z)， 又因为－ π 2 <φ< π 2 ，所以 φ＝ π 6 ， 所以 f(x)＝Asin(2x＋π 6 )，其中 A<0； 对于选项 A，因为 f(0)＝Asin π 6 ＝ A 2≠ 1 2， 所以选项 A 不正确； 对于选项 B，因为函数 f(x)＝Asin (2x＋π 6 )的单调递增区间满足 π 2 ＋2kπ≤2x＋ π 6 ≤ 3π 2 ＋2kπ， 所以 f(x)在[π 6 ， 2π 3 ]上是增函数，所以选项 B 不正确； 对于选项 C，因为 f(5π 12 )＝Asin(2 × 5π 12 ＋π 6 )＝0， 所以 f(x)的一个对称中心是(5π 12 ，0)，即选项正确； 对于选项 D，因为 f(5π 12 )＝Asin(2 × 5π 12 ＋π 6 )＝0， 所以 x＝5π 12 不是 f(x)图象的一条对称轴，即选项 D 错误．故选 C. 5．(2020·杭州中学高三月考)将函数 y＝2sin(ωx－ π 4 )(ω>0)的图象分别向左、向右各平 移 π 4 个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则 ω 的最小值为(　　) A. 1 2 B．1 C．2 D．4 解析：选 C.把函数 y＝2sin(ωx－π 4 )(ω>0)的图象向左平移 π 4 个单位长度后，所得图象对 应的函数解析式为 y1＝2sin[ω(x＋π 4 )－π 4 ]＝2sin(ωx＋ω－1 4 π)， 向右平移 π 4 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为 y2＝2sin[ω(x－π 4 )－π 4 ]＝ 2sin(ωx－ω＋1 4 π). 因为所得的两个图象对称轴重合， 所以 ωx＋ ω－1 4 π＝ωx－ ω＋1 4 π①，或 ωx＋ ω－1 4 π＝ωx－ ω＋1 4 π＋kπ，k∈Z②. 解①得 ω＝0，不合题意；解②得 ω＝2k，k∈Z. 所以 ω 的最小值为 2.故选 C. 6．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω > 0，|φ| < π 2 )的图象如图所示，则函数 y＝f(x)＋ω 图象的对称中心的坐标为(　　) A.(2 3kπ＋π 24， 3 2)(k∈Z) B.(3kπ－3π 8 ， 2 3)(k∈Z) C.(1 2kπ＋5π 8 ， 3 2)(k∈Z) D.(3 2kπ－3π 8 ， 2 3)(k∈Z) 解析：选 D.由题图可知 T 2＝ 15π 8 － 3π 8 ＝ 3π 2 ，所以 T＝3π，又 T＝ 2π ω ，所以 ω＝ 2 3，所 以 f(x)＝2sin(2 3x＋φ)，因为 f(x)的图象过点(3 8π，2)，所以 2sin(π 4 ＋φ)＝2，所以 π 4 ＋φ＝2kπ＋ π 2 (k∈Z)，所以 φ＝2kπ＋ π 4 (k∈Z)．又因为|φ|< π 2 ，所以 φ＝ π 4 .所以 f(x)＝2sin(2 3x＋π 4 ).由 2 3 x＋ π 4 ＝kπ(k∈Z)，得 x＝ 3 2kπ－ 3π 8 (k∈Z)，则函数 y＝f(x)＋ 2 3图象的对称中心的坐标为 (3 2kπ－3π 8 ， 2 3)(k∈Z)． 7．(2020·金丽衢十二校联考)若函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中 ω>0，|φ|< π 2 ，f(x) 的最小正周期为π，且 f(0)＝ 3，则 ω＝________，φ＝________． 解析：由原函数的最小正周期为π，得到 ω＝2(ω>0)，又由 f(0)＝ 3且|φ|< π 2 得到 φ＝ π 3 . 答案：2　 π 3 8．