2018-2019学年海南省海南中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年海南省海南中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年海南省海南中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据集合的交集的概念得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ 已知集合，集合，则集合。‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．‎ ‎2．若，则的值为( )‎ A．2 B．8 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数表达式得到内层,.‎ ‎【详解】‎ 若，则,.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.‎ ‎3．下列函数中，既是偶函数，又在单调递增的函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据偶函数的义域必须关于原点对称，以及满足f(x)=f(-x),可依次判断选项中是否满足这两个条件，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ A.定义域为，故不满足偶函数的定义；B. ,故不是偶函数；C. =，定义域是x不为0，关于原点对称，是偶函数，但是在单调递减,故不正确；D =，定义域是x不等于0，且关于原点对称，满足偶函数的定义域，在上单调递增.满足题意.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.‎ ‎4．下列各组函数是同一函数的是（ ）‎ ‎①与②与③与 ‎④与 A．① B．② C．③ D．④‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据两函数相同的定义可知，只要两个函数的定义域相同，应法则相同，则两函数一定为同一函数.‎ ‎【详解】‎ ‎①与两者定义域不同，故不是同一函数；②与=|x|,两者的函数解析式不同，故不是同一函数；③与，函数f(x)的定义域没有x=0,另一函数的定义域是R故两者的定义域不同，不是同一函数；④与，两者的定义域相同函数解析式相同，是同一函数.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了函数的三要素，判断函数是否为同一函数主要是看两个函数的三要素是否形同；其中两个函数的对应法则相同和定义域相同则两个函数一定是同一个函数，定义域相同和值域相同则两个函数不一定为同一函数.‎ ‎5．已知，则 的大小关系为( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指对函数的性质得到每个自变量的大小关系，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 已知, , ,故可得到 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是比较指数和对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和0，1，-1比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小。‎ ‎6．函数的定义域为（ ）‎ A．（，+∞） B．［1，+∞ C．（，1 D．（－∞，1）‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义，则 ， 解得 ‎ 则函数的定义域是 ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数定义域的求法，即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组，最后注意要用集合或区间的形式表示出来，这是易错的地方．‎ ‎7．函数的单调递减区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求函数的定义域，根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由x2+2x﹣8＞0得x＞2或x＜﹣4，‎ 设t=x2+2x﹣8，则y=为增函数，‎ 要求函数f（x）的递减区间，即求函数t=x2+2x﹣8的递减区间，‎ ‎∵函数t=x2+2x﹣8的递减区间为（﹣∞，﹣4），‎ ‎∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣4），‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎8．函数的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数∴， ‎ 即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除BD ‎ 当时，，即函数图象过原点，故排除C ，‎ 本题选择A选项.‎ ‎9．方程  的解所在区间是（  ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令函数，则函数是上的单调增函数，且是连续函数，根据，可得函数的零点所在的区间为，由此可得方程的解所在区间．‎ ‎【详解】‎ 令函数，则函数是上的单调增函数，且是连续函数. ∵，‎ ‎∴‎ ‎∴故函数的零点所在的区间为 ∴方程的解所在区间是 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.‎ ‎10．函数在区间内不单调，则实数 的取值范围（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于函数y=|2x-1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,而函数在区间(k-1,k+1)内不单调,所以有k-1<00解集为（-2,2）；‎ ‎（3）若为R上的奇函数，则也是R上的奇函数；‎ ‎（4）若一个函数定义域且的奇函数，当时,,则当x<0时，其中正确的是____________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由单调性的定义，即可判断①；由偶函数的单调性可得f（x）在[0，+∞）上递增，f（x）＞0即为f（|x|）＞f（2），即有|x|＞2，计算即可判断②；由奇偶性的定义，即可判断③；由周期函数的定义，可得f（x）为周期函数，并非对称函数，若f（x）满足f（t+x）=f（t﹣x），则f（x）关于直线x=t对称，即可判断④．