山东省菏泽市鄄城县第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试题

山东省菏泽市鄄城县第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试题

鄄城一中高二第一次调研考试 数 学 试 题 ‎（时间：120分钟　满分：150分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用条件概率公式计算可得结果.‎ ‎【详解】由条件概率公式得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用条件概率公式计算概率值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A. 24 B. 48‎ C. 60 D. 72‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，要组成没有重复数字五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.‎ ‎【考点】排列、组合 ‎【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．‎ ‎3.设某项试验的成功率是失败率的倍，用随机变量去表示次试验的成功次数，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出关于和的方程组，即可解得的值.‎ ‎【详解】由题意知，且，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求解，根据题意建立方程组是解答的关键，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是(　　)‎ A. 40 B. ‎74 ‎C. 84 D. 200‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从试卷上的9个题目中选6个进行作答，要求至少包含前5个题目中的3个，包含三种情况：前5个题目中恰好包含3个，恰好包含4个，恰好包含5个，分别求解，再利用分类计数原理，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，考生从试卷上的9个题目中选6个进行作答，要求至少包含前5个题目中的3个，包含三种情况：‎ 前5个题目中恰好包含3个，共有种；‎ 前5个题目中恰好包含4个，共有种；‎ 前5个题目中恰好包含5个，共有种，‎ 由分类计数原理，可得共有种不同的选法，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分类计数原理与组合的应用其中解答中认真审题，合理分类，利用排列、组合的知识求解每种情况的结果是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎5.若实数，则等于(　　)‎ A. 32 B. －‎32 ‎C. 1 024 D. 512‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可得：‎ 本题选择A选项.‎ ‎6. 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人 分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：先分类：小张或小赵入选，以及小张小赵都入选，再排列，最后根据分类计数原理求结果.‎ 详解：若小张或小赵入选，有选法：‎ 种，‎ 若小张，小赵都入选，有：‎ 种，‎ 可知共有种．‎ 选．‎ 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)‎ 元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.‎ ‎7.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中项的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得二项式的展开式前三项的系数，根据已知条件求得的值，然后写出展开式通项，令的指数为，求得参数的值，代入通项即可得解.‎ ‎【详解】由题意可得、、成等差数列，且，，‎ 化简得，即，，解得 故展开式的通项公式为，‎ 令，求得，故该二项式展开式中项的系数为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查二项式中指定项系数的求解，考查二项展开式通项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎8.北京《财富》全球论坛期间，某高校有名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先从人中选出人平均分为组，根据先分组再排序的原则结合分步乘法计数原理可得出结果.‎ ‎【详解】首先从人中选出人共种，然后将人平均分为组共种，然后这两步相乘，得.将三组分配下去共种. ‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查分组分配问题，涉及平均分组问题，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎9.现有种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原图从上而下个区域标为、、、，分类讨论、同色与不同色这两种情况，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.‎ ‎【详解】将原图从上而下的个区域标为、、、，‎ 因为、、之间不能同色，与可以同色，因此，要分类讨论、同色与不同色这两种情况.‎ ‎①若、同色，则区域、有种选择，区域有种选择，区域有种选择，由分步乘法计数原理可知，此时共有种涂色方法；‎ ‎②若、不同色，则区域有种选择，区域有种选择，区域有种选择，区域只有种选择，此时共有种涂色方法.‎ 故不同的着色方法种数为.‎ ‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查涂色问题，涉及分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎10.设名学生报名参加同一时间安排的项课外活动方案有种，这名学生在运动会上共同争夺米、跳远、铅球项比赛的冠军的可能结果有种，则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分步乘法计数原理可得出、的值，进而可得出结果.‎ ‎【详解】首先每名学生报名有种选择，有名学生，根据分步乘法计数原理知共有种选择，则；‎ 每项冠军有种可能的结果，根据分步乘法计数原理知，项冠军共有种可能结果，则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎11.直角坐标平面上，平行直线与平行直线组成的图形中，矩形共有（ ）‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据矩形的特点，只需在平行直线束中选择两条直线，再从平行直线束中选择两条直线，由这四条直线的交点即可组成矩形，利用分步乘法计数原理可得出结果.‎ ‎【详解】根据矩形的特点，只需在平行直线束中选择两条直线，再从平行直线束中选择两条直线，由这四条直线的交点即可组成矩形.‎ 由分步乘法计数原理可知，不同的矩形个数为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及几何图形的问题，关键考查矩形的图形性质，考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12.展开式中，的系数为 A. 10 B. 20‎ C. 30 D. 60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.‎ 考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.‎ ‎【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.在的展开式中，各项系数的和等于________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，代入二项式可求得展开式中各项系数的和.‎ ‎【详解】由题意可知，的展开式中各项系数的和为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式中各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.