数学·上海市徐汇区位育中学2017届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

数学·上海市徐汇区位育中学2017届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

位育中学2017届第一学期期中考试高三数学试卷 一 填空题（本大题满分56分，每小题4分）‎ ‎1 设集合,;则集合=______________‎ ‎2 已知，则=_____________‎ ‎3 公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则=_____________‎ ‎4 求值：=_____________‎ ‎5 在等差数列中，若，则_____________‎ ‎6 在中，，，,则=____________‎ ‎7 已知数列是递增数列的等比数列，，，则数列的前项和等于____________‎ ‎8 若函数 （且）的值域是。则实数的取值范围是____________‎ ‎9 若函数为偶函数，则___________‎ ‎10 设是数列的前项和，且， ，则=___________‎ ‎11 设函数 ，则使得成立的的取值范围是__________‎ ‎12 已知函数 ，，若函数在区间内单调递增，且函数的图像关于对称，则的值为___________‎ ‎13 若是函数 的两个不同的零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于___________‎ ‎14 已知函数， ，若同时满足条件：‎ （1） 对任意实数都有或；（2）总存在 时，使 成立，则的取值范围是___________‎ 二 选择题（满分20分，每小题5分）‎ ‎15 设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是（ ）‎ ‎ 若 ,则数列有最大项 若数列有最大项，则 ‎ 若数列是递增数列，则对任意,均有 ‎ ‎ 若对任意，均有，则数列是递增数列 ‎16 将函数 的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足 的 ，有 ，则=___________‎ ‎ ‎ ‎17 已知是定义在上的偶函数且以2为周期，则“为上的增函数”是“为上的减函数”的（ ）‎ ‎ 充分而不必要的条件 必要而不充分的条件 ‎ 充要条件 既不充分也不必要的条件 ‎18 对于函数，若存在区间 使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：‎ ‎①f（x）=sin（x）；‎ ‎②f（x）=2x2﹣1；‎ ‎③f（x）=|1﹣2x|； ‎ ‎④f（x）=log2（2x﹣2）．‎ 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（　　）‎ ‎ ．①②③ B．②③ C．①③ D．②③④‎ 三 解答题（满分74分）‎ ‎19 （满分12分）‎ 已知二次函数 ，若不等式的解集为 ‎ ‎（1）解关于的不等式：；‎ ‎（2）是否存在实数 ，使得关于的函数 的最小值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由 ‎20 （本题满分14分）‎ 在中,已知 , , ‎ ‎（1）求的值;‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎21 (本题满分14分)‎ 已知函数 ‎ ‎（1）求函数的最小正周期;‎ ‎（2）将函数的图像向右平移 个单位长度,再向下平移 个单位长度后得到函数的图像,且函数的最大值为2 .‎  求函数的解析式;‎ ‚ 证明:存在无穷多个互不相同的正整数 ,使得 ‎ ‎22 (本题满分16分)‎ 已知数列的前项和为, 且 对一切整数都成立.‎ ‎（1）求 ,的值 ‎（2）若,设数列的前项和为, 且满足 ,证明是等差数列;‎ ‎（3）当为何值时, 最大? 并求出的最大值.‎ ‎23(本题满分18分)‎ 已知函数 ,如果存在给定的实数对 ,使得恒成立,则称为”函数” .‎ ‎（1）判断函数, 是否是”函数” .‎ ‎（2）若 是一个”函数” .,求出所有满足条件的有序实数对;‎ ‎（3）若定义域为的函数 是”函数” ,且存在满足条件有序实数对和 ,当时, 的值域为 ,求当 时函数的值域 ‎　‎ ‎2016-2017学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）‎ ‎1．设集合U={1，2，3，4，5，6}，∁UM={1，2，4}；则集合M=　{3，5，6}　．‎ ‎【考点】补集及其运算．‎ ‎【专题】集合思想；定义法；集合．‎ ‎【分析】利用全集和补集的定义，确定集合M元素的构成 ‎【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，∁UM={1，2，4}；‎ 则M是把全集U中的元素去掉后，剩余元素构成的集合，‎ 即集合M={3，5，6}．‎ 故答案为：{3，5，6}．‎ ‎【点评】本题考查全集和补集的定义与应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎2．已知sin（﹣α）=，则cos（π﹣α）=　﹣　．‎ ‎【考点】运用诱导公式化简求值．‎ ‎【专题】三角函数的求值．‎ ‎【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出cosα的值，原式利用诱导公式化简后把cosα的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：∵sin（﹣α）=cosα=，‎ ‎∴cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣．‎ 故答案为：﹣‎ ‎【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a10=　5　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由已知条件利用等比数列通项公式求出，从而得到，由此利用对数性质能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，‎ ‎∴a7====4，‎ ‎∴=4，解得=，‎ ‎∴==25，‎ ‎∴log2a10==5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查对值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎4．求值：arcsin（cos）=　﹣　．‎ ‎【考点】反三角函数的运用．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；演绎法．‎ ‎【分析】利用反三角函数的定义，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：令arcsin（cos）=α，则sinα=cos=sin（﹣），‎ ‎∴α=﹣，‎ 故答案为﹣．