【推荐】专题1-2 充分条件与必要条件-试题君之K三关2017-2018学年高二数学人教版（选修1-1）x

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‎1.2 充分条件与必要条件 ‎1．充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作_____，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．‎ 如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作pq．此时，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．‎ ‎2．充要条件 一般地，如果既有，又有，就记作_______．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． ‎ 概括地说，如果，那么p与q互为充要条件．‎ 注意：（1）判断p是q的什么条件，结果只有四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件．（2）充分条件、必要条件具有传递性．‎ ‎3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 从集合的观点看，设集合满足条件，满足条件，‎ 若，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；‎ 若，则p是q的必要条件或q是p的充分条件；‎ 若A＝B，则p是q的充要条件；‎ 若，且，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ K知识参考答案：‎ ‎1． 2．‎ K—重点 充分条件、必要条件的判断 K—难点 充分条件、必要条件概念的理解，充要条件的证明问题 K—易错 易忽视A是B的充分不必要条件（A⇒B且）与A的充分不必要条件是B（B⇒A且AB）两者的不同 充分条件与必要条件的判断 充分条件、必要条件的三种判断方法：‎ ‎（1）定义法：由充分条件、必要条件的概念进行判断，即判断由已知和结论构成的命题及其逆命题的真假，亦同命题真假的判定方法．‎ ‎（2）等价转化法：利用p⇒q与，q⇒p与，p⇔q与的等价关系．‎ ‎（3）集合法：即判断满足条件的对象构成的集合与满足结论的对象构成的集合之间的关系．当所要研究的p，q含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系，利用Venn图或数轴解题．‎ 设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【名师点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件的相关问题，将含绝对值的不等式与一元二次不等式、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系起来，体现了综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题． ‎ 下列各题中，是的什么条件？‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）是的充分条件，但不是的必要条件；‎ ‎（2）是的必要条件，但不是的充分条件．‎ ‎【解析】（1）因为，但，‎ 所以是的充分条件，但不是的必要条件．‎ ‎（2）因为，但，‎ 所以是的必要条件，但不是的充分条件．‎ ‎【名师点睛】从逻辑关系上看，（1）若p⇒q，但qp，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎（2）若pq，但q⇒p，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎（3）若，且，则p是q的充要条件；‎ ‎（4）若pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ 充要条件的证明 对于充要条件的证明问题：‎ ‎（1）正确找到题目所包含的条件和结论；‎ ‎（2）证明时结构要清晰，要对充分性和必要性分别进行证明．‎ 证明：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【名师点睛】在证明时，要注意由“条件结论”是证明命题的充分性，由“结论条件”是证明命题的必要性．‎ 条件的探求 ‎（1）在求某结论的充要条件时，可以从充分性和必要性两方面入手，得到结论的一致性，即为充要条件；也可以将原命题等价转化，获得充要条件．‎ ‎（2）在求某结论的充分不必要条件或必要不充分条件时，一般是先求出结论的充要条件，然后将所得条件的范围缩小或扩大即可得到所需要的结论．‎ 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得；反之不成立．‎ ‎【名师点睛】寻求的必要条件，即以为条件推出结论；寻求的充分条件，即能推出．‎ 已知方程，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．‎ ‎【答案】充要条件为．‎ ‎【解析】设方程的两根分别为，‎ 结合根与系数的关系有，解得．‎ 即方程的两个根大于1的充要条件为．‎ ‎【名师点睛】对于不等式（组）的转化必须是等价的，否则求的就不是充要条件．由“‎ ‎”，但反过来“”，例如取，有，但没有保证两个根都大于1，所以仅是两个根都大于1的必要条件，不是充分条件．‎ 根据条件求解参数的值或取值范围 应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据充分条件和必要条件，得到相应的逻辑关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用．‎ 已知：，：．若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】解得，即：．‎ 解得，即：．‎ 由是的必要而不充分条件，得，且等号不能同时取到，故．‎ 则实数的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】充分条件、必要条件或充要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，求解步骤一般为：①首先要将，等价化简；‎ ‎②根据充分条件、必要条件或充要条件列出关于参数的等式或不等式（组）；‎ ‎③求出参数的值或取值范围．‎ 混淆充分条件与必要条件 设，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【错解】选A．‎ ‎【错因分析】充分条件、必要条件的概念混淆不清．‎ ‎【正解】若，则，但当时也有，故本题选B．‎ ‎【名师点睛】“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A． ‎ ‎1．设，则的一个必要不充分条件是 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．若“”，“”，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知，，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．“”是“”成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．设，则“且”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．“直线垂直于的边，”是“直线垂直于的边”‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．设是两个不同的平面，是直线且，“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．“”是“”的________________条件．