数学卷·2019届广西桂林中学高二上学期第一次月考（开学考试）数学试题（解析版）x

数学卷·2019届广西桂林中学高二上学期第一次月考（开学考试）数学试题（解析版）x

桂林中学2017-2018学年度上学期10月开学考 高二 数 学 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 不等式x2-1＜0的解集为 A. （0，1） B. （﹣1，1）‎ C. （﹣∞，1） D. （﹣∞，－1）∪（1，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】不等式 可化为 解得 ‎ 故选B ‎2. 在△ABC中，a=3，b=，c=2，那么B等于 A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：,中．故C正确．‎ 考点：余弦定理．‎ ‎3. 已知等比数列{an}的公比，a2=8，则其前3项和S3的值为 A. 28 B. 32 C. 48 D. 64‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题等比数列 中， ∵公比 ‎ 则 ‎ 故选A．‎ ‎4. 设a，b为非零实数，且a＜b，则下列不等式恒成立的是 A. a2＞a b B. a2＜b2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】A.当 时 ，但 ，故A不恒成立 B. 当 时 ，但 ，故B故不恒成立 D当 时 ，但 ，故D故不恒成立 C 恒成立 故选C ‎5. 若x，y满足，则2x+y的最大值为 A. 0 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎6. 在△ABC中，若acosB=bcosA，则该三角形一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】 ，由正弦定理可得： ， 即 又 即 则△ABC的形状是等腰三角形， 故选D ‎【点睛】本题考查了三角形的形状判断，正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，其中根据三角函数值求角的大小，推出 是解题的关键．‎ ‎7. 已知△ABC中，a=，b=1，B=30°，则△ABC的面积是 A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】由于 中， ‎ 则由正弦定理可得， 即有 则 或 ， 若 ，则 °，则的面积是 ； 若 ，则 ，则的面积是 ． 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理和三角形的面积公式及运用，考查三角形的内角和定理，以及运算求解能力，解题时注意的值由2个,这是一道易错题．‎ ‎8. 要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度是 A. 30m B. 40m C. m D. m ‎【答案】B ‎【解析】由题题意，设 则 ‎ 在 中， ∴根据余弦定理，得 即： ‎ 整理得 解之得 或 （舍） 即所求电视塔的高度为40米． 故选B．‎ ‎9. 若a＞0，b＞0，且lga和lgb的等差中项是1，则的最小值是 A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】 （当且仅当 时等号 成立） 故选：B．‎ ‎10. 已知数列是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且有S9＜S8=S7，则下 列说法不正确的是 A. S9＜S10 B. d＜0‎ C. S7与S8均为Sn的最大值 D. a8=0‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据 ，得到 又由 ，得到 得到等差数列为 的递减数列，则 与 均为 的最大值． 所以只有答案A是错误的． 故选A ‎11. 如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运 A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年 ‎【答案】C ‎【解析】设二次函数为 将点 代入，得 故二次函数为 则年平均利润为 ‎ 当且仅当 ，即 时，取等号， ∴每辆客车营运5年，年平均利润最大，最大值为2万元． 故选C ‎12. 已知数列满足(n∈N*)，且对任意n∈N*都有，则t的取值范围为 A. （，+∞） B. [，+∞） C. （，+∞） D. [，+∞）‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵数列 满足 时， 时， ，可得 ． ，数列{ ‎ 为等比数列，首项为，公比为． ． ∵对任意 都有，则的取值范围为 ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力．其中放缩是解题的关键 第II卷 非选择题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． ‎ ‎13. 若关于x的不等式x2+ax-2＜0的解集{x|-2＜x＜1}，则a =_____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】不等式 x2-ax+b＜0的解集}， 即的解为 ， 由韦达定理可得： ，即．‎ 故答案为1‎ ‎14. 在等差数列中，若__________．‎ ‎【答案】-10‎ ‎【解析】由题等差数列 中，由 ，得 即 ‎ ‎15. 记数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有Sn=2an﹣3，则a6=_____．‎ ‎【答案】96‎ ‎【解析】由题意对任意的 ，都有 ‎ ‎∴当 时， 两式相减，得 1，即 ∴数列 是首项为3、公比为2的等比数列， ‎ 故答案为96．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累.‎ ‎16. 在△ABC中，∠ABC=90°，延长AC到D，连接BD，若∠CBD=30°，且AB=CD=1，‎ 则AC=________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，延长 ，过 作 ，垂足为，则 设 ，则 ‎ ‎． 故答案为： ‎ 三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．‎ ‎17. 已知等差数列满足：a3=7，a5+a7=26，求数列的通项公式及其前n项和Sn．‎ ‎【答案】an=2n+1; Sn=n2+2n.‎ ‎【解析】试题分析：设等差数列 的公差为，可得首项和公差的方程组，解方程组易得通项公式及其前项和 ．‎ 试题解析;设等差数列{an}的公差为d，‎ 则，‎ 解得，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，‎ ‎ Sn==n2+2n．