专题37 直线与圆、圆与圆的位置关系-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题37 直线与圆、圆与圆的位置关系-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题37 直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎【高频考点解读】‎ ‎1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系。‎ ‎2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。‎ ‎3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。‎ ‎【热点题型】‎ 热点题型一 直线与圆的位置关系 例1、(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 ‎(2)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．－3＜m＜1 B．－4＜m＜2‎ C．0＜m＜1 D．m＜1‎ 解析：(1)由点M在圆外，得a2＋b2＞1，∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1，则直线与圆O相交。‎ ‎【提分秘籍】‎ 判断直线与圆的位置关系常见的方法 ‎(1)几何法：利用d与r的关系。‎ ‎(2)代数法：联立方程随之后利用Δ判断。‎ ‎(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交。‎ 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题。‎ ‎【举一反三】 ‎ 若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为(　　)‎ A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)‎ C．(0, －1) D．(0，＋1)‎ 解析：计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图。直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1。‎ 答案：A 热点题型二 圆的切线与弦长问题 例2、(1)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)‎ A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0‎ C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0‎ ‎(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为__________。‎ ‎【提分秘籍】 ‎ 圆的切线与弦长问题的解题策略 ‎(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形。‎ ‎(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题。‎ ‎ 【举一反三】 ‎ 直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)‎ A. B. C．[－，] D. 解析：‎ 如图，若|MN|＝2，则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d2＝22－()2＝1。‎ ‎∵直线方程为y＝kx＋3，‎ ‎∴d＝＝1，解得k＝±。‎ 若|MN|≥2，则－≤k≤。‎ 热点题型三 圆与圆的位置关系 ‎ 例3．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0。‎ ‎(1)m取何值时两圆外切？‎ ‎(2)m取何值时两圆内切？‎ ‎(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长。‎ 解析：两圆的标准方程为：(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，‎ 圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和。‎ ‎(1)当两圆外切时，‎ ＝＋，‎ 解得m＝25＋10。‎ ‎(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故只有－＝5，解得m＝25－10。‎ ‎(3)两圆的公共弦所在直线方程为 ‎(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，‎ ‎∴公共弦长为2＝2。‎ ‎【提分秘籍】‎ 圆与圆的位置关系的求解策略 ‎(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法。‎ ‎(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长。‎ ‎【举一反三】 ‎ 若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是(　　)‎ A．a2＋2a＋2b－3＝0‎ B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0‎ C．a2＋2a＋2b＋5＝0‎ D．a2－2a－2b＋5＝0‎ 解析：两圆的公共弦必过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0，将圆心坐标(－1，－1)代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0，故选C。‎ 答案：C ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：‎ ‎，解得，故选A．‎ ‎2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；‎ ‎（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（）（II）‎ ‎（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.‎ 由得.‎ 则，.‎ 所以.‎ 过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以 ‎.故四边形的面积 ‎.‎ 可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.‎ 当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.‎ 综上，四边形面积的取值范围为.‎ ‎3.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点 ‎（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；‎ ‎（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；‎ ‎（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ 解：圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.‎ ‎（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，‎ 所以，于是圆N的半径为，从而，解得.‎ 因此，圆N的标准方程为.‎ ‎（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.‎ 设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，‎ 则圆心M到直线l的距离 ‎ ‎ 因为 ‎ 而 ‎ 所以，解得m=5或m=-15.‎ 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.‎ ‎（3）设 ‎ 因为，所以 ……①‎ 因为点Q在圆M上，所以 …….②‎ 将①代入②，得.‎ 于是点既在圆M上，又在圆上，‎ 从而圆与圆没有公共点，‎ 所以 解得.‎ 因此，实数t的取值范围是. ‎ ‎1.【2015高考重庆，理8】已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=　　　　（　　）‎ A、2 B、 C、6 D、‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为，因此，，即，.选C.‎ ‎2.【2015高考广东，理5】平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）‎ ‎ A．或 B. 或 ‎ ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】．‎ ‎【解析】依题可设所求切线方程为，则有，解得，所以所求切线的直线方程为或，故选．‎ ‎3.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）‎ ‎（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或 ‎【答案】D ‎4.【2015高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点 ‎（在的上方）， 且．‎ ‎（Ⅰ）圆的标准方程为 ；‎ ‎（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：‎ ‎①； ②； ③．‎ 其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③ ‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，‎ 所以，，‎ 令直线的方程为，此时，，‎ 所以，，，‎ 因为，，所以.