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下 表是今年前四个月的统计情况： 月份 x 1 2 3 4 收购价格 y(元/斤) 6 7 6 5 选 用 一 个 函 数 来 近 似 描 述 收 购 价 格 y( 元 / 斤 ) 与 相 应 月 份 x 之 间 的 函 数 关 系 为 ________． 解析：设 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0， ω>0)，由题意得 A＝1，B＝6，T＝4，因为 T＝ 2π ω ， 所以 ω＝ π 2 ，所以 y＝sin(π 2 x＋φ)＋6. 因为当 x＝1 时，y＝6，所以 6＝sin(π 2 ＋φ)＋6， 结合表中数据得 π 2 ＋φ＝2kπ，k∈Z， 可取 φ＝－ π 2 ，所以 y＝sin(π 2 x－π 2 )＋6＝6－cos π 2 x. 答案：y＝6－cos π 2 x 9．函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，已知图象经过点 A(0，1)， B(π 3 ，－1)，则 f(x)＝________． 解析：因为图象经过点 A(0，1)，B(π 3 ，－1)， A，B 两个点的纵坐标互为相反数，从点 A 到点 B 经过半个周期，所以 π 3 ＝ T 2＝ π ω，解 得ω＝3. 又因为图象经过点 A(0，1)，f(x)＝2sin(ωx＋φ)， 所以 1＝2sin φ，即 sin φ＝ 1 2， 所以由 0<φ<π及函数的图象可得 φ＝ π 6 ， 所以 f(x)＝2sin(3x＋π 6 ). 答案：2sin(3x＋π 6 ) 10．函数 y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M、N 分别是最高点、最低点， O 为坐标原点，且OM → ·ON→ ＝0，则函数 f(x)的最小正周期是________． 解析：由题图可知，M(1 2，1 )，N(xN，－1)， 所以OM→ ·ON→ ＝(1 2，1 )·(xN，－1)＝ 1 2xN－1＝0， 解得 xN＝2，所以函数 f(x)的最小正周期是 2×(2－1 2 )＝3. 答案：3 11．如图，某地一天 6～14 时的温度变化曲线近似满足 y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0， 0<φ<π)． (1)求解析式； (2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－5 2，20＋5 2 ]之间为最佳营业时间，那么 该行业在 6～14 时，最佳营业时间为多少小时． 解：(1)由图象知 A＝10， 1 2· 2π ω ＝14－6， 所以 ω＝ π 8 ，所以 y＝10sin(πt 8 ＋φ)＋b.① ymax＝10＋b＝30，所以 b＝20. 当 t＝6 时，y＝10 代入①得 φ＝ 3π 4 ， 所以解析式为 y＝10sin(π 8 t＋3π 4 )＋20，t∈[6，14]． (2)由题意得， 20－5 2≤10sin(π 8 t＋3π 4 )＋20≤20＋5 2， 即－ 2 2 ≤sin(π 8 t＋3π 4 )≤ 2 2 ， 所以 kπ－ π 4 ≤ π 8 t＋ 3π 4 ≤kπ＋ π 4 ，k∈Z. 即 8k－8≤t≤8k－4， 因为 t∈[6，14]，所以 k＝2，即 8≤t≤12， 所以最佳营业时间为 12－8＝4 小时． 12．