四川省泸县第一中学2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（理）试题

四川省泸县第一中学2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（理）试题

‎2020年春四川省泸县第一中学高二第四学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．命题“使得”的否定是 A．都有 B．使得 C．使得 D．都有 ‎2．已知复数满足（为虚数单位），则 A． B． C． D．‎ ‎3．已知两直线，平行，则的值是 A． B． C． D．‎ ‎4．下列判断正确的是 A．两圆锥曲线的离心率分别为，，则“”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件 B．命题“若，则.”的否命题为“若，则.”‎ C．若命题“”为假命题，则命题“”是假命题 D．命题“，."的否定是“，.”‎ ‎5．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为 A． B． C． D．‎ ‎6．已知命题p：，，命题，则下列命题中的真命题为 A． B． C． D．‎ ‎7．我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为 A.600 B.400 ‎ C.300 D.200‎ ‎8．在展开式中含项的系数为，则a等于 A． B． C． D．‎ ‎9． ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．篮子里装有3个红球，4个白球和5个黑球,球除颜色外，形状大小一致．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A=“取出的两个球颜色不同”，事件B= “取出一个红球，一个白球”，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎11．函数的图象上关于轴对称的点共有 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 ‎12．已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．某田径队有男运动员30人，女运动员10人，用分层抽样的方法从中抽出一个容量为20的样本，则抽出的女运动员有_______人.‎ ‎14．二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度___________.‎ ‎15．2018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名.若将这8名同学分成甲乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有__________种．‎ ‎16．已知直线（其中为非零实数）与圆 相交于A,B两点，O为坐标原点，且，则的最小值为_____．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）已知函数在处取得极值.‎ ‎（I）求，并求函数在点处的切线方程；‎ ‎（II）求函数的单调区间.‎ ‎18．（12分）某公司共有职工1500人,其中男职工1050人,女职工450人.为调查该公司职工每周平均上网的时间,采用分层抽样的方法,收集了300名职工每周平均上网时间的样本数据(单位:小时)‎ 男职工 女职工 总计 每周平均上网时间不超过4个小时 每周平均上网时间超过4个小时 ‎70‎ 总计 ‎300‎ ‎(Ⅰ)应收集多少名女职工样本数据?‎ ‎(Ⅱ)根据这300个样本数据,得到职工每周平均上网时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:，，，，，.试估计该公司职工每周平均上网时间超过4小时的概率是多少?‎ ‎(Ⅲ)在样本数据中,有70名女职工的每周平均上网时间超过4个小时.请将每周平均上网时间与性别的列联表补充完整,并判断是否有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.