【数学】2019届一轮复习全国经典版(理)合情推理与演绎推理学案

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【数学】2019届一轮复习全国经典版(理)合情推理与演绎推理学案

第3讲 合情推理与演绎推理 板块一 知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1 合情推理 考点2 演绎推理 ‎1.定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.‎ ‎2.特点:演绎推理是由一般到特殊的推理.‎ ‎3.模式:“三段论”是演绎推理的一般模式:‎ ‎“三段论”的结构 ‎①大前提——已知的条件;‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况;‎ ‎③结论——根据一般原理,对特殊问题做出的判断. ‎ ‎“三段论”的表示 ‎①大前提——M是P;‎ ‎②小前提——S是M;‎ ‎③结论——S是P.‎ ‎ [必会结论]‎ ‎1.合情推理的结论是猜想,不一定正确;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.‎ ‎2.合情推理是发现结论的推理;演绎推理是证明结论的推理.‎ ‎[考点自测]‎ ‎1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.(  )‎ ‎(2)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(  )‎ ‎(3)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.(  )‎ ‎(4)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.(  )‎ 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√‎ ‎2.[2018·长春模拟]设n∈N*,则=(  )‎ 答案 A ‎3.[课本改编]下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,并依此规律,写出第n个图形中小正方形的个数是________.‎ 答案  解析 由题图知第1个图形的小正方形个数为1,第2个图形的小正方形个数为1+2,第3个图形的小正方形个数为1+2+3,第4个图形的小正方形个数为1+2+3+4,…,则第n个图形的小正方形个数为1+2+3+…+n=.‎ ‎4.[课本改编]在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为________.‎ 答案 1∶8‎ 解析 因为两个正三角形是相似的三角形,所以它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方.所以它们的体积比为1∶8.‎ ‎5.[2015·陕西高考]观察下列等式 ‎1-= ‎1-+-=+ ‎1-+-+-=++ ‎…‎ 据此规律,第n个等式可为________.‎ 答案 1-+-+…+-=++…+ 解析 观察所给等式的左右可以归纳出1-+-+…+-=++…+.‎ ‎6.[2018·东北三省模拟]在某次数学考试中,甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀.当他们被问到谁得到了优秀时,丙说:“甲没有得优秀”;乙说:“我得了优秀”;甲说:“丙说的是真话”.事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么得优秀的同学是________.‎ 答案 丙 解析 分析题意只有一人说假话可知,甲与丙必定说的都是真话,故说假话的只有乙,即乙没有得优秀,甲也没有得优秀,得优秀的是丙.‎ 板块二 典例探究·考向突破 考向 归纳推理 命题角度1 数字的归纳 例1  [2018·浙江模拟]“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是杨辉三角数阵,记an为图中第n行各个数之和,则a5+a11的值为(  )‎ A.528 B.1020 ‎ C.1038 D.1040‎ 答案 D 解析 第一行数字之和为a1=1=21-1,‎ 第二行数字之和为a2=2=22-1,‎ 第三行数字之和为a3=4=23-1,‎ 第四行数字之和为a4=8=24-1,‎ ‎……‎ 第n行数字之和为an=2n-1,‎ ‎∴a5+a11=24+210=1040.故选D.‎ 命题角度2 式子的归纳 例2 设函数f(x)=(x>0),观察:‎ f1(x)=f(x)=,‎ f2(x)=f[f1(x)]=,‎ f3(x)=f[f2(x)]=,‎ f4(x)=f[f3(x)]=,‎ ‎……‎ 根据以上事实,由归纳推理可得:‎ 当n∈N*且n≥2时,fn(x)=f[fn-1(x)]=________.‎ 答案  解析 根据题意知,各式中分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,…,可知fn(x)的分母中常数项为2n,分母中x的系数为2n-1,故fn(x)=f[fn-1(x)]=.‎ 命题角度3 图形的归纳 例 3 如图,在平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)处:点(1,0)处标b1,点(1,-1)处标b2,点(0,-1)处标b3,点(-1,-1)处标b4,点(-1,0)处标b5,点(-1,1)处标b6,点(0,1)处标b7,…,以此类推,则b963处的格点的坐标为________.‎ 答案 (16,13)‎ 解析 观察已知点(1,0)处标b1,即b1×1,点(2,1)处标b9,即b3×3,点(3,2)处标b25,即b5×5,…,由此推断点(n,n-1)处标b(2n-1)×(2n-1),因为961=31×31时,n=16,故b961处的格点的坐标为(16,15),从而b963处的格点的坐标为(16,13).‎ 触类旁通 归纳推理问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解.