已知函数 f(x)＝ 2sin x＋ 6cos x(x∈R)． (1)若 α∈[0，π]且 f(α)＝2，求 α； (2)先将 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2(纵坐标不变)，再将得到的图象 上所有点向右平行移动 θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线 x＝ 3π 4 对称，求 θ 的最小 值． 解：(1)f(x)＝ 2sin x＋ 6cos x ＝2 2(1 2sin x＋ 3 2 cos x)＝2 2sin(x＋π 3 ). 由 f(α)＝2，得 sin(α＋π 3 )＝ 2 2 ， 即 α＋ π 3 ＝2kπ＋ π 4 或 α＋ π 3 ＝2kπ＋ 3π 4 ，k∈Z. 于是 α＝2kπ－ π 12或 α＝2kπ＋ 5π 12 ，k∈Z. 又 α∈[0，π]，故 α＝ 5π 12 . (2)将 y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2(纵坐标不变)，得到 y＝2 2sin (2x＋π 3 )的图象，再将 y＝2 2sin (2x＋π 3 )图象上所有点的横坐标向右平行移动 θ 个单位长度， 得到 y＝2 2sin (2x－2θ＋π 3 )的图象．由于 y＝sin x 的图象关于直线 x＝kπ＋ π 2 (k∈Z)对称， 令 2x－2θ＋ π 3 ＝kπ＋ π 2 ， 解得 x＝ kπ 2 ＋θ＋ π 12，k∈Z. 由于 y＝2 2sin (2x－2θ＋π 3 )的图象关于直线 x＝ 3π 4 对称，令 kπ 2 ＋θ＋ π 12＝ 3π 4 ， 解得 θ＝－ kπ 2 ＋ 2π 3 ，k∈Z. 由 θ>0 可知，当 k＝1 时，θ取得最小值 π 6 . [综合题组练] 1．已知函数 f(x)＝2sin(2ωx－π 4 )(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数 f(x)在[－1，1] 上的单调递增区间为　　(　　) A.(－1 2， 3 4] B.[－1 2， 3 4) C.[－1 2， 3 4] D.[－1 4， 3 4] 解析：选 D.由 T＝ 2π 2ω＝ π ω，又 f(x)的最大值为 2，所以 π ω＝2，即 ω＝ π 2 ， 所以 f(x)＝2sin(πx－π 4 ). 当 2kπ－ π 2 ≤πx－ π 4 ≤2kπ＋ π 2 ， 即 2k－ 1 4≤x≤2k＋3 4，k∈Z 时函数 f(x)单调递增，则 f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为 [－1 4， 3 4]. 2．(2020·杭州市七校联考)已知函数 y＝4sin(2x＋π 6 )，x∈[0， 7π 6 ]的图象与直线 y＝m 有三个交点，其交点的横坐标分别为 x1，x2，x3(x10)，若方程 f(x)＝－1 在(0，π)上有且只有四 个实数根，则实数 ω 的取值范围为________． 解析：因为 f(x)＝2sin(ωx－π 3 )，方程 2sin(ωx－π 3 )＝－1 在(0，π)上有且只有四个实 数根，即 sin(ωx－π 3 )＝－ 1 2在(0，π)上有且只有四个实数根．故 ωx－ π 3 ＝－ π 6 ＋2kπ或 ωx － π 3 ＝7π 6 ＋2kπ，k∈Z.所以 x＝ π 6ω＋ 2kπ ω 或 x＝ 3π 2ω＋ 2kπ ω ，k∈Z.设直线 y＝－1 与 y＝f(x) 在(0，＋∞)上从左到右的第 4 个交点为 A，第 5 个交点为 B，则 xA＝ 3π 2ω＋ 2π ω ，xB＝ π 6ω＋ 4π ω .因为方程 f(x)＝－1 在(0，π)上有且只有四个实数根，所以 xA<π≤xB，即 3π 2ω＋ 2π ω <π≤ π 6ω＋ 4π ω ，计算得出 7 2<ω≤ 25 6 . 答案：(7 2， 25 6 ] 4．