宁夏银川市宁夏大学附属中学2020届高三上学期第五次月考数学（理）试题

宁夏银川市宁夏大学附属中学2020届高三上学期第五次月考数学（理）试题

宁夏银川市宁夏大学附属中学2019-2020学年高三上学期第五次月考数学（理）试题 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. ‎8 ‎C. 5 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.‎ 详解： ，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 所以共有9个，选A.‎ 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.‎ ‎2.已知复数满足:（为虚数单位），则为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数为的形式，再求，最后求复数的模.‎ ‎【详解】由，可得，，故 ‎，‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数和复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.‎ ‎3.下列叙述中正确的是(　　)‎ A. 若a，b，c∈R，且a＞c，则“ab2＞cb‎2”‎ B. 命题“对任意x∈R，有x2≥‎0”‎的否定是“存在x∈R，有x2≤‎‎0”‎ C. “”是“y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充要条件 D. 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题的真假，可以判断A、D的真假；由命题的否定可判定选项B的真假，由充要条件的定义，判断C的真假．‎ ‎【详解】对于选项Ａ，若，则，故选项A错误；‎ 对于选项B， 命题“对任意x∈R，有x2≥‎0”‎的否定是“存在x∈R，有x2<‎‎0”‎ ‎，故选项B错误；‎ 对于选项C，若“”则，此时函数为偶函数，反之当“y＝sin(2x＋φ)为偶函数”，则,故选项C错误；‎ 对于选项D，垂直于同一条直线的两个平面平行．故D选项正确.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的真假判断与应用，考查充要条件的定义、命题的否定，属于基础题．‎ ‎4.已知函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 是偶函数 B. 是增函数 C. 是周期函数 D. 的值域为 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据解析式的特点，逐个选项进行验证求解.‎ ‎【详解】因为时，时，所以不是偶函数；‎ 因为，所以不是增函数；‎ 因为时为增函数，所以不是周期函数；‎ 因为当时，时，所以值域为.综上可知选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的性质，研究分段函数的性质时不要只关注某一段函数，要从整体上进行把握.‎ ‎5.能够把圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“等分函数”，下列函数不是圆的“等分函数”的是（ ）‎ A. f(x)＝3x B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇函数和偶函数图像的对称性可知，选项中的奇函数是“等分函数”，偶函数不是“等分函数”.对选项逐一分析奇偶性，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称，故选项中的奇函数是“等分函数”，偶函数不是“等分函数”.对于A选项，，为奇函数，对于B 选项，，对于C选项，由解得函数的定义域为，且，为奇函数.对于D选项，，为偶函数.综上所述，D选项正确.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查奇函数和偶函数图像的对称性，考查阅读理解能力，属于中档题.‎ ‎6.如果双曲线 (a>0，b>0)的一条渐近线与直线x－y＋＝0平行，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 3 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由渐近线和直线平行，可得到，再由a,b,c之间的关系即可求得离心率的值.‎ ‎【详解】双曲线 (a>0，b>0)的渐近线的方程为，其中一条与直线x－y＋＝0平行，故可得，，所以离心率为2，本题选B.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的离心率，求解时要会利用双曲线的渐近线，得到关于的关系，从而求得离心率的值．‎ ‎7.已知函数f(x)＝2sin(π－x)·cosx＋2cos2x－1，其中x∈R，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. f(x)是最小正周期为π的奇函数;‎ B. f(x)的一条对称轴是x＝‎ C. f(x)在上单调递增 D. 将函数y＝2sin 2x的图象左移个单位得到函数f(x)的图象 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由倍角公式和两角和的正弦公式，可得，再由三角函数的性质逐项进行判断即可求解.‎ ‎【详解】由已知可得，‎ 函数的最小正周期，，故选项A错误，‎ ‎，故选项B错误，‎ 若函数单调增，则,解得，当k=0时，故选项C正确.‎ 函数y＝2sin 2x的图象左移个单位可得，选项D错误,‎ 综上所述，选项C正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的图像和性质，考查了倍角公式和两角和的正弦公式，熟练掌握三角函数的周期、图像的变换、单调性和对称轴是解题的关键，考查了推理能力,属于中档题.‎ ‎8.