‎ ‎(2)与式子有关的归纳推理 ‎①与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解.‎ ‎②与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可.‎ ‎(3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.‎ ‎【变式训练1】 [2018·泉州模拟]已知如下等式:2+4=6;8+10+12=14+16;18+20+22+24=26+28+30;…以此类推,则2020会出现在第________个等式中(  )‎ A.30 B.31 ‎ C.32 D.33‎ 答案 B 解析 ①2+4=6;‎ ‎②8+10+12=14+16;‎ ‎③18+20+22+24=26+28+30,…‎ 其规律为:各等式首项分别为2×1,2(1+3),2(1+3+5),…,‎ 所以第n个等式的首项为2[1+3+…+(2n-1)]=2×=2n2,‎ 当n=31时,等式的首项为2×312=1922,‎ 当n=32时,等式的首项为2×322=2048,‎ 所以2020在第31个等式中.故选B.‎ 考向 类比推理 例 4 [2018·抚顺模拟]若数列{an}是等差数列,则数列{bn}也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则dn的表达式应为(  )‎ A.dn= B.dn= C.dn= D.dn= 答案 D 解析 若{an}是等差数列,则a1+a2+…+an=na1+d,所以bn=a1+d=n+a1-,即{bn}为等差数列;若{cn}是等比数列,则c1·c2·…·cn=c·q1+2+…+(n-1)=c·q,所以dn==c1·q,即{dn}为等比数列.故选D.‎ 触类旁通 类比推理的分类 类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法.‎ ‎(1)类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解;‎ ‎(2)类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键;‎ ‎(3)类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移.‎ ‎【变式训练2】 如图所示,在平面上,用一条直线截正方形的一个角,截下的是一个直角三角形,有勾股定理c2=a2+b2.空间中的正方体,用一平面去截正方体的一角,截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥,若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1,S2,S3,截面面积为S,类比平面的结论有________.‎ 答案 S2=S+S+S 解析 三角形类比空间中的三棱锥,线段的长度类比图形的面积,于是作出猜想:S2=S+S+S.‎ 考向 演绎推理 例 5 [2018·山东调研]数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n∈N*).证明:‎ ‎(1)数列是等比数列;‎ ‎(2)Sn+1=4an.‎ 证明 (1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn,‎ ‎∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn.‎ ‎∴=2·,(小前提)‎ 故是以2为公比,1为首项的等比数列.(结论)‎ ‎(大前提是等比数列的定义,这里省略了)‎ ‎(2)由(1)可知=4·(n≥2),‎ ‎∴Sn+1=4(n+1)·=4··Sn-1‎ ‎=4an(n≥2),(小前提)‎ 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)‎ ‎∴对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论)‎ ‎(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)‎ 触类旁通 演绎推理的结构特点 ‎(1)演绎推理是由一般到特殊的推理,其最常见的形式是三段论,它是由大前提、小前提、结论三部分组成的.三段论推理中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况.这两个判断联合起来,提示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断:结论.‎ ‎(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提.一般地,若大前提不明确时,一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.‎ ‎【变式训练3】 某市为了缓解交通压力,实行机动车辆限行政策,每辆机动车每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日)不限行.某公司有A,B,C,D,E五辆车,保证每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E车周四限行,B车昨天限行,从今天算起,A,C两车连续四天都能上路行驶,E车明天可以上路,由此可知下列推测一定正确的是(  )‎ A.今天是周六 B.今天是周四 C.A车周三限行 D.C车周五限行 答案 B 解析 因为每天至少有四辆车可以上路行驶,E车明天可以上路,E车周四限行,所以今天不是周三;因为B车昨天限行,所以今天不是周一,也不是周日;因为A,C两车连续四天都能上路行驶,所以今天不是周五,周二和周六,所以今天是周四.选B.‎ 核心规律 ‎1.合情推理的过程概括为 ―→―→―→ ‎2.演绎推理是从一般的原理出发,推出某个特殊情况的结论的推理方法,是由一般到特殊的推理,常用的一般模式是三段论.