2017-2018学年河北省张家口市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年河北省张家口市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省张家口市高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知全集，，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两个集合的并集的定义求出 A∪B，再利用集合的补集的定义求出 CU（A∪B）．‎ ‎【详解】‎ A∪B={2，3，5}∪{1，3，4}={1，2，3，4，5}，‎ ‎∴CU（A∪B）={6}，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的并集的定义和求法，求得A∪B是解题的关键．‎ ‎2．已知复数（是虚数单位），则（是的共轭复数）的虚部为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则和共轭复数的意义即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵z====，‎ ‎∴．‎ ‎∴z的共轭复数的虚部是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．‎ ‎3．已知命题：，使得，则为（ ）‎ A． ，总有 B． ，使得 C． ，总有 D． ，使得 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原命题为特称命题，则其否定为全称命题，即可得到答案 ‎【详解】‎ 命题：，使得 ‎：，总有 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是命题及其关系，命题的否定是对命题结论的否定，属于基础题。‎ ‎4．下面四个推导过程，符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（ ）‎ A． 大前提：分数是有理数；小前提：是有理数；结论：是分数 B． 大前提：分数是有理数；小前提：是分数；结论：是有理数 C． 大前提：是分数；小前提：分数是有理数；结论：是有理数 D． 大前提：是分数；小前提：是有理数；结论：分数是有理数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三段论推理的标准形式，逐一分析四个答案中的推导过程，可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；‎ 对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；‎ 对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；‎ 对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题．‎ ‎5．执行如图所示的程序框图，如果输出结果为，在空白判断框中的条件是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟执行程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的S ，i的值，即可得出退出循环时输出S=对应条件是什么．‎ ‎【详解】‎ 模拟执行程序框图，可得 S=1，i=1，‎ S=﹣=1，满足条件，S=﹣=，‎ 满足条件，S=﹣=，‎ 满足条件，S=﹣=，‎ 由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S=；‎ ‎∴判断框内应填的条件为：．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎6．若，，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的单调性比较a和b的大小，同时可断定a和b均小于1，运用对数函数的运算性质可得c大于1．‎ ‎【详解】‎ 根据指数函数的单调性得：‎ 而 ‎∴‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．‎ ‎7．已知命题：，命题：，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先对两个命题进行化简，解出其解集，由是的必要不充分条件，可以得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围 ‎【详解】‎ 由命题：解得或，‎ 则，命题：，，‎ 由是的必要不充分条件，所以 故选 ‎【点睛】‎ 结合“非”引导的命题考查了必要不充分条件，由小范围推出大范围，列出不等式即可得到结果，较为基础。‎ ‎8．将函数的图象向左平移1个单位得到曲线，而且曲线与函数的图象关于轴对称，则的表达式为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数图象变化之间的关系，以及函数对称之间的关系，进行推导即可．‎ ‎【详解】‎ 将函数的图象向左平移1个单位，得到函数y=，‎ 即曲线．‎ ‎∵曲线与函数的图象关于轴对称，‎ ‎∴g（x）=‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象之间的关系，要求熟练掌握函数图象的平移以及对称之间的关系．‎ ‎9．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（ ）‎ A． 平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则 B． 平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则 C． 在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为 D． 若，则复数.类比推理：“若，则”‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案 ‎【详解】‎ 对于，空间中，三条直线，若，则与不一定平行，故错误 对于，若，则若，则不正确，故错误 对于，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为，则它们的体积比为，故错误 对于，在有理数中，由可得，，解得 ‎，故正确 综上所述，故选 ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题。