【数学】2018届一轮复习人教A版等比数列及其前n项和教案

【数学】2018届一轮复习人教A版等比数列及其前n项和教案

高三 一轮复习 5.3 等比数列及其前n项和 ‎【教学目标】‎ ‎1.理解等比数列的概念．　‎ ‎2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．　‎ ‎4.了解等比数列与指数函数的关系.‎ ‎【重点难点】‎ ‎ 1.教学重点 理解等比数列的概念并掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；‎ ‎【教学策略与方法】‎ 自主学习、小组讨论法、师生互动法 ‎【教学过程】‎ 教学流程 教师活动 学生活动 设计意图 考纲传真 ‎1.理解等比数列的概念．　2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．　4.了解等比数列与指数函数的关系.‎ 真题再现;‎ ‎1.(2016·全国Ⅲ，17)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若S5＝，求λ.‎ ‎(1)证明　由题意得a1＝S1＝1＋λa1，‎ 故λ≠1，a1＝，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，‎ 由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝.‎ ‎。‎ 学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢 ‎(2)解　由(1)得Sn＝1－.由S5＝得1－＝，即＝.解得λ＝－1.‎ ‎2.(2014·全国Ⅱ，17)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.‎ ‎(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明＋＋…＋<.‎ 证明　(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3 又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列.an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，‎ 所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.所以＋＋…＋<.‎ 知识梳理 知识点1　等比数列的有关概念 ‎1．定义；如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，公比的表达式为＝q.‎ ‎2．等比中项；如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.‎ 知识点2　等比数列的有关公式 ‎1．通项公式an＝a1qn－1＝amqn－m.‎ ‎2．前n项和公式Sn＝ ‎1．必会结论；等比数列的性质 ‎(1)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k ‎，则am·an＝ap·aq＝a.‎ ‎(2)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{|an|}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．‎ ‎(3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.‎ ‎(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列．‎ ‎(5)若等比数列{an}共2k(k∈N*)项，则＝q.‎ ‎2．必清误区；(1)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，与等差数列不同．‎ ‎(2)由an＋1＝qan(q≠0)并不能断言{an}是等比数列，还要验证a1≠0.‎ 考点分项突破 考点一等比数列的基本运算 ‎1．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)‎ A．21 B．42 C．63 D．84‎ ‎【解析】　∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．‎ ‎∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.‎ ‎【答案】　B ‎2．已知等比数列{an}中，a2＝2，a5＝128.‎ ‎(1)求通项an；‎ ‎(2)若bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝360，求n的值．‎ ‎【解】　(1)设{an}的公比为q，由a2＝2，a5＝128，及a5＝a2q3，得128＝2q3，所以q＝4，所以an＝a2qn－‎ 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。‎ 环节二 ‎2＝2·4n－2＝22n－3.‎ ‎(2)因为bn＝log222n－3＝2n－3，所以数列{bn}是以－1为首项，2为公差的等差数列，所以Sn＝n×(－1)＋×2＝n2－2n，令n2－2n＝360，得n1＝20，n2＝－18(舍)，故n＝20为所求．‎ 归纳解决等比数列有关问题的常见思想方法 ‎1．方程的思想；等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．‎ ‎2．数形结合的思想；通项an＝a1qn－1可化为an＝qn，因此an是关于n的函数，点(n，an)是曲线y＝qx上一群孤立的点．‎ ‎3．分类讨论的思想；当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，此处是常考点，也是易错点．‎ 考点二 等比数列的判定与证明 ‎　(1)(2014·重庆高考)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)‎ A．a1，a3，a9成等比数列 ‎ B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 ‎ D．a3，a6，a9成等比数列 ‎(2)(2014·全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.‎ ‎①证明是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎②证明＋＋…＋<.‎ ‎【解析】　(1)设等比数列的公比为q，因为＝＝q3，即a ‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ ＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.‎ ‎【答案】　D ‎(2)①由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列．‎ an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.‎ ‎②由①知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋ ‎＝<.所以＋＋…＋<.‎ 跟踪训练1.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．‎ ‎(1)求a2，a3的值；‎ ‎(2)求证数列{Sn＋2}是等比数列．‎ ‎【解】　(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)·Sn＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；‎ 当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.‎ ‎(2)证明∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)，②‎ ‎①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2，∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2.‎ ‎∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．∵S1＋2＝4≠0.‎ ‎∴Sn－1＋2≠0，∴＝2.‎ 即{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．‎ 归纳等比数列的判定方法 引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.‎ 由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ ‎1．定义法若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．‎ ‎2．等比中项公式法若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．‎ ‎3．通项公式法若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．‎ ‎4．前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．‎ 考点三 等比数列性质的应用 ‎(1)(2014·广东高考)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.‎ ‎(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.‎ ‎【解析】　(1)因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50.‎ ‎(2)法一　∵S6∶S3＝1∶2，∴{an}的公比q≠1.‎ 由÷＝得q3＝－，∴＝＝.‎ 法二　因为{an}是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝S3代入得＝.【答案】　(1)50　(2) 跟踪训练1．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7＝(　　)‎ A．4　　　B．6　　　　C．8　　　D．8－4 ‎【解析】　在等比数列中，a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8.【答案】　C 在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。‎ ‎2．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝________.‎ ‎【解析】　由等比数列的性质知，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列．设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列，则有(x－2)2＝2(14－x)，解得x＝6，即S2n＝6，从而数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，是首项为2，公比为2的等比数列，则S4n－S3n＝24＝16，因此S4n＝30.【答案】　30‎ 归纳等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．‎ 环节三 课堂小结 ‎1.理解等比数列的概念．　‎ ‎2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．　‎ ‎4.了解等比数列与指数函数的关系.‎ 学生回顾，总结.‎ 引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。‎ 环节四 课后作业学生版练与测 学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。‎ ‎ ‎