【数学】2021届一轮复习人教A版基本不等式应用技巧学案

【数学】2021届一轮复习人教A版基本不等式应用技巧学案

基本不等式应用技巧之高级篇 基本不等式在不等式的证明、求最大值、最小值的有些问题上给我们带来了很大 的方便，但有时很想用基本不等式，却感到力不从心。这需要一点技巧，就是要能适 当的配凑，即把相关的系数做适当的配凑。比如下面的例题 1。 例题 1. 已知 5 4x  ，求函数 14 2 4 5y x x     的最大值。 解：因 5 4x  ，所以 4 5 0x   。 这可以先调整式子的符号，但 1(4 2) 4 5x x   不是常数，所以必须对 4 2x  进行拆分。 1 14 2 (5 4 ) 3 2 3 14 5 5 4y x xx x              当且仅当 15 4 5 4x x    ，即 1x  时取等号。 故当 1x  时， max 1y  但是有些题目的配凑并不是这么显然。我们应该如何去配凑，又有何规律可循 呢？请看下面的例题 2. 例题 2.设 , , ,x y z w 是不全为零的实数，求 2 2 2 2 2xy yz zw x y z w      的最大值。 显然我们只需考虑 0, 0, 0, 0x y z w    的情形，但直接使用基本不等式是不行的， 我们假设可以找到相应的正参数 ,  满足： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) (1 ) 1 2 2 (1 ) 2 (1 ) x y z w x y y z z w xy yz zw                         （ ） 故依据取等号的条件得， 1 2 1 2 2 (1 ) 2 1 t         ，参数t 就是我们要求的最大值。 消去 ,  我们得到一个方程 24 4 1 0t t   此方程的最大根为我们所求的最大值 得到 2 1 2t  从这个例子我们可以看出，这种配凑是有规律的，关键是我们建立了一个等式 1 2 1 2 2 (1 ) 2 1        ，这个等式建立的依据是等号成立的条件，目的就是为 了取得最值。 我们再看一些类似的问题，请大家细心体会。 例题 3.设 , , ,x y z w 是不全为零的实数，求 316 9 2 9 3 2 x xy xyz x y z     的最大值。 引入参数 ,  , 使其满足： 3 2 (1 ) (2 ) (1 ) 2 3 (2 ) x y z x x y x y z x xy xyz                             依据取等号条件，我们有 3 3 16 9 2 9 3 1 2 3 (2 ) t xyz          消去参数 ,  , 我们得到一个方程 5 4 3 2( 18)(16 224 584 1440 1377 1458) 0t t t t t t       解得 18t  这就是我们所求的最大值。因此， 3 3 3 18 3616 3 1816 9 2 9 3 2 2 2 3( 18 ) 18 3616 2 2 182 x y zx x yx xy xyz x y z x y z x y x y zx x y z                 当且仅当 : : 1:18:36x y z  取等号。 再看看下面这个题目。 例题 4.设 , ,x y z 是正实数，求 2 2 210 10x y z xy yz zx     的最小值。 解：引进参数 k ，使之满足： 2 2 2 2 2 2 2 2 210 10 (10 ) (10 )2 2 2 2(10 )( ) z zx y z kx ky k x k y kxy k yz zx               依据取等号的条件，有： 2 2(10 ) 4k k t t     故 2 2 210 10x y z xy yz zx     的最小值 4. 例题 5.设 , ,x y z 是正实数且满足 3x y z   ，求 2 2 3x y z  的最小值。 解：观察题目的结构考虑到 , ,x y z 的对称性，引进参数 ,k l 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 x k xk y k yk z l l zl           2 2 3 2 2 22( ) 2 ( ) 3x y z k l k x y l z        由取等号的条件有： 2 22 3 , , , 2 3k l k x k y z l k l       解得 19 37 12k  ， 1 37 6l   所以， 2 2 3 2 2 22 ( ) 3 2( )x y z k x y l z k l       2 2 317 43 376 2( ) 108k k l     例题 6.设 ,x y 是正实数且满足 1x y  ，求 2 2 1 8 x y  的最小值。 