2021高考数学一轮复习课后限时集训70n次独立重复试验与二项分布理北师大版

2021高考数学一轮复习课后限时集训70n次独立重复试验与二项分布理北师大版

课后限时集训70‎ n次独立重复试验与二项分布 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥2)的值为 ‎(　　)‎ A.　 B．　　　‎ C.　 D． B　[因为随机变量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝，所以Y～B，则P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝.]‎ ‎2．(2019·咸阳二模)已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为(　　)‎ A. B． ‎ C. D． B　[甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为P1＝××＝，所以三人中至少有一人被录取的概率为P＝1－P1＝，故选B.]‎ ‎3．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　)‎ A. B． ‎ C. D． D　[袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C2＝.]‎ 7‎ ‎4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)‎ A．0.8 B．0.75‎ C．0.6 D．0.45‎ A　[已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.]‎ ‎5．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为＋；②目标恰好被命中两次的概率为×；③目标被命中的概率为×＋×；④目标被命中的概率为1－×，以上说法正确的是(　　)‎ A．②③ B．①②③ ‎ C．②④ D．①③‎ C　[对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为×＋×＝，所以①错误，结合选项可知，排除B、D；对于说法③，目标被命中的概率为×＋×＋×，所以③错误，排除A.故选C.]‎ 二、填空题 ‎6．(2019·眉山模拟)三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将T2，T3两个元件并联后再和T1串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为________．‎ 　[三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将T2，T3两个元件并联后再和T1串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为：‎ p＝×＝.‎ ‎]‎ ‎7．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为________．‎ 7‎ 　[设女孩个数为X，女孩多于男孩的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C2× ＋C3＝3× ＋＝.]‎ ‎8．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________.‎ 　[依题意，随机试验共有9个不同的基本结果．‎ 由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等，‎ 所以事件B包含4个基本结果，事件AB包含1个基本结果．‎ 所以P(B)＝，P(AB)＝.‎ 所以P(A|B)＝＝＝.]‎ 三、解答题 ‎9．设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．‎ ‎(1)求他前两发子弹只命中一发的概率；‎ ‎(2)求他所耗用的子弹数X的分布列．‎ ‎[解]　记“第k发子弹命中目标”为事件Ak(k＝1,2,3,4,5)，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)＝，P()＝.‎ ‎(1)法一：他前两发子弹只命中一发的概率为 P(A1)＋P(A2)＝P(A1)P()＋P()P(A2)＝×＋×＝.‎ 法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P＝C××＝.‎ ‎(2)X的所有可能取值为2,3,4,5.‎ P(X＝2)＝P(A‎1A2)＋P( )＝×＋×＝，‎ P(X＝3)＝P(A1 )＋P(A‎2A3)＝×2＋×2＝，‎ P(X＝4)＝P(A‎1‎A‎3A4)＋P(A2 )＝3×＋3×＝，‎ 7‎ P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.‎ 综上，X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎10.空气质量指数(AirQuality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染．‎ 一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的数据分别为：45,50,75,74,93,90,117,118,199,215.‎ ‎(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数；‎ ‎(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列．‎ ‎[解]　(1)从所给数据可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，‎ ‎∴该样本中空气质量为优良的频率为＝，‎ 从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×＝18.‎ ‎(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为，‎ ξ的所有可能取值为0,1,2,3，且ξ～B.‎ ‎∴P(ξ＝0)＝3＝，‎ P(ξ＝1)＝C2＝，‎ P(ξ＝2)＝C2＝，‎ P(ξ＝3)＝3＝，‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 7‎ ‎1．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(　　)‎ A. B．3× C.× D．C×3× B　[由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为3×.]‎ ‎2．甲、乙等4人参加4×‎100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是(　　)‎ A. B． ‎ C. D． D　[甲不跑第一棒共有A·A＝18(种)情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：‎ ‎(1)乙跑第一棒，共有A＝6(种)情况；(2)乙不跑第一棒，共有A·A·A＝8(种)情况，∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为＝，故选D.]‎ ‎3．(2019·全国卷Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．‎ ‎0．18　　[记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.]‎ ‎4．(2019·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：‎ 支付金额(元)‎ 支付方式　　‎ ‎(0，‎ ‎1 000]‎ ‎(1 000，‎ ‎2 000]‎ 大于 ‎2 000‎ 仅使用A ‎18人 ‎9人 ‎3人 仅使用B ‎10人 ‎14人 ‎1人 ‎(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；‎ ‎(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；‎ 7‎ ‎(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．‎ ‎[解]　(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30人，仅使用B的学生有10＋14＋1＝25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．‎ 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40人．‎ 所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为＝0.4.‎ ‎(2)X的所有可能值为0,1,2.‎ 记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”．‎ 由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)＝＝0.4，P(D)＝＝0.6.‎ 所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，‎ P(X＝1)＝P(C＋D)＝P(C)P()＋P()P(D)‎ ‎＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，‎ P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.24.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.24‎ ‎0.52‎ ‎0.24‎ 故X的数学期望 EX＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.‎ ‎(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2 000元”．‎ 假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，‎ 则由上个月的样本数据得P(E)＝＝.‎ 答案示例1：可以认为有变化．‎ 理由如下：‎ P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．‎ 一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．‎ 7‎ 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：‎ 事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，‎ 但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．‎ ‎1．经检测，有一批产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，记其中合格产品的件数为ξ，则P(ξ＝k)取得最大值时，k的值为(　　)‎ A．5 B．4 ‎ C．3 D．2‎ B　[根据题意得，P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5，则P(ξ＝0)＝C0×5＝，P(ξ＝1)＝C1×4＝，P(ξ＝2)＝C2×3＝，P(ξ＝3)＝C3×2＝，P(ξ＝4)＝C4×1＝，P(ξ＝5)＝C5×0＝，故当k＝4时，P(ξ＝k)最大．]‎ ‎2．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球．乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件．再从乙罐中随机取出一球，用B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．‎ ‎①P(B)＝；②P(B|A1)＝；③事件B与事件A1相互独立；④A1，A2，A3为两两互斥的事件；⑤P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．‎ ‎②④　[P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝×＋×＋×＝，故①⑤错误；从甲罐中取出1红球放入乙罐后，则乙罐中有5个红球，从中任取1个为红球的概率为，即P(B|A1)＝，故②正确；由于P(B)≠P(B|A1)，故B与A1不独立，因此③错误；由题意知，④正确．]‎ 7‎