‎ ‎10．定义在上的奇函数满足，并且当时，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意明确函数的周期性，想方设法把100转化到给定范围上即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，且数为奇函数 ‎∴f（x+）=f（x）=‎ ‎∴ f（x+）‎ ‎∴函数的周期为，‎ ‎，‎ 又当时，，‎ ‎∴‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 抽象函数给出条件判断周期的常见形式为:‎ ‎(1) ；‎ ‎（2）；‎ ‎（3） .‎ ‎11．且，可进行如下“分解”：‎ 若的“分解”中有一个数是2019，则（ ）‎ A． 44 B． 45 C． 46 D． 47‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 探寻规律，利用等差数列求和进行判断 ‎【详解】‎ 由题意得底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，底数是的数分裂成个奇数，则底数是数分裂成个奇数，则共有个奇数，‎ 是从开始的第个奇数，‎ ‎，‎ 第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个，即，‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了数字的变化，找出其中的规律，运用等差数列求出奇数的个数，然后进行匹配，最终还是考查了数列的相关知识。‎ ‎12．函数，若函数三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数三个不同的零点，转化为两个函数图象有三个交点问题.‎ ‎【详解】‎ 当时，显然不适合题意；‎ 当a在上有一个实根，在上有两个不同实根，‎ ‎（1）当时，；‎ ‎（2）当时，，即 记，,在上单调递增，在上单调递减，‎ A，∴‎ 故实数满足的关系是：，即 故选：D ‎【点睛】‎ 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 二、填空题 ‎13．设，则_______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数的性质求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．‎ ‎14．已知函数的定义域和值域都为，则______.‎ ‎【答案】5.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出函数的对称轴方程，由此判断函数在给定的定义域[1，a]内是减函数，再根据函数的值域也是[1，a]，联立，可求b的值．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）=x2﹣2ax+b（a＞1）的对称轴方程为x=，‎ 所以函数f（x）=x2﹣2ax+b在[1，a]上为减函数，‎ 又函数在[1，a]上的值域也为[1，a]，‎ 则，即，‎ 由①得：b=3a﹣1，代入②得：a2﹣3a+2=0，解得：a=1（舍），a=2．‎ 把a=2代入b=3a﹣1得：b=5．‎ 故答案为5．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的单调性，考查了函数的值域的求法，考查了方程思想，解答此题的关键是判断函数在给定定义域内的单调性，属于中档题题．‎ ‎15．执行如图程序框图，输出的结果为______. ‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ n=2018时，输出S．利用三角函数的周期性即可得出．‎ ‎【详解】‎ n=2018时，输出S．‎ S=‎ 又的周期为12，由图象易知：‎ ‎，‎ ‎∴S==‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题的实质是累加满足条件的数据，可利用循环语句来实现数值的累加（乘）常分以下步骤：‎ ‎（1）观察S的表达式分析，确定循环的初值、终值、步长；‎ ‎（2）观察每次累加的值的通项公式；‎ ‎（3）在循环前给累加器和循环变量赋初值，累加器的初值为0，累乘器的初值为1，环变量的初值同累加（乘）第一项的相关初值；‎ ‎（4）在循环体中要先计算累加（乘）值，如果累加（乘）值比较简单可以省略此步，累加（乘），给循环变量加步长；‎ ‎（5）输出累加（乘）值．‎ ‎16．函数，其中，若对任意正数都有，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将条件成立，利用变量分离，转化为新函数的最值问题，利用导数求最小值即可．‎ ‎【详解】‎ 对任意正数都有 即不等式对于x∈（0，+∞）恒成立．‎ 设，则．‎ 故g（x）在上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，‎ 所以 g（x）的最小值是g（1）=1 ‎ 所以a的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为的形式，即求 ，或是的形式，即求 ，求参数取值.‎ 三、解答题 ‎17．已知复数，是的共轭复数，且为纯虚数，在复平面内所对应的点在第二象限，求.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据题意列出关于的方程组求解，再结合所对应的点在第二象限，即可求出 ‎【详解】‎ 设，则，∴‎ 又，.‎ ‎∴，联立，解得 又在第二象限，∴，即 ‎∴ ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的相关定义，设出复数的表示形式，根据题意列出方程组即可，本题较为基础，注意计算。‎ ‎18．已知，求证：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）见解析.‎ ‎（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用作差法，通过配方法即可证明不等式；‎ ‎（2）利用综合法证明不等式.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即 ‎∴‎ ‎∴ ‎ 即 ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．‎ ‎19．函数及其图象上一点.