高考文科数学复习：夯基提能作业本 (52)

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第五节　椭圆 A组　基础题组 ‎1.已知方程x‎2‎‎2-k+y‎2‎‎2k-1‎=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(　　)‎ A.‎1‎‎2‎‎,2‎ B.(1,+∞) C.(1,2) D.‎‎1‎‎2‎‎,1‎ ‎2.椭圆x‎2‎‎25‎+y‎2‎‎9‎=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于(　　)‎ A.2 B.4 C.8 D.‎‎3‎‎2‎ ‎3.设F1,F2分别是椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左,右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为(　　)‎ A.‎3‎‎3‎ B.‎3‎‎6‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎1‎‎6‎ ‎4.已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎45‎+y‎2‎‎36‎=1 B.x‎2‎‎36‎+y‎2‎‎27‎=1‎ C.x‎2‎‎27‎+y‎2‎‎18‎=1 D.x‎2‎‎18‎+y‎2‎‎9‎=1‎ ‎5.已知椭圆C:x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点,则F‎1‎P·F‎2‎A的最大值为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎3‎‎2‎ C.‎9‎‎4‎ D.‎‎15‎‎4‎ ‎6.直线x-2y+2=0过椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1的左焦点F1和一个顶点B,则椭圆的方程为　　　　　　　. ‎ ‎7.如图,椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎‎2‎=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为　　　　. ‎ ‎8.如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.‎ ‎(1)若点C的坐标为‎4‎‎3‎‎,‎‎1‎‎3‎,且BF2=‎2‎,求椭圆的方程;‎ ‎(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.‎ ‎9.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.‎ ‎(1)若直线MN的斜率为‎3‎‎4‎,求C的离心率;‎ ‎(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.‎ B组　提升题组 ‎10.已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于‎4‎‎5‎,则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎3‎‎2‎ B.‎0,‎‎3‎‎4‎ C.‎3‎‎2‎‎,1‎ D.‎‎3‎‎4‎‎,1‎ ‎11.已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)上的动点到焦点的距离的最小值为‎2‎-1,以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+‎2‎=0相切,则椭圆C的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎3‎+y‎2‎‎2‎=1 B.x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎=1 C.x‎2‎‎2‎+y2=1 D.x‎2‎‎6‎+y‎2‎‎2‎=1‎ ‎12.已知椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率等于‎1‎‎3‎,其焦点分别为A,B,C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中,sinA+sinBsinC的值等于　　　　. ‎ ‎13.如图,椭圆的中心是坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为　　　　　　. ‎ ‎14.已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为‎1‎‎2‎c.‎ ‎(1)求椭圆E的离心率;‎ ‎(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=‎5‎‎2‎的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.C　∵方程x‎2‎‎2-k+y‎2‎‎2k-1‎=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴‎2-k>0,‎‎2k-1>0,‎‎2k-1>2-k,‎解得k<2,‎k>‎1‎‎2‎,‎k>1,‎故k的取值范围为(1,2).‎ ‎2.B　设椭圆的另一个焦点为F2.如图,连接MF2,已知|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10,‎ ‎∴|MF2|=10-|MF1|=8.‎ 由题意知|ON|=‎1‎‎2‎|MF2|=4.故选B.‎ ‎3.A　如图,设PF1的中点为M,连接PF2.‎ 因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线.‎ 所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.‎ 因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.