‎ ‎18. 如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察 点C、D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得∠ADC=30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，‎ 求该船航行的速度.‎ ‎【答案】船速为 千米/分钟 试题解析：:在△BCD中,∠BDC=30°+60°=90°，CD=1，∠BCD=45°，‎ 从而BC= ， ‎ 在△ACD中,∠CAD=180°-(60°+45°+30°)=45°,‎ 由正弦定理,得，解得AC=，‎ 在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos 60°=， ‎ 解得AB=，船速为 千米/分钟．‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的实际应用，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，解决问题时，思路清晰，条理清楚是关键 ‎19. 已知等比数列满足a3a4a5=512，a3+a4+a5=28，且公比大于1．‎ ‎（1）求通项公式； ‎ ‎（2）设，求 前n项和Sn．‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由等比数列的性质 ，可得，则由已知可得 ‎ 解之，结合公比大于1， ，由此可得求通项公式；‎ ‎（2） 利用裂项相消法可求 前n项和Sn．‎ 试题解析 （1）∵，得a4=8，‎ ‎∴a3a5=64，a3+a5=20；‎ ‎∴，又q＞1，‎ ‎∴‎ ‎（2）∵bn=log22n=n， ∴‎ ‎∴，‎ ‎==.‎ ‎20. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若a+c=1，求b的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】试题分析; （1）已知等式利用正弦定理，整理后根据 不为0求出 的值，由 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数； （2）由余弦定理列出关系式，变形后将 及 的值代入表示出 ，根据的范围，利用二次函数的性质求出的范围，即可求出 的范围．‎ 试题解析：（1）由已知得： ， 由正弦定理，得 ，‎ ‎∵sinA≠0，则 ， 即 ，又B∈（0，π），‎ 则B=.‎ ‎（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即 b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）‎ ‎=3（a﹣）2+，由0＜a＜1，得≤b2＜1，∴≤b＜1．‎ ‎【点睛】此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．‎ ‎21. 已知关于x不等式x2﹣2mx+m+2<0（m∈R）的解集为M．‎ ‎（1）当M为空集时，求m的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求的最大值；‎ ‎（3）当M不为空集，且M[1，4]时，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 实数m的取值范围为（﹣1，2）;(2) 的最小值为;(3) a的取值范围为.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1） 为空集时 ，由此求出 的取值范围； (2) 由（1）知 ，则 函数化为 ,利用基本不等式可求出其最大值 ‎（3）设，讨论M为空集和M不为空集时，利用判别式，结合图象求出实数m的取值范围．‎ 试题解析：（1）∵M为空集，‎ ‎∴△=4m2﹣4（m+2）＜0，即m2﹣m﹣2＜0‎ ‎∴实数m的取值范围为（﹣1，2）.‎ ‎（2）由（1）知m∈（﹣1，2），则m+1>0，‎ ‎ ∴f(m)= ‎ ‎ 即f(m)=当且仅当，即时取等号.‎ ‎ 所以 ‎（3）令f（x）=x2﹣2ax+a+2=（x﹣a）2﹣a2+a+2，‎ 当M不为空集时，由M⊆[1，4]，得 ‎．综上，实数a的取值范围为 ‎22. 已知数列的前n项的和Sn，点（n，Sn）在函数=2x2+4x图象上：‎ ‎（1）证明是等差数列；‎ ‎（2）若函数，数列{bn}满足bn=，记cn=an•bn，求数列 前n项和Tn；‎ ‎（3）是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f(x)=﹣x2+4x﹣≤0对任意n∈N*‎ 恒成立？若存在，求出最大的实数λ，若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1) 数列{an}的通项公式为an=4n+2;(2) Tn=10﹣（2n+5） ;(3) 实数λ=1,见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）要求数列的通项公式，利用，然后把 代入验证； （2）由函数 ，数列满足 ，利用错位相减法可得数列{ 前 项和 （3）假设存在实数 ，使得当 时， ‎ 对任意 恒成立，即对任意恒成立，由 是递增数列，能推导出存在最大的实数 ，使得当 时， 对任意恒成立 试题解析;（1）由题意，Sn=2n2+4n，‎ 当n=1时，a1=S1=6，‎ ‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n2+4n）﹣[2（n﹣1）2+4（n﹣1）]=4n+2，‎ 当n=1时，a1=S1=4+2=6，也适合上式 ‎∴数列{an}的通项公式为an=4n+2，n∈N*；是等差数列 ‎（2）∵函数g（x）=2﹣x，‎ ‎∴数列{bn}满足bn=g（n）=2﹣n，‎ 又∵cn=an•bn，‎ ‎∴Tn=6×2﹣1+10×2﹣2+14×2﹣3+…+（4n+2）×2﹣n，…①，‎ ‎∴Tn=6×2﹣2+10×2﹣3+…+（4n﹣2）×2﹣n+（4n+2）×2﹣（n+1），…②，‎ ‎①﹣②得：‎ ‎ ‎ ‎（3）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，对任意 n∈N*恒成立，即任意n∈N*恒成立，‎ ‎∵an=4n+2，是递增数列，‎ 所以只要﹣x2+4x≤c1，即x2﹣4x+3≥0，解得x≤1或x≥3．‎ 所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤cn对任意n∈N*恒成立．‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查数列不等式的应用，解题时要认真审题，注意错位相消法和等价转化思想的合理运用．‎ ‎ ‎ ‎ ‎