已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为（ ）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最小值的条件，利用点到直线的距离即可得到结论．‎ ‎【详解】由得，∵，‎ ‎∴直线的斜率,作出不等式对应的平面区域如图：‎ 平移直线得,由图像可知当直线经过点A时,直线的截距最小，此时z最小.‎ 由,解得,即，‎ 此时目标函数的最小值为，‎ 即，点在直线上，‎ 则原点到直线的距离,‎ 即的最小值，‎ 故答案为:4.‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划，首先由约束条件作出可行域，再结合目标函数求出最值，比较目标函数和约束条件的斜率是关键，目标函数若为非线性的，往往考查几何意义.‎ ‎9.在正方体ABCD–A1B‎1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（ ）‎ A. A1O∥D‎1C B. A1O⊥BC C. A1O∥平面B1CD1 D. A1O⊥平面AB1D1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出四边形是平行四边形，可判定C正确，再利用空间线线、线面的位置关系排除其它选项即可.‎ ‎【详解】∵，故A错误；‎ 假设A1O⊥BC，结合A‎1A⊥BC可得BC⊥平面A1ACC1，则可得BC⊥AC，显然不正确，‎ 故假设错误，即B错误；‎ 设,则,且，故四边形是平行四边形，所以,故选项C正确；‎ 假设A1O⊥平面AB1D1，则,又,∴平面,,故选项D错误,综上知选项C正确.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎10.‎2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用‎2c1和‎2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用‎2a1和‎2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：‎ ‎①a1＋c1＝a2＋c2； ②a1－c1＝a2－c2； ③c‎1a2>a‎1c2. ④ ‎ 其中正确式子的序号是（ ）‎ A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图可知，，即可判断选项①和②，再由整理可判断③，由，可以判断④的正确性.‎ ‎【详解】由图可得，所以，即①错误；因为，所以，即②正确，由，得，即，即,即，可得，即③正确，由，可得，即④错误；综上所述选项B正确.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的基本量，识图得出基本量的大小关系是关键，考查了数学的实际应用和运算推理能力，属于中档题.‎ ‎11.已知三棱柱( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1‎ 的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎12.设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：令，，若函数在区间上有三个零点，，则，的图象在区间上有三个交点；由图象易知：当时，不符合题意；当时，与函数的图象知在区间上存在一个交点，函数存在一个零点，所以只需要再满足在区间存在两个零点即可，此时，得，即，令函数，，故函数在递增，在递减，，，，所以，故选D．‎ 考点：1．函数的零点；2．数形结合思想；3．导数的应用．‎ ‎【名师点睛】研究函数的零点，往往利用分离参数法，将问题转化为两个函数图象的交点问题，进而构造函数，再利用导数研究函数的单调性与零点问题．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.‎ ‎13.已知函数f(x)＝loga(x－2)＋4(a>0且a≠1)，其图象过定点P，角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，则________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令对数等于零，求得x、y的值，可得函数的图象恒过定点的坐标，结合三角函数的定义即可求值．‎ ‎【详解】对于函数f(x)＝loga(x－2)＋4，令x-2=1，求得x=3，y=4，可得它的图象经过定点P（3，4）,角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P，所以，.‎ 故答案为：10．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，考查三角函数的定义，属于基础题．‎ ‎14.等差数列中，，是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则的前9项和等于_______.‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,是函数两个零点，运用韦达定理可求得，再由，即可求值.‎ ‎【详解】是函数的两个零点，‎ 由等差数列的性质可得：‎ 故答案为：18‎ ‎【点睛】本题主要结合韦达定理考查等差数列的性质，数列是等差数列，则，考查了运算能力，属于中档题.‎ ‎15.已知向量＝(x，1)，＝(y，x2+4)且，则实数y的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量互相垂直，可得，代入的坐标,进而转化为运用基本不等式求最值问题，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】向量互相垂直，可得，可得，函数为奇函数，当时，，当时，‎ ‎，‎ 解得或，所以实数y的取值范围是或.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，考查了运用基本不等式求函数的最值，属于基础题.‎ ‎16.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2内切圆的半径为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设△ABF2内切圆的半径为r，三角形的周长为‎4a,进而求出三角形面积的表达式，再求出,求出△ABF2的面积，进而求出内切圆的半径．