‎ ‎【点评】本题考查反三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎5．在等差数列{an}中，若a3+a4+a6+a7=25，则a2+a8=　　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质可得：a3+a7=a4+a6=a2+a8，又a3+a4+a6+a7=25，‎ 则a2+a8==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．在△ABC中，a=3，b=，A=，则B=　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．‎ ‎【分析】由已知及正弦定理可求sinB，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解．‎ ‎【解答】解：∵a=3，b=，A=，‎ ‎∴sinB===，‎ ‎∵b＜a，可得B为锐角，‎ ‎∴B=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（2015•安徽）已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前n项和等于　2n﹣1　．‎ ‎【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{an}的前n项和．‎ ‎【解答】解：数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，‎ 可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，‎ ‎∴8=1×q3，q=2，‎ 数列{an}的前n项和为：=2n﹣1．‎ 故答案为：2n﹣1．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的性质，数列{an}的前n项和求法，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎8．（2015•福建）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是　（1，2]　．‎ ‎【考点】对数函数的单调性与特殊点．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+logax≥4，即logax≥1，故有loga2≥1，由此求得a的范围，综合可得结论．‎ ‎【解答】解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），‎ 故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥4．‎ 当x＞2时，由f（x）=3+logax≥4，∴logax≥1，∴loga2≥1，∴1＜a≤2．‎ 综上可得，1＜a≤2，‎ 故答案为：（1，2]．‎ ‎【点评】本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（2016春•晋城校级期末）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=　1　．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）=f（x），‎ ‎∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），‎ ‎∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），‎ ‎∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，‎ ‎∴ln（+x）（﹣x）=0，‎ ‎∴lna=0，‎ ‎∴a=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．‎ ‎　‎ ‎10．设Sn是数列{an}的前n项和，a1=﹣1，an+1=SnSn+1，则Sn=　﹣　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】an+1=SnSn+1，可得Sn+1﹣Sn=SnSn+1，=﹣1，再利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵an+1=SnSn+1，∴Sn+1﹣Sn=SnSn+1，‎ ‎∴=﹣1，‎ ‎∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．‎ ‎∴=﹣1﹣（n﹣1）=﹣n，‎ 解得Sn=﹣．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．设函数f（x）=1n（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围为　（）　．‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质．‎ ‎【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据函数的表达式可知函数f（x）为偶函数，判断函数在x大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，可得|x|＞|2x﹣1|，解绝对值不等式即可．‎ ‎【解答】解：f（x）=ln（1+|x|）﹣定义域为R，‎ ‎∵f（﹣x）=f（x），‎ ‎∴函数f（x）为偶函数，‎ 当x＞0时，f（x）=ln（1+x）﹣值函数单调递增，‎ 根据偶函数性质可知：得f（x）＞f（2x﹣1）成立，‎ ‎∴|x|＞|2x﹣1|，‎ ‎∴x2＞（2x﹣1）2，‎ ‎∴x的范围为（）‎ 故答案为：（）．‎ ‎【点评】考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．‎ ‎　‎ ‎12．（2015•天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为　　．‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【专题】开放型；三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+=kπ+‎ ‎，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，结合已知可得：ω2=，从而可求ω的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），‎ ‎∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0‎ ‎∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，‎ ‎∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，‎ ‎∴解得：0＜ω2≤且0＜ω2≤2k，k∈Z，‎ 解得：﹣，k∈Z，‎ ‎∴可解得：k=0，‎ 又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，‎ ‎∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：ω=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（2015•福建）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于　9　．