‎ ‎（1）若直线与函数的图象相切于，求直线的方程；‎ ‎（2）若函数的图象的切线经过点，但不是切点，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)，，所以直线斜率为，从而得到直线的方程；(2) 设切点坐标为，，切线的方程为代入点，得到的方程，解之即可得到直线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，所以直线斜率为，‎ 所以直线的方程为，即.‎ ‎（2）设切点坐标为，，切线的方程为 由直线经过点， ‎ 其中，，于是 ‎，整理得，‎ 即，而，所以.‎ 所以切点为，直线的斜率，‎ 此时直线的方程为，即.‎ 综上所述，直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 ‎①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．‎ ‎②已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.‎ ‎③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．‎ ‎20．已知，函数（是自然对数的底数）.‎ ‎（1）若有最小值，求的取值范围，并求出的最小值；‎ ‎（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的取值范围是，此时的最小值为.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）导函数为,对a分类讨论，明确函数的单调性，从而得到函数的最值；（2）设.由恒成立，即恒成立，研究函数单调性，求其最小值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），其导函数为 ‎①当时，对有，在上是函数，没有最小值；‎ ‎②当时，由得.当时，，在区间上是减函数，当时，，在区间上是增函数.所以的最小值为，所以的取值范围是，此时的最小值为.‎ ‎（2）设.‎ 由恒成立，即恒成立 ‎①当，则当时，，而，不可能有恒成立；‎ ‎②当，，设，则 在上增函数 又，所以在上，，是减函数，在区间上，，是增函数，最小值为.‎ 所以恒成立 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎21．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线 的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点.‎ ‎（1）当时，求两点的极坐标；‎ ‎（2）设，求的值.‎ ‎【答案】(1) ， (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将曲线化为极坐标方程，联立求出两点的极坐标 联立直线参数方程与曲线的普通方程，运用根与系数之间关系求出结果 ‎【详解】‎ ‎（1）曲线的普通方程，化为极坐标方程为 与联立，得，‎ 又∵，∴或 ‎∴两点的极坐标分别为，‎ ‎（2）直线的普通方程为化为参数方程为（为参数）①‎ 曲线的普通方程为②‎ 把①代入②，得 整理得，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 需要运用公式将普通方程与极坐标方程和参数方程之间的转化，在求解长度问题时，运用参数方程来解答会降低计算量。‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 或 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用分类讨论去绝对值， 然后求出不等式结果 由题意得，结合解集得出不等式组求出结果 ‎【详解】‎ ‎（1）即 ‎①当时，原不等式化为，即，解得，∴；‎ ‎②当时，原不等式化为，即，解得，∴.‎ ‎③当时，原不等式化为，即，解得，∴‎ ‎∴不等式的解集为或.‎ ‎（2）不等式可化为 问题转化为在上恒成立，又，得 ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了含有绝对值问题的不等式，首先需要进行分类讨论去掉绝对值，然后求出不等式结果，在第问中需要进行转化，继而只有一个绝对值问题求解。‎ ‎23．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），将圆上每一个点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线.‎ ‎（1）求直线的普通方程及曲线的参数方程；‎ ‎（2）设点在直线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的直角坐标.‎ ‎【答案】(1) （为参数）(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用消参求出直线的普通方程，解出曲线的普通方程，然后转化为参数方程 转化为点到直线的距离，运用参数方程进行求解 ‎【详解】‎ ‎（1）由得，消元得 设为圆上的点，在已知变换下变为上的点，依题意得 由，得 ‎∴化为参数方程为（为参数）‎ ‎（2）由题意，最小值即椭圆上点到直线距离的最小值 设，（其中，）‎ ‎∴，此时，即（）‎ ‎∴，∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了普通方程与参数方程之间的转化，需要运用公式熟练求解，在求最值问题时运用参量来求解，转化为三角函数的最值问题。‎ ‎24．已知函数 ‎（1）设的最大值为，求的最小值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若，且，求的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2)2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用不等式性质求出最小值 根据不等式求最大值 ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴（当且仅当时取“=”号）‎ ‎∴‎ ‎（2）∵（当且仅当时取“=”号），‎ ‎（当且仅当时取“=”号），‎ ‎（当且仅当时取“=”号），‎ ‎∴（当且仅当时取“=”号）‎ ‎∴（当且仅当时取“=”号）‎ ‎∴的最大值为2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据绝对值的应用求出不等式的解集，运用不等式性质求解是本题关键，注意题目中的转化。‎