2018届二轮复习圆锥曲线的综合问题课件

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2018届二轮复习圆锥曲线的综合问题课件

第 3 讲 圆锥曲线的综合问题 专题六   解析几何 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一 范围、最值问题 圆锥曲线中的范围、最值问题,可以转化为函数的最值问题 ( 以所求式子或参数为函数值 ) ,或者利用式子的几何意义求解 . 解答 (1) 求椭圆 E 的方程; 解  因为以 F 1 F 2 为直径的圆 O 过点 D , 所以 b = c ,则圆 O 的方程为 x 2 + y 2 = b 2 , 又 a 2 = b 2 + c 2 , (2) 若 △ ABC 的面积不大于四边形 OBPC 的面积,求 | t | 的最小值 . 解答 思维升华 所以 k BC · k OP =- 1 , 所以 OP ⊥ BC . 思维升华  解决范围问题的常用方法 (1) 数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端位置后,利用数形结合法求解 . (2) 构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以待求量为元的不等式求解 . (3) 构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的函数,再求其值域 . (1) 求抛物线 C 的方程; 解答 ∴ p = 1 或 p = 3( 舍去 ) , ∴ y 2 = 2 x . 解答 (2) 若 x 0 >2 ,圆 E : ( x - 1) 2 + y 2 = 1 ,过 M 作圆 E 的两条切线分别交 y 轴于 A (0 , a ) , B (0 , b ) 两点,求 △ MAB 面积的最小值 . ∵ x 0 >2 , 当且仅当 x 0 = 4 时,取最小值 8. 热点二 定点、定值问题 1. 由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式: y - y 0 = k ( x - x 0 ) ,则直线必过定点 ( x 0 , y 0 ) ;若得到了直线方程的斜截式: y = kx + m ,则直线必过定点 (0 , m ). 2. 解析几何中的定值问题是指某些几何量 ( 线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等 ) 的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值 . 例 2   (2017· 长沙市长郡中学模拟 ) 已知抛物线 E : y 2 = 4 x 的准线为 l ,焦点为 F , O 为坐标原点 . (1) 求过点 O , F ,且与 l 相切的圆的方程; 解答 思维升华 解  抛物线 E : y 2 = 4 x 的准线 l 的方程为 x =- 1 , 焦点坐标为 F (1,0) ,设所求圆的圆心 C 为 ( a , b ) ,半径为 r, ∵ 圆 C 与直线 l : x =- 1 相切, 思维升华  动线过定点问题的两大类型及解法 ① 动直线 l 过定点问题,解法:设动直线方程 ( 斜率存在 ) 为 y = kx + t ,由题设条件将 t 用 k 表示 为 t = mk ,得 y = k ( x + m ) ,故动直线过定点 ( - m, 0). ② 动曲线 C 过定点问题,解法:引入参变量建立曲线 C 的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点 . (2) 过 F 的直线交抛物线 E 于 A , B 两点, A 关于 x 轴的对称点为 A ′ ,求证:直线 A ′ B 过定点 . 证明 思维升华 证明  方法一  依题意知,直线 AB 的斜率存在, 设直线 AB 方程为 y = k ( x - 1) , A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 )( x 1 ≠ x 2 ) , A ′ ( x 1 ,- y 1 ) , 消去 y ,得 k 2 x 2 - (2 k 2 + 4) x + k 2 = 0 , ∴ 直线 BA ′ 过定点 ( - 1 , 0). 方法二  设直线 AB 的方程为 x = my + 1, A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 A ′ ( x 1 ,- y 1 ). ∴ y 1 + y 2 = 4 m, y 1 y 2 =- 4. ∴ 直线 BA ′ 过定点 ( - 1,0). 思维升华  求解定值问题的两大途径 ① 由特例得出一个值 ( 此值一般就是定 值 ) → 证明定值:将问题转化为证明待证式与参数 ( 某些变量 ) 无关 ② 先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值 . 跟踪演练 2   (2017 届江西省重点中学协作体联考 ) 已知 ⊙ F 1 : ( x + 3) 2 + y 2 = 27 与 ⊙ F 2 : ( x - 3) 2 + y 2 = 3 ,以 F 1 , F 2 分别为左、右焦点的椭圆 C : ( a > b >0) 经过两圆的交点 . (1) 求椭圆 C 的方程; 解答 解  设两圆的交点为 Q , ∵ F 1 , F 2 分别为椭圆 C 的左、右焦点, ∴ a 2 - b 2 = 9 ,解得 b 2 = 3 , (2) M , N 是椭圆 C 上的两点,若直线 OM 与 ON 的斜率之积 为 , 试问 △ OMN 的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由 . 