数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.‎ 满分策略 ‎1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.‎ ‎2.演绎推理是由一般到特殊的证明,它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密性,书写格式的规范性.‎ ‎3.合情推理中运用猜想不能凭空想象,要有猜想或拓展依据.‎ 板块三 启智培优·破译高考 创新交汇系列11——演绎推理中的创新问题 ‎[2015·福建高考]一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).‎ 已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:‎ 其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.‎ 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于________.‎ 解题视点 求解此类问题的关键是读懂新定义,在领会新定义的基础上,明晰新定义的内涵和外延,将其转化并运用到新情境中,进而判断参数k的值.‎ 解析 因为x4⊕x5⊕x6⊕x7=1⊕1⊕0⊕1=0⊕0⊕1=0⊕1=1≠0,所以二元码1101101的前3位码元都是对的;因为x2⊕x3⊕x6⊕x7=1⊕0⊕0⊕1=1⊕0⊕1=1⊕1=0,所以二元码1101101的第6、7‎ 位码元也是对的;因为x1⊕x3⊕x5⊕x7=1⊕0⊕1⊕1=1⊕1⊕1=0⊕1=1≠0,所以二元码1101101的第5位码元是错误的,所以k=5.‎ 答案 5‎ 答题启示 与演绎推理有关的新定义问题是高考命制创新型试题的一个热点,解决此类问题时,一定要读懂新定义的本质含义及符号语言,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当的转化,注意推理过程的严密性.‎ 跟踪训练 在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中的△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.‎ ‎(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是________;‎ ‎(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN +bL+c,其中a,b,c为常数,若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=________(用数值作答).‎ 答案 (1)3,1,6 (2)79‎ 解析 (1)由定义知,四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成,其内部格点有1个,边界上格点有6个,四边形 DEFG的面积为3,所以S=3,N=1,L=6.‎ ‎(2)由待定系数法可得 ⇒ 当N=71,L=18时,S=1×71+×18-1=79.‎ 板块四 模拟演练·提能增分 ‎ [A级 基础达标]‎ ‎1.(1)已知a是三角形一边的长,h是该边上的高,则三角形的面积是ah,如果把扇形的弧长l,半径r分别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的面积为lr;(2)由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+…+(2n-1)=n2,则(1)(2)两个推理过程分别属于(  )‎ A.类比推理、归纳推理 B.类比推理、演绎推理 C.归纳推理、类比推理 D.归纳推理、演绎推理 答案 A 解析 (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处,此种推理为类比推理;(2)由特殊到一般,此种推理为归纳推理.故选A.‎ ‎2.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图),试求第七个三角形数是(  )‎ A.27 B.28 ‎ C.29 D.30‎ 答案 B 解析 观察归纳可知第n个三角形数为1+2+3+4+…+n=‎ ,∴第七个三角形数为=28.‎ ‎3.[2018·太原模拟]观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=(  )‎ A.121 B.123 ‎ C.231 D.211‎ 答案 B 解析 令an=an+bn,则a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,…,得an+2=an+an+1,从而a6=18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123.‎ ‎4.[2018·临沂期末]已知n≥2且n∈N*,对n2进行“分拆”:22→(1,3),32→(1,3,5),42→(1,3,5,7),…,那么289的“分拆”所得的中位数是(  )‎ A.29 B.21 ‎ C.19 D.17‎ 答案 D 解析 自然数n2的分裂数中最大的数是2n-1.‎ ‎289分裂的数中最大的数是2×17-1=33,‎ ‎∴289的“分拆”所得的数的中位数是=17.故选D.‎ ‎5.[2018·南昌模拟]已知13+23=2,13+23+33=2,13+23+33+43=2,…,若13+23+33+43+…+n3=3025,则n=(  )‎ A.8 B.9 ‎ C.10 D.11‎ 答案 C 解析 ∵13+23=2=2,‎ ‎13+23+33=2=2,‎ ‎13+23+33+43=2=2,‎ ‎…‎ ‎∴13+23+33+…+n3=2=,‎ ‎∵13+23+33+43+…+n3=3025,‎ ‎∴=3025,‎ ‎∴n2(n+1)2=(2×55)2,‎ ‎∴n(n+1)=110,‎ 解得n=10.‎ ‎6.