（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）‎ ‎10．如果命题“若，则”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则是的________________条件．（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）‎ ‎11．已知条件条件直线与圆相切，则是的________________条件．（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）‎ ‎12．指出下列命题中，是的什么条件．‎ ‎（1）数能被整除，数能被整除；‎ ‎（2），．‎ ‎13．已知，．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎14．设，，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎15．“直线与直线互相垂直”的充要条件是 A． B．‎ C．或 D．以上均不是 ‎16．设集合，，，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎17．已知非零向量，，则“”是“向量，的夹角为锐角”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎18．若“”是“”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎19．已知；，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________________．‎ ‎20．在中，“角，，成等差数列”是“”成立的________________条件．（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）‎ ‎21．证明：对于任意，是的必要不充分条件．‎ ‎22．数列的前项的和是数列成等差数列的什么条件？‎ ‎23．（2017天津）设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎24．（2017天津文）设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎25．（2017北京文）设m，n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎26．（2017浙江）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎27．（2016天津文）设，，则“”是“”的 A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎28．（2016上海文）设，则“”是“”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎29．（2016山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎1．【答案】B ‎【解析】，．故选B．‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】由题意知：，，所以是的充分不必要条件．故选A．‎ ‎3．【答案】A ‎【解析】由不等式的性质知，若，一定会有成立，但是，无论取何值，都有成立，所以应该选充分不必要条件，故选A．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】显然有，，∴是的必要不充分条件，故选B．‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】表示以原点为圆心，以为半径的圆以及圆外的区域，则且不一定成立，而且时，，故选A．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】由直线垂直于的边，可得平面，，反之不成立．故选A．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】由，得不到，因为还有可能是相交的；‎ 因为，所以和没有公共点，所以，即由可推得，‎ 所以是的必要不充分条件．故选B．‎ ‎9．【答案】充分不必要 ‎【解析】由．而有可能出现，‎ 的情况，故．‎ ‎10．【答案】必要不充分 ‎【解析】因为逆否命题为假，所以原命题为假，即，又因否命题为真，所以逆命题为真，即，所以是的必要不充分条件． ‎ ‎11．【答案】充分不必要 ‎【解析】条件，条件，故，，则是的充分不必要条件．‎ ‎13．【答案】．‎ ‎【解析】由得，‎ 由得．‎ ‎∴，．‎ ‎∵是的充分不必要条件，∴，∴，解得，‎ 故实数的取值范围为．‎ ‎14．【答案】A ‎【解析】由得，由得，又是的必要而不充分条件，所以且，所以，故选A．‎ ‎15．【答案】C ‎【解析】由“”可以得出“直线与直线互相 垂直”，由“”可以得出“直线与直线互相垂直”，由“直线与直线互相垂直”推出“或”，故选C．‎ ‎16．【答案】B ‎【解析】∵或，或，∴，‎ ‎∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．‎ ‎17．【答案】B ‎【解析】推不出向量，的夹角为锐角，因为向量，夹角为时，也满足，反之，由“向量，的夹角为锐角”能推出“”，所以是必要不充分条件．故选B．‎ ‎19．【答案】‎ ‎【解析】因为，，是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，即，解得，故实数的取值范围是．‎ ‎20．【答案】充要 ‎【解析】在中，角，，成等差数列，所以“角 ‎，，成等差数列”是“”的充分条件；，角，，成等差数列，必要性成立，所以“角，，成等差数列”是“”成立的充要条件．‎ ‎21．【答案】见解析．‎ ‎【解析】证明：（1）必要性：∵，∴且，‎ ‎∴，即是的必要条件；‎ ‎（2）由得或或，‎ 故不一定能得到． ‎ 所以对于任意，是的必要不充分条件．‎ ‎22．【答案】充要条件．‎ ‎【解析】当时，；‎ 当时，，适合．‎ 因为是等差数列，所以充分性成立．‎ 当成等差数列时，有，即，‎ 设，，即得，因此，必要性成立．‎ 所以是数列成等差数列的充要条件．‎ ‎24．【答案】B ‎【解析】由，可得，由，可得，即，‎ 因为，所以“”是“”的必要而不充分条 件，故选B．‎ ‎【名师点睛】判断充要关系的的方法：①根据定义，若，那么是的充分而不必要条件，同时是的必要而不充分条件，若，那么是的充要条件，若，那那么是的既不充分也不必要条件；②当命题是以集合的形式给出时，那就看包含关系，若，，若是的真子集，那么是的充分而不必要条件，同时是的必要而不充分条件，若，那么是的充要条件，若没有包含关系，那么是的既不充分也不必要条件；③命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将“是”的关系转化为“是”的关系进行判断．‎ ‎26．【答案】C ‎【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C．‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件．‎ ‎27．【答案】C ‎【解析】，所以充分性不成立；，必要性成立，故选C．‎ ‎28．【答案】A ‎【解析】，所以是充分非必要条件，选A．‎ ‎【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合．本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题和解决问题的能力、逻辑推理能力等．‎ ‎29．【答案】A ‎【解析】直线a与直线b相交，则一定相交；若相交，则a，b可能相交，也可能平行，故选A．‎ ‎ ‎ ‎ 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