将函数 f(x)＝2sin (2x＋π 6 )的图象向左平移 π 12个单位，再向下平移 2 个单位，得到 g(x) 的图象，若 g(x1)g(x2)＝16，且 x1，x2∈[－2π，2π]，则 2x1－x2 的最大值为________． 解析：函数 f(x)＝2sin (2x＋π 6 )的图象向左平移 π 12个单位， 可得 y＝2sin (2x＋π 3 )的图象， 再向下平移 2 个单位， 得到 g(x)＝2sin(2x＋π 3 )－2 的图象， 若 g(x1)g(x2)＝16，且 x1，x2∈[－2π，2π]， 则 g(x1)＝g(x2)＝－4， 则 2x＋ π 3 ＝－ π 2 ＋2kπ，k∈Z， 即 x＝－ 5π 12 ＋kπ，k∈Z， 由 x1，x2∈[－2π，2π]， 得 x1，x2∈{－17π 12 ，－5π 12 ， 7π 12 ， 19π 12 }， 当 x1＝ 19π 12 ，x2＝－ 17π 12 时，2x1－x2 取最大值 55π 12 ，故答案为 55π 12 . 答案： 55π 12 5．(2020·温州中学高三模考)已知函数 f(x)＝sin x 3cos x 3＋ 3cos2 x 3. (1)求函数 f(x)图象对称中心的坐标； (2)如果△ABC 的三边 a，b，c 满足 b 2＝ac，且边 b 所对的角为 B，求 f(B)的取值范 围． 解：(1)f(x)＝ 1 2sin 2x 3 ＋ 3 2 (1＋cos 2x 3 )＝ 1 2sin 2x 3 ＋ 3 2 cos 2x 3 ＋ 3 2 ＝sin(2x 3 ＋π 3 )＋ 3 2 ， 由 sin(2x 3 ＋π 3 )＝0 即 2x 3 ＋ π 3 ＝kπ(k∈Z)得 x＝ 3k－1 2 π，k∈Z， 即对称中心为(3k－1 2 π，0)，k∈Z. (2) 由 已 知 b2 ＝ ac ，cos B ＝ a2＋c2－b2 2ac ＝ a2＋c2－ac 2ac ≥ 2ac－ac 2ac ＝ 1 2，所以 1 2≤ cos B<1 ， 0|5π 9 － π 2 |，所以 sin π 3 0，－ π 2 <φ< π 2 )相邻两对称轴间的距离为 π 2 ，若将 f(x) 的图象先向左平移 π 12个单位，再向下平移 1 个单位，所得的函数 g(x)为奇函数． (1)求 f(x)的解析式，并求 f(x)的对称中心； (2)若关于 x 的方程 3[g(x)]2＋m·g(x)＋2＝0 在区间[0， π 2 ]上有两个不相等的实根，求实 数 m 的取值范围． 解：(1)由题意可得 T 2＝ π ω＝ π 2 ， 所以 ω＝2， f(x)＝sin(2x＋φ)＋b， 所以 g(x)＝sin[2(x＋π 12)＋φ]＋b－1 ＝sin(2x＋ π 6 ＋φ)＋b－1. 再结合函数 g(x)为奇函数，可得 π 6 ＋φ＝kπ，k∈Z，且 b－1＝0，再根据－ π 2 <φ< π 2 ， 可得 φ＝－ π 6 ，b＝1， 所以 f(x)＝sin(2x－π 6 )＋1，g(x)＝sin 2x. 令 2x－ π 6 ＝nπ，n∈Z，可得 x＝ nπ 2 ＋ π 12， 所以 f(x)的对称中心(nπ 2 ＋π 12，1)(n∈Z)． (2)由(1)可得 g(x)＝sin 2x，在区间[0， π 2 ]上，2x∈[0，π]，令 t＝g(x)，则 t∈[0，1]． 由关于 x 的方程 3[g(x)]2＋m·g(x)＋2＝0 在区间[0， π 2 ]上有两个不相等的实根， 可得关于 t 的方程 3t2＋m·t＋2＝0 在区间(0，1)上有唯一解． 令 h(t)＝3t2＋m·t＋2，因为 h(0)＝2>0，则满足 h(1)＝3＋m＋2<0，或{Δ＝m2－24＝0， 0 < －m 6 < 1， 解得 m<－5 或 m＝－2 6.