‎ ‎(Ⅰ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值；‎ ‎(Ⅱ)点是线段上的动点，当直线与所成的角 最小时，求线段的长.‎ ‎20．已知椭圆与直线都经过点.直线与平行，且与椭圆交于两点，直线与轴分别交于两点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程； ‎ ‎(Ⅱ)证明：为等腰三角形.‎ ‎21．（本小题满分16分）己知函数 ‎(Ⅰ)若，求函数的单调递减区间;‎ ‎(Ⅱ)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值:‎ ‎（III）若，正实数满足，证明:‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在极坐标系中，曲线，曲线.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎(Ⅰ)求的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)与交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时，求的解集；‎ ‎(Ⅱ)当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2020年春四川省泸县第一中学高二第四学月考试 理科数学参考答案 ‎1．D 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．D 8．A 9．D 10．B 11．C 12．D ‎13．5 14． 15．24 16．8‎ ‎17．（1）由题得，‎ ‎ 又函数在处取得极值，所以解得 ‎ 即.（3分）‎ 因为，所以，‎ 所以曲线在点.‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 令，‎ 所以的单调递增区间为.‎ 令，‎ 所以的单调递减区间为.‎ 综上所述，的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎18（Ⅰ），应收集90位女职工的样本数据.‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图得 估计该公司职工每周平均上网时间超过4小时的概率为0.75‎ ‎(Ⅲ)由（Ⅱ）知，300名职工中有人的每周平均上网时间超过4小时．‎ 有70名女职工每周平均上网时间超过4小时，‎ 有名男职工每周平均上网时间超过4小时，‎ 又样本数据中有90个是关于女职工的，有个关于男职工的，‎ 有名女职工，有名男职工的每周上网时间不超过4小时，‎ 每周平均上网时间与性别的列联表如下：‎ 男职工 女职工 总计 每周平均上网时间不超过4个小时 ‎55‎ ‎20‎ ‎75‎ 每周平均上网时间超过4个小时 ‎155‎ ‎70‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ 结合列联表可算得： ‎ 所以没有95%的把握认为“该公司职工的每周平均上网时间与性别有关”‎ ‎19．‎ ‎（1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，．‎ 因为．‎ 设平面的法向量为，则，‎ 即，令，解得．‎ 所以是平面的一个法向量，从而，‎ 所以平面与平面所成二面角的余弦值为．‎ ‎（2） 因为，设，‎ 又，则，‎ 又，‎ 从而，‎ 设，‎ 则，‎ 当且仅当，即时，的最大值为．‎ 因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．‎ 又因为，所以．‎ ‎20．（1）由直线都经过点，则a=2b，将代入椭圆方程：，解得：b2=4，a2=16，椭圆的方程为。‎ ‎（2）设直线为：，‎ 联立:，得 ‎ 于是 ‎ 设直线的斜率为，要证为等腰三角形，只需 ‎，‎ ‎，‎ ‎，，所以为等腰三角形.‎ ‎21．（1）因为f(1)=1−a‎2‎=0‎，所以a=2‎， 此时f(x)=lnx−x‎2‎+x,x>0‎，‎ f‎′‎‎(x)=‎1‎x−2x+1=‎−2x‎2‎+x+1‎x(x>0)‎ 由f‎′‎‎(x)<0‎，得‎2x‎2‎−x−1>0‎，又x>0‎，所以x>1‎．