解答 解  ① 当直线 MN 的斜率不存在时, 设 M ( x 1 , y 1 ) , N ( x 1 ,- y 1 ). ② 当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y = kx + m , M ( x 1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ) , 得 (4 k 2 + 1) x 2 + 8 kmx + 4 m 2 - 12 = 0 , 由 Δ = 64 k 2 m 2 - 4(4 k 2 + 1)(4 m 2 - 12)>0 , 得 12 k 2 - m 2 + 3>0 , (*) ∴ y 1 y 2 = ( kx 1 + m )( kx 2 + m ) 整理得 2 m 2 = 12 k 2 + 3, 代入 (*) 得 m ≠ 0. 综上所述, △ OMN 的面积为定值 3. 热点三 探索性问题 1. 解析几何中的探索性问题,从类型上看,主要是存在类型的相关题型,解决这类问题通常采用 “ 肯定顺推法 ” ,将不确定性问题明确化 . 其步骤为:假设满足条件的元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在;否则,元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 不存在 . 2. 反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法 . 例 3   已知 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 是抛物线 C : x 2 = 2 py ( p >0) 上的不同两点 . 解答 ∴ p = 4 ,满足 Δ >0 , ∴ 抛物线 C 的标准方程为 x 2 = 8 y . 解答 思维升华 解  由题意知,直线 AB 的斜率存在,且不为零, 设直线 AB 的方程为 y = kx + b ( k ≠ 0 , b >0) , 作 AA ′ ⊥ x 轴 , BB ′ ⊥ x 轴,垂足为 A ′ , B ′ , 思维升华  解决探索性问题的注意事项 存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在 . (1) 当条件和结论不唯一时,要分类讨论 . (2) 当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件 . (3) 当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径 . (1) 求椭圆 C 的方程; 解答 解  由题意可得 2 a = 6 ,所以 a = 3. (2) 过点 P (0,2) 作斜率为 k ( k ≠ 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 A , B ,试判断在 x 轴上是否存在点 D ,使得 △ ADB 为以 AB 为底边的等腰三角形 . 若存在,求出点 D 的横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由 . 解答 解  直线 l 的解析式为 y = kx + 2 , 假设存在点 D ( m , 0) ,使得 △ ADB 为以 AB 为底边的等腰三角形,则 DE ⊥ AB . Ⅱ 真题押题精练 真题体验 答案 解析 1 2 1.(2017· 全国 Ⅰ 改编 ) 已知 F 为抛物线 C : y 2 = 4 x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l 1 , l 2 ,直线 l 1 与 C 交于 A , B 两点,直线 l 2 与 C 交于 D , E 两点,则 | AB | + | DE | 的最小值为 ______. 16 解析   因为 F 为 y 2 = 4 x 的焦点,所以 F (1,0). 由题意知,直线 l 1 , l 2 的斜率均存在且不为 0 ,设 l 1 的斜率为 k , 设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 1 2 1 2 同理可得 | DE | = 4(1 + k 2 ). 1 2 (1) 求椭圆 E 的方程; 解答 1 2 解答 1 2 解  设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , 由题意知, Δ > 0 , 1 2 由题意可知,圆 M 的半径 r 为 1 2 1 2 1 2 1 2 押题预测 解答 押题依据  本题将椭圆和抛物线联合起来设置命题,体现了对直线和圆锥曲线位置关系的综合考查 . 关注知识交汇,突出综合应用是高考的特色 . (1) 求 C 1 , C 2 的方程; 押题依据 解  因为 C 1 , C 2 的焦点重合, 所以 a 2 = 4. 又 a >0 ,所以 a = 2. 抛物线 C 2 的方程为 y 2 = 4 x . 解答 则可设直线 l 的方程为 y = k ( x - 1) , P ( x 1 , y 1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) , M ( x 3 , y 3 ) , N ( x 4 , y 4 ). 且 Δ = 144 k 2 + 144>0 ,
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