‎ 所以，‎ ‎，‎ 正确结论的序号是①②③.‎ ‎5.【2015江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得：半径等于，当且仅当时取等号，所以半径最大为，所求圆为 ‎1．（2014·安徽卷）在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足＝(a＋b)．曲线C＝{P|＝acos θ＋bsin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0＜r≤|PQ|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则(　　)‎ A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R ‎ C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R ‎【答案】A　‎ ‎【解析】由已知可设＝a＝(1，0)，＝b＝(0，1)，P(x，y)，则＝(，)，|OQ|＝2.‎ 曲线C＝{P|＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，‎ 即C：x2＋y2＝1.‎ 区域Ω＝{P|0b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F‎1F2，＝2，△DF‎1F2的面积为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．‎ 图14‎ ‎【解析】解：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2＝a2－b2.‎ 由＝2得|DF1|＝＝c.‎ 从而S△DF‎1F2＝|DF1||F‎1F2|＝c2＝，故c＝1.‎ 从而|DF1|＝，由DF1⊥F‎1F2得|DF2|2＝|DF1|2＋|F‎1F2|2＝，因此|DF2|＝，‎ 所以‎2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1.‎ 因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2，|P1P2|＝2|x1|.‎ 由(1)知F1(－1，0)，F2(1，0)，所以＝(x1＋1，y1)，＝(－x1－1，y1)．再由F1P1⊥F2P2得－(x1＋1)2＋y＝0.由椭圆方程得1－＝(x1＋1)2，即3x＋4x1＝0，解得x1＝－或x1＝0.‎ 当x1＝0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在．‎ 当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.‎ 由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2.又|CP1|＝|CP2|，故圆C的半径|CP1|＝|P1P2|＝|x1|＝.‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎1．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：方法一：设直线l的倾斜角为θ，数形结合可知：θmin＝0，θmax＝2×＝。‎ 方法二：因为直线l与x2＋y2＝1有公共点，所以设l：y＋1＝k(x＋)，即l：kx－y＋k－1＝0，则圆心(0,0)到直线l的距离≤1，得k2－k≤0，即0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是。‎ 答案：D ‎2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)‎ A．21 B．19‎ C．9 D．－11‎ 解析：圆C1的圆心是原点(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心C2(3,4)，半径r2＝，由两圆相外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋＝5，所以m＝9。‎ 答案：C ‎3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)‎ A．－2 B．－4‎ C．－6 D．－8‎ 解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，圆心C(－1,1)，半径r满足r2＝2－a，则圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝。所以r2＝4＋2＝2－a⇒a＝－4。‎ 答案：B ‎4．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)。若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)‎ A．7 B．6‎ C．5 D．4‎ 解析：因为圆C的圆心为(3,4)，半径为1，|OC|＝5，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C有公共点的最大圆的半径为6，所以m的最大值为6，故选B。‎ 答案：B ‎5．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．6‎ ‎6．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是(　　)‎ A．[－1,1] B. C．[－，] D. 解析：当点M的坐标为(1,1)时，圆上存在点N(1,0)，使得∠OMN＝45°，所以x0＝1符合题意，故排除B，D；当点M的坐标为(，1)时，OM＝，过点M作圆O的一条切线MN′，连接 ON′，则在Rt△OMN′中，sin∠OMN′＝＜，则∠OMN′＜45°，故此时在圆O上不存在点N，使得∠OMN＝45°，即x0＝不符合题意，排除C，故选A。‎ 答案：A ‎7．圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为__________。‎ 解析：依题意，设圆心的坐标为(2b，b)(其中b＞0)，则圆C的半径为2b，圆心到x轴的距离为b，所以2＝2，b＞0，解得b＝1，故所求圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4。‎ 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4‎ ‎8．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为__________。‎ 解析：圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆心为C(－1,2)，半径为3.因为AC⊥BC，所以圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，即＝，所以a＝0或6。‎ 答案：0或6‎ ‎9．已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2,0)，若定点B(b,0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|＝λ|MA|，则 ‎(1)b＝__________；‎ ‎(2)λ＝__________。‎ 解析：设M(x，y)，则x2＋y2＝1，y2＝1－x2，‎ λ2＝＝ ‎＝＝ ‎＝－＋。‎ ‎∵λ为常数，‎ ‎∴b2＋b＋1＝0，解得b＝－或b＝－2(舍去)。‎ ‎∴λ2＝－＝，解得λ＝或λ＝－(舍去)。‎ 答案：－　 ‎10．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0。‎ ‎(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；‎ ‎(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程。‎ 解析：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化成标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2。‎ ‎(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，‎ 解得a＝－。‎ ‎11．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点。‎ ‎(1)若Q(1,0)，求切线QA，QB的方程；‎ ‎(2)求四边形QAMB面积的最小值；‎ ‎(3)若|AB|＝，求直线MQ的方程。‎ 解析：(1)设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1，‎ 则圆心M到切线的距离为1，‎ ‎∴＝1，∴m＝－或0，‎ ‎∴QA，QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1。‎ ‎(2)∵MA⊥AQ，∴S四边形MAQB＝|MA|·|QA|＝|QA|＝＝≥＝。‎ ‎∴四边形QAMB面积的最小值为。‎ ‎(3)设AB与MQ交于P，‎ 则MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|＝＝。‎ 在Rt△MBQ中，|MB|2＝|MP||MQ|，‎ 即1＝|MQ|，‎ ‎∴|MQ|＝3，∴x2＋(y－2)2＝9.设Q(x,0)，‎ 则x2＋22＝9，∴x＝±，∴Q(±，0)，‎ ‎∴MQ的方程为2x＋y－2＝0或 ‎2x－y＋2＝0。‎ ‎12．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点。‎ ‎(1)求M的轨迹方程；‎ ‎(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积。‎ ‎ ‎ ‎ ‎