所以f(x)‎的单调减区间为‎(1,+∞)‎． ‎ ‎（2）方法一：令g(x)=f(x)-(ax−1)=lnx−‎1‎‎2‎ax‎2‎+(1−a)x+1‎，‎ 所以g‎′‎‎(x)=‎1‎x−ax+(1−a)=‎‎−ax‎2‎+(1−a)x+1‎x．‎ 当a≤0‎时，因为x>0‎，所以g‎′‎‎(x)>0‎．‎ 所以g(x)‎在‎(0,+∞)‎上是递增函数，‎ 又因为g(1)=ln1−‎1‎‎2‎a×‎1‎‎2‎+(1−a)+1=−‎3‎‎2‎a+2>0‎，‎ 所以关于x的不等式f(x)≤ax−1‎不能恒成立． ‎ 当a>0‎时，g‎′‎‎(x)=‎−ax‎2‎+(1−a)x+1‎x=−‎a(x−‎1‎a)(x+1)‎x，‎ 令g‎′‎‎(x)=0‎，得x=‎‎1‎a．‎ 所以当x∈(0,‎1‎a)‎时，g‎′‎‎(x)>0‎；当x∈(‎1‎a,+∞)‎时，g‎′‎‎(x)<0‎，‎ 因此函数g(x)‎在x∈(0,‎1‎a)‎是增函数，在x∈(‎1‎a,+∞)‎是减函数．‎ 故函数g(x)‎的最大值为g(‎1‎a)=ln‎1‎a−‎1‎‎2‎a×‎(‎1‎a)‎‎2‎+(1−a)×‎1‎a+1=‎1‎‎2a−lna． ‎ 令h(a)=‎1‎‎2a−lna，‎ 因为h(1)=‎1‎‎2‎>0‎，h(2)=‎1‎‎4‎−ln2<0‎，又因为h(a)‎在a∈(0,+∞)‎是减函数．‎ 所以当a≥2‎时，h(a)<0‎．所以整数a的最小值为2． ‎ 方法二：（2）由f(x)≤ax−1‎恒成立，得lnx−‎1‎‎2‎ax‎2‎+x≤ax−1‎在‎(0,+∞)‎上恒成立，‎ 问题等价于a≥‎lnx+x+1‎‎1‎‎2‎x‎2‎‎+x在‎(0,+∞)‎上恒成立．‎ 令g(x)=‎lnx+x+1‎‎1‎‎2‎x‎2‎‎+x，只要a≥g‎(x)‎max． ‎ 因为g‎′‎‎(x)=‎‎(x+1)(−‎1‎‎2‎x−lnx)‎‎(‎1‎‎2‎x‎2‎+x)‎‎2‎，令g‎′‎‎(x)=0‎，得‎−‎1‎‎2‎x−lnx=0‎．‎ 设h(x)=−‎1‎‎2‎x−lnx，因为h‎′‎‎(x)=−‎1‎‎2‎−‎1‎x<0‎，所以h(x)‎在‎(0,+∞)‎上单调递减，‎ 不妨设‎−‎1‎‎2‎x−lnx=0‎的根为x‎0‎．‎ 当x∈(0,x‎0‎)‎时，g‎′‎‎(x)>0‎；当x∈(x‎0‎,+∞)‎时，g‎′‎‎(x)<0‎，‎ 所以g(x)‎在x∈(0,x‎0‎)‎上是增函数；在x∈(x‎0‎,+∞)‎上是减函数．‎ 所以g‎(x)‎max=g(x‎0‎)=lnx‎0‎+x‎0‎+1‎‎1‎‎2‎x‎0‎‎2‎‎+‎x‎0‎=‎1+‎‎1‎‎2‎x‎0‎x‎0‎‎(1+‎1‎‎2‎x‎0‎)‎=‎‎1‎x‎0‎． ‎ 因为h(‎1‎‎2‎)=ln2−‎1‎‎4‎>0‎，‎h(1)=−‎1‎‎2‎<0‎ 所以‎1‎‎2‎‎0‎ 由f(x‎1‎)+f(x‎2‎)+x‎1‎x‎2‎=0‎，即lnx‎1‎+x‎1‎‎2‎+x‎1‎+lnx‎2‎+x‎2‎‎2‎+x‎2‎+x‎1‎x‎2‎=0‎ 从而‎(x‎1‎+x‎2‎)‎‎2‎‎+(x‎1‎+x‎2‎)=x‎1‎⋅x‎2‎−ln(x‎1‎⋅x‎2‎)‎ 令t=x‎1‎⋅‎x‎2‎，则由φ(t)=t−lnt得，‎φ‎′‎‎(t)=‎t−1‎t 可知，φ(t)‎在区间‎(0,1)‎上单调递减，在区间‎(1,+∞)‎上单调递增．‎ 所以φ(t)≥φ(1)=1‎， ‎ 所以‎(x‎1‎+x‎2‎)‎‎2‎‎+(x‎1‎+x‎2‎)≥1‎，因此x‎1‎‎+x‎2‎≥‎‎5‎‎−1‎‎2‎成立． ‎ ‎22．（1）因为，‎ 由得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为，‎ 由得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为： .‎ ‎（2）不妨设四个交点自下而上依次为，它们对应的参数分别为.‎ 把代入，得，即，‎ 则， ，把，代入，‎ 得，即，则， ，‎ 所以.‎ ‎23．（1）当时，由可得，‎ 所以当时，不等式转化为，无解，‎ 当时，不等式转化为，解得，‎ 当时，不等式转化为，解得，‎ 综上可知，不等式的解集为．‎ ‎（2）当时，恒成立，即，‎ 故，即对任意的恒成立，所以．‎