2017-2018学年云南省大理州高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年云南省大理州高二上学期期末数学文试题（解析版）

‎2017-2018学年云南省大理州高二上学期期末数学文试题（解析版）‎ 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1. 设全集，则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】全集，则，所以 故选D.‎ ‎2. 设，“”是“”的（ ）‎ A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由“”能推出“”，所以“”是“”的充分条件；但“”不能推出“”，所以“”是“”的不必要条件；故“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选C.‎ ‎3. 已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】直线经过点，且斜率为，则 即 故选A ‎4. 如果执行右面的程序框图，那么输出的（　　）‎ A. 90 B. 110 C. 250 D. 209‎ ‎【答案】B ‎【解析】由程序框图可知 ‎ 故选B.‎ ‎5. 将一条5米长的绳子随机地切断为两段，则两段绳子都不短于1米的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，只要在距离两端分别至少为米处剪断，满足题意的位置由米，由几何概型公式得到所求概率为；故选C．‎ ‎6. 已知变量满足线性约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出满足线性约束条件的平面区域，如图示： ‎ ‎， 由目标函数得：y=x-z，显然直线过（0，2）时，z最小，z的最小值是：-2.‎ 故选C．‎ ‎7. 下列四个命题中正确的是（ ）‎ ‎①若一个平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ A. ①③ B. ①④ C. ①②④ D. ①③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，‎ 这是面面垂直的判定定理，故①正确 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，‎ 这里缺少了相交的条件，故②不正确，‎ 垂直于同一平面的两个平面也可以相交，故③不正确，‎ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；④正确 总上可知①和④正确，‎ 故选B.‎ 视频 ‎8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥，红色线四棱锥A-BCDE为三视图还原后的几何体，‎ CBA和ACD是两个全等的直角三角形：AC=CD=BC=2，所以体积.‎ 故选C.‎ ‎9. 若，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,则，又所以=,则 ‎ 故选D.‎ ‎10. 若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），由圆与直线4x-3y=0相切，可得圆心到直线的距离d=化简得：|4a-3b|=5①，又圆与x轴相切，可得|b|=r=1，解得b=1或b=-1（舍去），把b=1代入①得：4a-3=5或4a-3=-5，解得a=2或a=-（舍去），∴圆心坐标为（2，1），则圆的标准方程为：（x-2）2+（y-1）2=1．‎ 故选A.‎ 点睛:本题求圆的标准方程，只要求出圆心半径即可，通过直线与圆相切列出圆心到直线的距离，解方程组即可得出圆心和半径的值.‎ ‎11. 《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（ ）个面包．‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】设五个人所分得的面包为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0），则有（a-2d）+（a-d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=120，∴a=24．由a+a+d+a+2d=7（a-2d+a-d），得3a+3d=7（2a-3d）； ∴24d=11a，∴d=11．∴最少的一份为a-2d=24-22=2，‎ 故选C．‎ 点睛：5个数成等差数列，把这5个数设成a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0）是解题的关键，根据题意列出两个等式可以简化很多运算.‎ ‎12. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】显然函数是偶函数，且在单调递增，‎ 因此要使成立，只需，只需.‎ 解得或.‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查了函数的相关性质，涉及函数的值求法，奇偶性、单调性的证明，不等式的求解，属于难题.解决此类型问题，关键体会对定义域内任意自变量存在的性质，特别是特值的求解，即要善于发现，又要敢于试验，奇偶性在把握定义得前提下，通过赋值向定义靠拢，单调性就是要结合单调性证明格式，正用、逆用，变形使用性质，解不等式就是奇偶性及单调性的应用，注意定义域问题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置。）‎ ‎13. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】均为单位向量，它们的夹角为，所以，所以 .‎ 故答案为 ‎14. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则_______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】试题分析：由已知，，则，所以，解得，故答案为.