解：考虑到 1x y  ，为了使用基本不等式，我们引进参数k ： ( )k k x y  则 2 2 2 2 1 8 1 8 ( )k k x yx y x y       2 3 2 2 1 8 92 2 2 2 4 kx kx ky ky k x y         由取等号的条件： 2 3 2 1 2 8 2 1 542 3 1 kx x ky ky k x y             所以 2 3 2 2 1 8 9 274 k kx y     例题 7.若 2 ( )x xy a x y   对任意的正实数 ,x y 恒成立，求a 的最小值。 解： 2 ( )x xy a x y   对任意的正实数 ,x y 恒成立， 所以 2x xy ax y   对任意的正实数 ,x y 恒成立。 设 (1 ) (1 ) 2x y k x kx y k x kxy        由取等号条件： 1 2 1 tk k   消去k ，可以得到： 2 1 0t t   解得： 5 1 2t  因此a 的最小值为 5 1 2  。 例题 8.若 1 1,2 2a b    且 1a b  ，求证： 2 1 2 1 2 2a b    分析：使用柯西不等式很简单处理了，但我们还是玩一下基本不等式。 设 2 2 2 2 2 2 2 1 2 12 1 2 2 1 2 12 1 2 ama ma m m bmb mb m m           2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 22 1 2 1 2 2 a bm mm ma b m m            考虑到取等号的条件，有 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 , 22 1 am m bm a b mm a b              所以， 2 2 22 1 2 1 2 2a b m m       例题 9.有一边长为 ,a b （a b ）的长方形纸板，在四个角各裁出一个大小相同的正方 形，把四边折起做成一个无盖的盒子，要使盒子的容积最大，问裁去的正方形的 边长应为多少？ 分析：这是一个高考题，很古老了。可以利用函数和导数来解决。但我们也可以用基 本不等式来处理它。 解：设裁去的正方形的边长为 x ，则做成的无盖长方体容积为 V= ( )( 2 )x a x b x  ，(0 )2 bx  引入参数 ,m n ，则 1V= ( )( 2 ) ( ) ( 2 )( 2 )x a x b x mx n a x b xmn      3 3 ( 2 ) ( 2 )( ) ((m 2n 2) x na b)3 27 mx n a x b x mn mn          由取等号的条件得 ( 2 ) 2mx n a x b x    当 2 2 0m n   时，右边为常数。 故当二者同时成立时，函数有最大值。 消去参数得到： 212 4( ) 0x a b x ab    解之得 2 2( ) 6 a b a ab bx     (0 )2 bx  故 2 2( ) 6 a b a ab bx     3 3 2 2 2 max max (na b) [(a b)(2a b) ( )]V =[ ( )( 2 )] 27 54 a ab bx a x b x mn          例题 10. 求函数 2 1 ( 0)2y x x xx     的最小值。 分析：单变量函数优选求导 2 21 1 2 2 2y x x x xx x x         数用单调性的方法。但 本题也是可以使用基本不等式的。 解：引进参数 >0， 则 2 21 1 2 2 2y x x x xx x x         2 2 3 1( ) ( )4 4 2 13 216 2 x xx x x             由取等号的条件得： 2 4x x  ， 1 2x x  消去参数 得， 3 24 2 1 0x x   化简得， 2(2 1)(2 2 1) 0x x x    解之得 1 2x  此时 1 2   ， min 7 4y  例题 11. 问 （ 0 2   ）取何值时， 2cos siny   取最大值。 解：引进参数 , 0a b  ， 由 2 1cos sin (1 sin ) (1 sin )siny a bab         3( ( 1 )sin ) 27 a b b a ab     由取等号成立的条件得： (1 sin ) (1 sin ) sin 1 0 a b b a           2 1sin ,3   0 2   3sin ,3are  所以 3 1,2a  3 1;2b  所以 3 2 ( ) 2 3cos sin 27 9 a by ab      基本不等式是一个非常有用的结论，从上面的例子中我们可以看出，适当的配凑 可以解决很多看似无法使用基本不等式解决的一些问题。同学们在学习基本不等式时 时要细心体会，才能达到灵活应用的。