‎ ‎【详解】‎ 对于（1），若对于任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，即当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2），则f（x）为R上的减函数，则(1)对；‎ 对于（2），若f（x）为R上的偶函数，且在（﹣∞，0）内是减函数，则f（x）在（0，+∞）上递增，f（2）=f（﹣2）=0，则f（x）＞0即为f（|x|）＞f（2），即有|x|＞2，解得x＞2或x＜﹣2，则（2）错；‎ 对于（3），若f（x）为R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），f（﹣x）f（|﹣x|）=﹣f（x）f（|x|），即有y=f（x）f（|x|）是奇函数，则③正确；‎ 对于（4），当时,,当x<0时，-x>0,则=-f(x),故，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性和奇偶性以及周期性的判断和运用，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题和易错题．‎ 三、解答题 ‎17．17.已知全集,集合，.‎ ‎(1)当时，求集合;‎ ‎(2)若 ,求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）分别解出集合A，B，再由集合交集的概念得到结果；（2）由补集的概念得到集合B的补集，再由交集的概念得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎。‎ ‎ ‎ ‎ ，即 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 集合的题目，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．‎ ‎18．(1)已知，且，求实数的值；‎ ‎(2)已知，试用表示。‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据指对运算得到，由则，即，由指对互换运算得到结果；（2）原式子变形为，.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 同理，‎ 由则 即 ‎（）.‎ ‎（2）‎ ‎。‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了指对运算的互化，较为简单，这类题目注意明确目标，将题目中的条件向目标式子化简即可。‎ ‎19．经过市场调查，超市中的某种小商品在过去的近40天的日销售量（单位：件）与价格（单位：元）为时间（单位：天）的函数，且日销售量近似满足，价格近似满足。‎ 写出该商品的日销售额（单位：元）与时间（）的函数解析式并用分段函数形式表示该解析式（日销售额=销售量商品价格）；‎ 求该种商品的日销售额的最大值和最小值。‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）当时，取最小值，当时，取最大值.‎ ‎【解析】（1）根据题意知，去掉绝对值，写成分段函数即可；（2）根据第一问的表达式，分段讨论函数的单调性，分段得到函数最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知 ‎。‎ ‎（2）当时，在区间上单调递减，故；‎ 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，故 当时，取最小值，当时，取最大值。‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是函数的实际应用，以及选择合适的模型来解决实际的问题，这类题目关键是审清题意，选择合适的函数模型，常见的函数模型有，分段函数，分式型函数，二次函数，指对函数等，注意自变量的实际意义.‎ ‎20．已知函数，且。‎ ‎（1）直接写出的值及该函数的定义域、值域和奇偶性；‎ ‎（2）判断函数f(x)在区间上的单调性，并用定义证明你的结论。‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）‎ 定义域为 值域为奇偶性为奇函数。‎ ‎（2）在区间上单调递增。‎ 设，则 ‎ ‎ ‎，即 故函数在区间上单调递增。‎ ‎21．已知在区间 上的值域为。‎ ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)若不等式 当上恒成立，求实数k的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)分类讨论二次函数的轴和区间的关系，分别讨论函数的单调性，进而得到函数的最值；（2）由已知得在上恒成立 在上恒成立，令，且，则上式 恒成立，根据二次函数的性质求最值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 当时，在上单调递增 ‎，即，与矛盾。故舍去。‎ 当时，，即，故 此时，满足时其函数值域为。‎ 当时，在上单调递减 ‎，即，舍去。‎ 综上所述：。‎ ‎（2）由已知得在上恒成立 ‎ 在上恒成立 令，且，则上式 恒成立。记 时单调递减，‎ 故 所以的取值范围为。‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了二次函数在小区间上的最值问题，一般转化为轴动区间定或者轴定区间动的问题，分类讨论函数的单调性，进而得到最值；也考查到恒成立求参的问题，一般采用变量分离的方法，转化为最值问题.‎ ‎22．若存在不为零的常数,使得函数对定义域内的任意均有，则称函数为周期函数，其中常数就是函数的一个周期。‎ ‎(1)证明：若存在不为零的常数，使得函数对定义域内任意均有，则此函数为周期函数；‎ ‎(2)若定义在的奇函数满足，试探究此函数在区间内的零点的最少个数。‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】(1),由周期定义得到结果；（2）由（1）知，函数是周期函数，且是函数的一个周期，因为是上的奇函数，则，，，,,进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：‎ 即 函数是周期函数，且是函数的一个周期。‎ ‎（2）由（1）知，函数是周期函数，且是函数的一个周期 即 又函数是上的奇函数，则 又，‎ 故 又 所以函数在区间内的零点的最少个数为。‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了函数的周期性的证明，一般是按照周期的定义来证明；也考查了函数的奇偶性的应用，奇函数若在0处有意义，则此处的函数值一定为0，对于初等函数的考查，多数是将函数的性质综合到一起考查，比如奇偶性和单调性，周期性等.‎