‎ ‎【详解】根据题意,设△ABF2内切圆的半径为r；‎ 椭圆的方程为，三角形的周长为20，故，过F1且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则,故，∴，解得，所以内切圆的半径为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义，运用面积相等即可求出内切圆的半径，属于基础题.‎ 三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.‎ ‎17.已知锐角三角形中，内角的对边分别为，且 ‎（1）求角的大小．‎ ‎（2）求函数的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由利用正弦定理得，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得，可求出的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.‎ 详解】（1）由，‎ 利用正弦定理可得，‎ 可化为，‎ ‎.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，.‎ ‎18.已知正项等比数列的前项和为，且，.‎ ‎（1)求数列的通项公式； ‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题中所给的条件,结合数列前n项和的特征，以及数列的通项公式，化简得到关于该数列的公比q的等量关系式，利用正项数列，作出取舍，进一步求得数列的首项，从而得到其通项公式；‎ ‎(2)利用错位相减法求和即可.‎ ‎【详解】（1）因，，‎ 所以或（舍去）又，故，‎ 所以数列的通项公式为. ‎ ‎（2）由（1）知，∴，①‎ ‎∴，②‎ ‎②①得，∴.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，项与和之间的关系，以及错位相减法求和，属于中档题目，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.‎ ‎19.如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先证，，再可证平面，进而可证平面；（Ⅱ）先建立空间直角坐标系，再算出平面和平面的法向量，进而可得平面与平面夹角的余弦值．‎ 试题解析：（Ⅰ）在图1中，‎ 因为，，是的中点，，所以 即在图2中，，‎ 从而平面 又，所以平面．‎ ‎（Ⅱ）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，，‎ 所以为二面角的平面角，所以．‎ 如图，以为原点，建立空间直角坐标系，‎ 因为，‎ 所以 得，．‎ 设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，‎ 则，得，取，‎ ‎，得，取，‎ 从而，‎ 即平面与平面夹角的余弦值为．‎ 考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线与曲线交于、两点，点关于原点的对称点为，求 的面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意列出关于a,b,c的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到，再求出和，再写出三角形的面积，令，运用基本不等式即可求得面积的最大值.‎ ‎【详解】（1）设椭圆的焦距为,则，解得，又，所以椭圆的方程为：．‎ ‎（2）由题意知（为点到直线的距离），‎ 设的方程为，联立方程得，‎ 消去得，‎ 设，，则，， ‎ 则， ‎ 又， ‎ ‎， ‎ 令，由，得，‎ ‎，，易证在递增，，‎ ‎，面积的最大值．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，同时考查了运用基本不等式求函数的最值．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）显然函数的定义域为.‎ 因为，所以，‎ 当时，在上恒成立，函数在单调递减，‎ ‎∴在上没有极值点； ‎ 当时，由得，由得，‎ ‎∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．‎ ‎∴当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点 ‎（Ⅱ）∵函数在处取得极值，由（Ⅰ）结论知，‎ ‎∴，‎ 令，所以，‎ 令可得在上递减，令可得在上递增，‎ ‎∴，即. ‎ 考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.‎ 点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.‎ 对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决.‎ ‎22.已知曲线C的极坐标方程为,直线的参数方程为为参数）‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎(2)求曲线C上的点M到直线的最大距离。‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据参数方程中相等的原则求解出直线的普通方程，根据写出曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点，利用点到直线的距离公式以及三角函数的有界性求解出最大值.‎ ‎【详解】(1)由，得,即，‎ 故曲线C直角坐标方程 ‎(2)∵P(x，y)是曲线C上的一个动点，∴可设，则 ‎，其中.‎ ‎∵，∴当时，.‎ ‎【点睛】本题考查坐标系与参数方程的综合运用， (1)极坐标与直角坐标的互化：；(2)求解椭圆或圆上点到直线的距离的最值时，将椭圆或者圆上的点设为参数形式，利用三角函数的有界性可快速求解出距离最值.‎ ‎ ‎