若等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,则数列为等差数列,公差为.类似,若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q,前n项的积为Tn,则等比数列{}的公比为(  )‎ A. B.q2 ‎ C. D. 答案 C 解析 由题设有,Tn=b1·b2·b3·…·bn=b1·b1q·b1q2·…·b1qn-1=bq1+2+…+(n-1)=bq.‎ ‎∴ =b1q,∴等比数列{}的公比为.故选C.‎ ‎7.[2018·南通模拟]将自然数0,1,2,…按照如下形式进行摆列:‎ 根据以上规律判定,从2016到2018的箭头方向是(  )‎ 答案 A 解析 从所给的图形中观察得到规律:每隔四个单位,箭头的走向是一样的,比如说,0→1,箭头垂直指下,4→5,箭头也是垂直指下,8→9也是如此,而2016=4×504,所以2016→2017也是箭头垂直指下,之后2017→2018的箭头是水平向右.故选A.‎ ‎8.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如下表:‎ 表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推,例如6613用算筹表示就是,则5288用算筹可表示为________.‎ 答案 ‎ 解析 根据题意知,5288用算筹表示,从左到右依次是横式的5,纵式的2,横式的8,纵式的8,即.‎ ‎9.[2018·常州模拟]36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为36=22×32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2×3+2×32)+(22+22×3+22×32)=(1+2+22)(1+3+32)=91,参照上述方法,可求得200的所有正约数之和为________.‎ 答案 465‎ 解析 类比求36的所有正约数之和的方法,200的所有正约数之和可按如下方法求得:因为200=23×52,所以200的所有正约数之和为(1+2+22+23)(1+5+52)=465.‎ ‎10.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,都有≤‎ f.若y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,那么在△ABC中,sinA+sinB+sinC的最大值是________.‎ 答案  解析 由题意知,凸函数满足 ≤f,又y=sinx在区间(0,π)上是凸函数,则sinA+sinB+sinC≤3sin=3sin=.‎ ‎[B级 知能提升]‎ ‎1.[2018·徐州模拟]观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,…,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为(  )‎ A.76 B.80 ‎ C.86 D.92‎ 答案 B 解析 由|x|+|y|=1的不同整数解的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解的个数为12,归纳推理得|x|+|y|=n的不同整数解的个数为4n,故|x|+|y|=20的不同整数解的个数为80.故选B.‎ ‎2.[2018·中山模拟]‎ 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:‎ 他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是(  )‎ A.289 B.1024 ‎ C.1225 D.1378‎ 答案 C 解析 观察三角形数:1,3,6,10,…,记该数列为{an},则a1=1,‎ a2=a1+2,‎ a3=a2+3,‎ ‎…‎ an=an-1+n.‎ ‎∴a1+a2+…+an=(a1+a2+…+an-1)+(1+2+3+…+n),∴an=1+2+3+…+n=,‎ 观察正方形数:1,4,9,16,…,记该数列为{bn},则bn=n2.把四个选项的数字,分别代入上述两个通项公式,可知使得n都为正整数的只有1225.‎ ‎3.[2018·洛阳期末]设x>0,由不等式x+≥2,x+≥3,x+≥4,‎ ‎…,推广到x+≥n+1,则a=(  )‎ A.2n B.2n ‎ C.n2 D.nn 答案 D 解析 设x>0,由不等式x+≥2,x+≥3,x+≥4,…,推广到x+≥n+1,所以a=nn.故选D.‎ ‎4.在锐角三角形ABC中,求证:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.‎ 证明 ∵△ABC为锐角三角形,‎ ‎∴A+B>,∴A>-B,‎ ‎∵y=sinx在上是增函数,‎ ‎∴sinA>sin=cosB,‎ 同理可得sinB>cosC,sinC>cosA,‎ ‎∴sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.‎ ‎5.在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,求证:=+,那么在四面体A-BCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.‎ 解 如图,由射影定理得 AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,‎ AC2=DC·BC,‎ 故+=+===.‎ 在四面体A-BCD中,AB,AC,AD两两垂直,AH⊥底面BCD,垂足为H.‎ 则=++.‎ 证明:连接BH并延长交CD于E,连接AE.‎ ‎∵AB,AC,AD两两垂直,‎ ‎∴AB⊥平面ACD,又∵AE⊂平面ACD,‎ ‎∴AB⊥AE,在Rt△ABE中,‎ =+①‎ 又易证CD⊥AE,‎ 故在Rt△ACD中,=+②‎ 把②式代入①式,得=++.‎
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