‎ ‎【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．‎ ‎【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，‎ ‎∵p＞0，q＞0，‎ 可得a＞0，b＞0，‎ 又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，‎ 可得①或②．‎ 解①得：；解②得：．‎ ‎∴p=a+b=5，q=1×4=4，‎ 则p+q=9．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2．‎ 若同时满足条件：‎ ‎①任意x∈R满足f（x）＜0或g（x）＜0；‎ ‎②存在x∈（﹣∞，﹣4）满足f（x）g（x）＜0，则m的取值范围是　（﹣4，﹣2）　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】因g（x）=2x﹣2＜0时x＜1，由题意f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时成立，根据二次函数的性质求出m的取值范围；因x∈（﹣∞，﹣4）时f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x﹣2＜0，则f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质求出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵g（x）=2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，‎ 又∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，‎ ‎∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，‎ ‎∴由二次函数的性质知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左边，‎ 即，‎ 解得﹣4＜m＜0，‎ 又x∈（﹣∞，﹣4）时，f（x）g（x）＜0，‎ 此时g（x）=2x﹣2＜0恒成立，‎ ‎∴f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，‎ 则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可．‎ ‎（i）当﹣1＜m＜0时，﹣m﹣3＜﹣4不成立，‎ ‎（ii）当m=﹣1时，有2等根，不成立，‎ ‎（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，2m＜﹣4即m＜﹣2成立；‎ 综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．‎ 故答案为：（﹣4，﹣2）．‎ ‎【点评】本题用全称命题与存在性命题考查了指数函数与二次函数性质的应用问题，是易错题．‎ ‎　‎ 二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎15．（5分）设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是（　　）‎ A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{S}有最大项，则d＜0‎ C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*均有Sn＞0‎ D．若对任意n∈N*均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由等差数列的求和公式可得Sn=na1+d=n2+（a1﹣）n，利用二次函数的单调性与数列的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：由等差数列的求和公式可得Sn=na1+d=n2+（a1﹣）n，‎ 选项A，若d＜0，由二次函数的性质可得数列{Sn}有最大项，故正确；‎ 选项B，若数列{Sn}有最大项，则对应抛物线开口向下，则有d＜0，故正确；‎ 选项C，若数列{Sn}是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意n∈N*，均有Sn＞0，故错误．‎ 选项D，若对任意n∈N*，均有Sn＞0，对应抛物线开口向上，d＞0，可得数列{Sn}是递增数列，故正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．‎ ‎【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，‎ 不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，‎ x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖．有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（　　）‎ A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；定义法；简易逻辑．‎ ‎【分析】由题意，可由函数的性质得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数的周期性即可得出f（x）为[3，4]上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为[3，4]上的减函数结合周期性即可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f（x）为[0，1]上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项 ‎【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴若f（x）为[0，1]上的增函数，则f（x）为[﹣1，0]上是减函数，‎ 又∵f（x）是定义在R上的以2为周期的函数，且[3，4]与[﹣1，0]相差两个周期，‎ ‎∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立．‎ 若f（x）为[3，4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立．