将、、、、、六个字母排成一排，且、均在的同侧，则不同的排法共有________种.（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎、、、、、六个字母进行全排，再利用、均在的同侧占总数的，即可得出结论.‎ ‎【详解】将、、、、、六个字母全排共种，‎ ‎、、的顺序为、、、、、，共种，‎ 则、均在的同侧共种，所以，、均在的同侧占总数为，‎ 因此，不同的排法种数为种.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于中等题.‎ ‎15.________.（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所求代数式变形为，等式两边加上C44−1，结合组合数的性质可计算出所求代数式的值.‎ ‎【详解】由组合数的性质可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查组合数的计算，涉及组合数性质的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎16.如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第项为______.（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，找出规律，即可求出数列的第项．‎ ‎【详解】由题意，，，，，，，，，，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题是规律的归纳题，解决本题的关键是读懂题意，理清前后项的关系，属于中等题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.有名男生、名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. ‎ ‎（1）选人排成一排；‎ ‎（2）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；‎ ‎（3）全体排成一排，女生必须站在一起；‎ ‎（4）全体排成一排，男生互不相邻.‎ ‎【答案】（1）种；（2）种；（3）种；（4）种.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）从人中选人排成一排，利用排列数公式可求得结果；‎ ‎（2）先考虑甲的位置，有种排法，然后将其他人全排，利用分步乘法计数原理可求得结果；‎ ‎（3）将女生看作一个整体与名男生一起全排列，由分步乘法计数原理计算可得答案；‎ ‎（4）根据题意，先排名女生，排好后有个空位，在个人空位中任选个，安排名男生，由分步乘法计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】（1）从人中选人排列，有（种）；‎ ‎（2）先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有（种）；‎ ‎（3）（捆绑法）将女生看作一个整体与名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有（种）；‎ ‎（4）（插空法）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾个空位中任选个空位安排男生，有种方法，共有（种）.‎ ‎【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．‎ ‎18.（1）求不等式“”的解集. ‎ ‎（2）已知，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用排列数公式化简不等式，解出的取值范围，即可得出符合条件的的值；‎ ‎（2）利用组合数公式化简等式，可解出的值，再利用组合数公式可计算出所求代数式的值.‎ ‎【详解】（1）由知且，‎ 由排列数公式，原不等式可化为，‎ 整理得，即，解得，‎ 因为，所以或， 所以不等式的解集为；‎ ‎（2），，‎ 化简得，即，解得或. ‎ ‎，，.‎ ‎【点睛】本题考查不等式与方程的求解，涉及排列数和组合数公式的应用，化简计算是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19.设随机变量的分布列为. ‎ ‎（1）求常数的值；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）求.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分布列中概率之和为可求得实数的值；‎ ‎（2）由结合分布列可求得结果；‎ ‎（3）由结合分布列可求得结果.‎ ‎【详解】（1）根据分布列中概率之和为得，得；‎ ‎（2），；‎ ‎（3）当时，只有、、时满足，‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查实数值的求法，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎20.设，若、、成等差数列. ‎ ‎（1）求展开式的中间项；‎ ‎（2）求展开式中所有含的奇次幂的系数和.‎ ‎【答案】（1）中间项是第五项，；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件利用二项展开式的通项公式，求得、、的表达式，再根据得到的值，然后利用二项式定理可得出展开式的中间项；‎ ‎（2）在所给的式子中，分别令、得到个式子，把这个式子变形可得展开式中所有含的奇次幂的系数和．‎ ‎【详解】（1）依题意，，且，‎ 由，得，整理得，求得或（舍去），‎ 所以展开式的中间项是第五项，即；‎ ‎（2）因为，‎ 即. ‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 所以，所以展开式中所有含奇次幂的系数和为.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质．注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，属于基础题．‎ ‎21.一个袋中装有个形状大小完全相同的小球，其中红球有个，编号为、、；黑球有个，编号为、；白球有个，编号为.现从袋中一次随机抽取个球. ‎ ‎（1）求取出的个球的颜色都不相同的概率；‎ ‎（2）记取得号球的个数为随机变量，求随机变量的分布列.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“取出的个球的颜色都不相同”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；‎ ‎（2）由题意知的可能取值有、、、，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的概率分布．‎ ‎【详解】（1）从袋中一次随机抽取个球，基本事件总数，‎ 取出的个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为，‎ 所以取出的个球的颜色都不相同的概率为；‎ ‎（2）由题意知的可能取值有、、、，‎ ‎，，，‎ ‎. ‎ 所以的分布列为：‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要注意排列组合的合理运用．‎ ‎22.已知、是正整数，的展开式中的系数为. ‎ ‎（1）对于使的的系数为最小的、，求出此时的系数；‎ ‎（2）利用上述结果，求的近似值；（精确到）；‎ ‎（3）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，求.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意求得，再根据中的的系数为转化为以为自变量的二次函数，利用二次函数的性质求得的系数的最小值，以及此时的、的值，然后分和两种情况，求得的系数；‎ ‎（2）根据可求得的近似值；‎ ‎（3）根据二项式系数的对称性求得的值，设展开式中系数项最大项为第项，由求得正整数的值，进而可求得的值，由此可得出的值.‎ ‎【详解】（1）根据题意得，即，①‎ 中的的系数为. ‎ 将①变形为代入上式得的系数为，‎ 故当或时，的系数的最小值为. ‎ 当，时，的系数为；‎ 当，时，的系数为；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）由题意可得，‎ 设展开式中系数项最大项为第项，由，解得.‎ 此时，，.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，同时也考查了系数最大项的求解，考查计算能力，属于中等题.‎