‎ 由勾股定理得|F1F2|=‎|PF‎1‎‎|‎‎2‎-|PF‎2‎‎|‎‎2‎=‎3‎|PF2|,‎ 由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=‎3|PF‎2‎|‎‎2‎,2c=|F1F2|=‎3‎|PF2|⇒c=‎3‎‎|PF‎2‎|‎‎2‎,‎ 则e=ca=‎3‎‎|PF‎2‎|‎‎2‎·‎2‎‎3|PF‎2‎|‎=‎3‎‎3‎.‎ ‎4.D　直线AB的斜率k=‎0+1‎‎3-1‎=‎1‎‎2‎,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x‎1‎‎2‎a‎2‎‎+y‎1‎‎2‎b‎2‎=1,　　　　　①‎x‎2‎‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎‎2‎b‎2‎=1,②‎ ‎①-②得y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=-b‎2‎a‎2‎·x‎1‎‎+‎x‎2‎y‎1‎‎+‎y‎2‎.‎ 即k=-b‎2‎a‎2‎×‎2‎‎-2‎,‎ ‎∴b‎2‎a‎2‎=‎1‎‎2‎.　　　　　　 ③‎ 又a2-b2=c2=9, ④‎ 由③④得a2=18,b2=9.‎ ‎∴椭圆E的方程为x‎2‎‎18‎+y‎2‎‎9‎=1,故选D.‎ ‎5.B　由椭圆方程知c=‎4-3‎=1,所以F1(-1,0),F2(1,0),因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,所以可设A(1,y0),代入椭圆方程可得y‎0‎‎2‎=‎9‎‎4‎,所以y0=±‎3‎‎2‎.设P(x1,y1),则F‎1‎P=(x1+1,y1),F‎2‎A=(0,y0),所以F‎1‎P·F‎2‎A=y1y0,因为点P是椭圆C上的动点,所以-‎3‎≤y1≤‎3‎,故F‎1‎P·F‎2‎A的最大值为‎3‎‎3‎‎2‎,选B.‎ ‎6.答案　x‎2‎‎5‎+y2=1‎ 解析　直线x-2y+2=0与x轴的交点为(-2,0),即为椭圆的左焦点,故c=2.直线x-2y+2=0与y轴的交点为(0,1),即为椭圆的上顶点,故b=1.‎ 所以a2=b2+c2=5,所以椭圆的方程为x‎2‎‎5‎+y2=1.‎ ‎7.答案　3‎ 解析　由题意知|F1F2|=2a‎2‎‎-2‎,因为|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-4,在△F1PF2中,由余弦定理得cos 120°=‎4‎‎2‎‎+(2a-4‎)‎‎2‎-(2‎a‎2‎‎-2‎‎)‎‎2‎‎2×4×(2a-4)‎=-‎1‎‎2‎,化简得8a=24,即a=3.‎ ‎8.解析　设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).‎ ‎(1)因为B(0,b),所以BF2=b‎2‎‎+‎c‎2‎=a.‎ 又BF2=‎2‎,故a=‎2‎.‎ 因为点C‎4‎‎3‎‎,‎‎1‎‎3‎在椭圆上,‎ 所以‎16‎‎9‎a‎2‎+‎1‎‎9‎b‎2‎=1,解得b2=1.‎ 故所求椭圆的方程为x‎2‎‎2‎+y2=1.‎ ‎(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,‎ 所以直线AB的方程为xc+yb=1.‎ 解方程组xc‎+yb=1,‎x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1,‎ 得x‎1‎‎=‎2a‎2‎ca‎2‎‎+‎c‎2‎,‎y‎1‎‎=b(c‎2‎-a‎2‎)‎a‎2‎‎+‎c‎2‎,‎x‎2‎‎=0,‎y‎2‎‎=b.‎ 所以点A的坐标为‎2a‎2‎ca‎2‎‎+‎c‎2‎‎,‎b(c‎2‎-a‎2‎)‎a‎2‎‎+‎c‎2‎.‎ 又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为‎2a‎2‎ca‎2‎‎+‎c‎2‎‎,‎b(a‎2‎-c‎2‎)‎a‎2‎‎+‎c‎2‎.‎ 因为直线F1C的斜率为b(a‎2‎-c‎2‎)‎a‎2‎‎+‎c‎2‎‎-0‎‎2a‎2‎ca‎2‎‎+‎c‎2‎‎-(-c)‎=b(a‎2‎-c‎2‎)‎‎3a‎2‎c+‎c‎3‎,直线AB的斜率为-bc,且F1C⊥AB,所以b(a‎2‎-c‎2‎)‎‎3a‎2‎c+‎c‎3‎·‎-‎bc=-1.结合b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=‎1‎‎5‎.因此e=‎5‎‎5‎.‎ ‎9.解析　(1)根据c=a‎2‎‎-‎b‎2‎及题设知Mc,‎b‎2‎a,∴b‎2‎ac-(-c)‎=‎3‎‎4‎,即2b2=3ac.‎ 将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得ca=‎1‎‎2‎或ca=-2(舍去).‎ 故C的离心率为‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故b‎2‎a=4,即b2=4a.①‎ 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.‎ 设N(x1,y1),由题意知y1<0,‎ 则‎2(-c-x‎1‎)=c,‎‎-2y‎1‎=2,‎即x‎1‎‎=-‎3‎‎2‎c,‎y‎1‎‎=-1.‎ 代入C的方程,得‎9‎c‎2‎‎4‎a‎2‎+‎1‎b‎2‎=1.②‎ 将①及c=a‎2‎‎-‎b‎2‎代入②得‎9(a‎2‎-4a)‎‎4‎a‎2‎+‎1‎‎4a=1.‎ 解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2‎7‎.‎ B组　提升题组 ‎10.A　直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不妨令M(0,b),则由点M(0,b)到直线l的距离不小于‎4‎‎5‎,得‎4b‎3‎‎2‎‎+(-4‎‎)‎‎2‎≥‎4‎‎5‎,即b≥1.所以e2=c‎2‎a‎2‎=a‎2‎‎-‎b‎2‎a‎2‎=‎4-‎b‎2‎‎4‎≤‎3‎‎4‎,又0b>0),∠B1PA2为钝角可转化为B‎2‎A‎2‎,F‎2‎B‎1‎所夹的角为钝角,则(a,-b)·(-c,-b)<0,得b20,即e2+e-1>0,解得e>‎5‎‎-1‎‎2‎或e<‎-‎5‎-1‎‎2‎,又0

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