‎ 综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由那个条件到那个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错 ‎　‎ ‎18．（5分）（2015•上海模拟）对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：‎ ‎①f（x）=sin（x）；‎ ‎②f（x）=2x2﹣1；‎ ‎③f（x）=|1﹣2x|； ‎ ‎④f（x）=log2（2x﹣2）．‎ 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（　　）‎ A．①②③ B．②③ C．①③ D．②③④‎ ‎【考点】正弦函数的定义域和值域．‎ ‎【专题】新定义；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论．‎ ‎【解答】解：①函数f（x）=sin（x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=[0，1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A=[﹣1，0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．‎ ‎②当A=[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[﹣1，1]一个．‎ ‎③A=[0，1]为函数f（x）=|2x﹣1|的“可等域区间”，‎ 当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数单调递增，f（0）=1﹣1=0，f（1）=2﹣1=1满足条件，‎ ‎∴m，n取值唯一．故满足条件．‎ ‎④∵f（x）=log2（2x﹣2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞），‎ 若存在“可等域区间”，则满足，即，‎ ‎∴m，n是方程2x﹣2x+2=0的两个根，设f（x）=2x﹣2x+2，f′（x）=2xln2﹣2，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，‎ ‎∴f（x）=2x﹣2x+2=0不可能存在两个解，‎ 故f（x）=log2（2x﹣2）不存在“可等域区间”．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．‎ ‎　‎ 三.解答题（满分74分）‎ ‎19．（12分）已知二次函数f（x）=mx2﹣2x﹣3，若不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，n）．‎ ‎（1）解关于x的不等式：2x2﹣4x+n＞（m+1）x﹣1；‎ ‎（2）是否存在实数a∈（0，1），使得关于x的函数y=f（ax）﹣4ax+1（x∈[1，2]）的最小值为﹣4？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法；二次函数在闭区间上的最值．‎ ‎【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合根与系数的关系，求出m与n的值，再求不等式的解集；‎ ‎（2）用换元法，得函数y=t2﹣（4a+2）t﹣3，求出最小值为﹣4时的a的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=mx2﹣2x﹣3，且f（x）＜0的解集为（﹣1，n），‎ ‎∴方程mx2﹣2x﹣3=0的两个实数根是﹣1，n，且m＞0；‎ ‎∴，‎ 解得；‎ ‎∴原不等式可化为（x﹣2）（x﹣1）＞0，‎ 解得解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）；‎ ‎（2）设t=ax，且a∈（0，1），‎ ‎∴x∈[1，2]时，ax∈[a2，a]；‎ 函数y=f（ax）﹣4ax+1=t2﹣（4a+2）t﹣3，‎ 对称轴是t=2a+1＞a，‎ ‎∴ymin=a2﹣（4a+2）a﹣3=﹣4，‎ 解得a=或a=﹣1（舍去）；‎ ‎∴存在实数a=．‎ ‎【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了换元法的应用问题，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）在△ABC中，已知cosA=，tan+cot=，c=21．‎ ‎（1）求cos（A﹣B）的值；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得sinA、sinB的值，可得cosB的值，从而求得 cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB 的值．‎ ‎（2）先求得sinC=sin（A+B） 的值，再利用正弦定理求得a的值，从而求得△ABC的面积为 的值．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC中，∵已知cosA=，∴sinA==，∴A＞．‎ ‎∵tan+cot==═，∴sinB=∈（，），‎ ‎∴B∈（，），cosB==，‎ ‎∴cos（A﹣B）=cosAcosB+sinAsinB=•+•=．‎ ‎（2）∵c=21，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，‎ 由正弦定理可得=，即 =，∴a=20，‎ ‎∴△ABC的面积为 =•20•21•=126．‎ ‎【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2015•福建）已知函数f（x）=10sincos+10cos2．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的 最大值为2．‎ ‎（i）求函数g（x）的解析式；‎ ‎（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0．‎ ‎【考点】三角函数的最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【专题】开放型；三角函数的求值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先化简函数的解析式，进而求出最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）（i）先求出每一步函数变换的函数解析式，再根据g（x）的最大值为2，容易求出a的值，然后进而写出g（x）的解析式；‎ ‎（ii）就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得10sinx0 ﹣8＞0，即sinx0 ，由＜知，存在0＜α0＜，使得sinα0=‎ 由正弦函数的性质当x∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0）（k∈Z）时，均有sinx，即可证明．