‎ 考点：椭圆的性质.‎ ‎15. 在正方体中，若内切圆的半径为，则该正方体内切球的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎16. 函数（且）的图象过一个定点,且点在直线 上,则的最小值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数f（x）=ax-1+3（a＞0，且a≠1）的图象过一个定点P（1，4），∵点P在直线mx+ny-2=0（m＞0，n＞0）上，∴m+4n=2．所以 当且仅当m=n=时取等号.‎ 故答案为.‎ 点睛：本题利用指数函数过可以得出函数（且）的图象过的一个定点，利用点在直线上得出等式，利用均值不等式即可得出最值.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。）‎ ‎17. 已知数列为等比数列，为数列的前项和，且满足，数列为等差数列，.‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎（Ⅱ）由（I）知=,由等差数列,等比数列的求和公式即可得出数列的前项和.‎ 试题解析:‎ ‎（I） 解得：‎ ‎ 又 ‎ 数列是等比数列 公比 ‎ 数列是等差数列， ‎ ‎（II）‎ ‎18. 已知函数 ‎（Ⅰ）求的最小正周期和最大值；‎ ‎（Ⅱ）讨论在上的单调性.‎ ‎【答案】(1) (2)增区间，减区间 ‎【解析】试题分析:(1)化简函数=即可得出周期和最大值;‎ ‎(2) 当时,根据正弦函数的单调性即可得出在上的单调性.‎ 试题解析:‎ ‎ ‎ ‎（II）当时,‎ 故当时，为增函数.‎ 当时，为减函数. ‎ ‎19. 某市拟兴建九座高架桥，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：‎ ‎（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）的人有多少被抽取；‎ ‎（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在40岁以上的概率．‎ ‎【答案】(1) 45人(2)‎ ‎【解析】试题分析：（1）设在“支持”的群体中抽取个人，其中年龄在40岁以下（含40岁）的人被抽取人，得，得，则人，即可得到结论.‎ ‎（2）设所选的人中，有人年龄在40岁以下，求得，列举出从中任取人的所有基本事件的空间，找到其中至少有人在岁以上的基本事件个数，利用古典概型，即可求解概率.‎ 试题解析：‎ 解：（1）设在“支持”的群体中抽取个人，‎ 其中年龄在40岁以下（含40岁）的人被抽取人，‎ 由题意，得，则人.‎ 所以在“支持”的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）的人有45人被抽取.‎ ‎（2）设所选的人中，有人年龄在40岁以下，则，.‎ 即从40岁以下（含40岁）抽取4人，40岁以上抽取2人；‎ 分别记作，则从中任取2人的所有基本事件为：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，共15个.‎ 其中至少有1人在40岁以上的基本事件有9个.‎ 分别是，，，，，，，，.‎ 所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在40岁以上的概率为.‎ ‎20. 如图，四棱锥中，底面为矩形，，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）设，，三棱锥的体积， 求到平面的距离．‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】试题分析：（I）设与的交点为，连接是矩形 为的中点，又 为的中点由线面平行的判定定理即可证出∥平面；‎ ‎（Ⅱ），，三棱锥的体积，所以所以，为直角三角形，由即可得出到平面的距离．‎ 试题解析：‎ ‎（I）证明：设与的交点为，连接 是矩形 为的中点 ‎ ‎ 又 为的中点 ‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎（II） ，，三棱锥的体积， ，,，，设三棱锥的高为，‎ ‎。‎ 即到平面的距离为．‎ 点睛：求点到平面的距离通常是利用等体积转化的思想，在求出锥体体积的过程中要分析清楚立体图形中各种点线面的位置关系，熟练掌握线面平行，线面垂直的判定定理是关键.‎ ‎21. 已知的三个内角，，对应的边分别为，，，且．‎ ‎（Ⅰ）证明：，，成等差数列；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为，求的最小值．‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（I）因为，所以由正弦定理得 ‎，即．在中，且，所以，得出即可得出，，成等差数列；‎ ‎（II）因为，所以．所以，即可得出的最小值．‎ 试题解析：‎ ‎（I）因为，所以由正弦定理得，即．在中，且，所以．因为，所以．又因为，所以．所以，，成等差数列.‎ ‎（II）因为，所以．‎ 所以，当且仅当时取等号．‎ 所以的最小值为．‎ 点睛：解三角形问题利用正弦定理得出角B为，结合等差中项可证出，，成等差数列，利用余弦定理结合均值不等式即可得出最值.‎ ‎22. 已知点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为6.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设与(为坐标原点)垂直的直线交椭圆于(不重合)，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意布列的方程组，求得椭圆的方程；（2）联立方程组，得：，借助韦达定理表示，进而求最值即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)∵，∴.‎ 又点在椭圆上，∴，‎ 解：，∴所求椭圆方程为.‎ ‎(2)∵，∴，设直线的方程：.‎ 联立方程组，消去得：.‎ ‎，∴.‎ 设，，，.‎ 则，‎ ‎∵，∴的取值范围为.‎