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=10sincos+10cos2=5sinx+5cosx+5=10sin（x+）+5，‎ ‎∴所求函数f（x）的最小正周期T=2π；‎ ‎（Ⅱ）（i）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到y=10sinx+5的图象，‎ 再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）=10sinx+5﹣a的图象，‎ ‎∵函数g（x）的最大值为2，∴10+5﹣a=2，解得a=13，‎ ‎∴函数g（x）=10sinx﹣8．‎ ‎（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0，‎ 就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得10sinx0 ﹣8＞0，即sinx0 ，‎ 由＜知，存在0＜α0＜，使得sinα0=，‎ 由正弦函数的性质可知，当x∈（α0，π﹣α0）时，均有sinx，‎ 因为y=sinx的周期为2π，所以当x∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0），‎ ‎（k∈Z）时，均有sinx．‎ 因为对任意的整数k，（2kπ+π﹣α0）﹣（2kπ+α0）=π﹣2α0＞＞1，‎ 所以对任意的正整数k，都存在正整数xk∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0），使得sinxk，‎ 即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式、最小正周期、函数图象的平移变换、最值问题等，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（16分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an=S2+Sn 对一切整数n都成立．‎ ‎（1）求a1，a2的值 ‎（2）若a1＞0，设数列{bn}的前n项和为Tn，且满足bn=lg，证明{bn}是等差数列；‎ ‎（3）当n为何值时，Tn 最大？并求出Tn的最大值．‎ ‎【考点】数列的求和；等差关系的确定．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）a2an=S2+Sn 对一切整数n都成立．分别取n=1，2，联立解出即可得出．‎ ‎（2）由a1＞0，取a1=+1，a2=2+．可得an=（3+2）+Sn，利用递推关系可得：an=an﹣1．利用等比数列的通项公式可得．代入bn=lg，化简即可证明．‎ ‎（3）bn=1﹣（n﹣1）×，公差﹣lg2＜0．可得b7＞0，b8＜0．利用等差数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）a2an=S2+Sn 对一切整数n都成立．‎ ‎∴a2a1=a1+a2+a1，a2（a1+a2）=2（a1+a2），联立解得a1=+1，a2=2+．‎ 或a1=1﹣，a2=2﹣．‎ ‎（2）证明：∵a1＞0，取a1=+1，a2=2+．‎ ‎∴an=（3+2）+Sn，‎ n≥2时，=（3+2）+Sn﹣1，‎ ‎∴an﹣=an，‎ ‎∴an=an﹣1．‎ ‎∴数列{an}是等比数列，公比为．‎ ‎∴．‎ ‎∴bn=lg==1﹣（n﹣1）×，‎ ‎∴{bn}是等差数列，首项为1，公差为﹣lg2．‎ ‎（3）∵bn=1﹣（n﹣1）×，公差﹣lg2＜0．‎ ‎∴b7=1﹣3lg2=1﹣lg8＞0，b8=1﹣lg2=＜0．‎ ‎∴当n=7，Tn 最大，Tn的最大值为=7﹣lg2．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎23．（18分）已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）=b恒成立，则称f（x）为“Γ﹣函数”．‎ ‎（1）判断函数f1（x）=x，是否是“Γ﹣函数”；‎ ‎（2）若f3（x）=tanx是一个“Γ﹣函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；‎ ‎（3）若定义域为R的函数f（x）是“Γ﹣函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）的值域．‎ ‎【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题．‎ ‎【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）假设f1（x），f2（x）为Γ﹣函数，根据新定义得出恒等式，判断恒等式是否成立即可得出结论；‎ ‎（2）假设f3（x）为Γ﹣函数，列出恒等式，根据和角的正切公式计算，得出关于x的恒等式解出a，b；‎ ‎（3）根据定义列出恒等式，根据所给条件归纳得出当x∈[2k，2k+2]时，f（x）∈[22k，22k+2]，从而求的f（x）的值域．‎ ‎【解答】解：（1）若f1（x）=x是“Γ﹣函数”，则存在实数对（a，b），使得（a+x）（a﹣x）=b．‎ 即x2=a2﹣b对x∈R恒成立，而关于x的方程x2=a2﹣b最多有两个解，不符合题意．‎ 因此f1（x）=x不是“Γ﹣函数”．‎ 若是“Γ﹣函数”，则存在实数对（a，b），使得3a+x•3a﹣x=32a=b，‎ 即存在常数对（a，32a）满足条件，‎ 因此是“Γ﹣函数”．‎ ‎（2）∵f3（x）=tanx是一个“Γ﹣函数”，∴存在序实数对（a，b）满足tan（a+x）•tan（a﹣x）=b恒成立，‎ 当时，tan（a+x）•tan（a﹣x）=﹣cot2x，不是常数．‎ ‎∴．‎ 当时，有恒成立，‎ 即（btan2a﹣1）tan2x+（tan2a﹣b）=0恒成立．‎ 则，‎ 当，时，tan（a+x）•tan（a﹣x）=cot2a=1成立．‎ 因此满足f3（x）=tanx是一个“Γ﹣函数”时，实数对．‎ ‎（3）函数f（x）是“Γ﹣函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），‎ ‎∴f（x）•f（﹣x）=1，f（1+x）•f（1﹣x）=4，‎ ‎∵f（1+x）•f（1﹣x）=4⇔f（x）•f（2﹣x）=4，x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，f（2﹣x）∈[1，2]，，‎ ‎∴x∈[0，2]时，f（x）∈[1，4]，‎ ‎，‎ ‎∴x∈[2，4]时，f（x）∈[4，16]，x∈[4，6]时，f（x）∈[16，64]，…‎ 以此类推可知：x∈[2k，2k+2]时，f（x）∈[22k，22k+2]，‎ ‎∴当x∈[2014，2016]时，f（x）∈[22014，22016]，‎ 因此x∈[0，2016]时，f（x）∈[1，22016]，x∈[﹣2016，0]时，，‎ 综上可知当x∈[﹣2016，2016]时函数f（x）对的值域为[2﹣2016，22016]．‎ ‎【点评】本题考查了对新定义的理解，函数的性质应用，函数值域的求法，属于中档题．‎