2021高考数学大一轮复习考点规范练50双曲线理新人教A版

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考点规范练50　双曲线 ‎　考点规范练B册第35页　 ‎ 基础巩固 ‎1.若双曲线y‎2‎a‎2‎‎-‎x‎2‎‎9‎=1(a>0)的一条渐近线与直线y=‎1‎‎3‎x垂直,则此双曲线的实轴长为(　　)‎ A.2 B.4 C.18 D.36‎ 答案:C 解析:双曲线的一条渐近线的方程为y=-a‎3‎x,所以-a‎3‎‎×‎‎1‎‎3‎=-1,解得a=9,所以双曲线的实轴长为2a=18,故选C.‎ ‎2.(2019浙江,2)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是(　　)‎ A‎.‎‎2‎‎2‎ B.1 C‎.‎‎2‎ D.2‎ 答案:C 解析:因为双曲线的渐近线方程为x±y=0,所以a=b=1.所以c=a‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎‎2‎,双曲线的离心率e=‎ca‎=‎2‎.‎ ‎3.设椭圆C1的离心率为‎5‎‎13‎,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为(　　)‎ A‎.x‎2‎‎4‎‎2‎-‎y‎2‎‎3‎‎2‎=1 B‎.x‎2‎‎1‎‎3‎‎2‎-‎y‎2‎‎5‎‎2‎=1 C‎.x‎2‎‎3‎‎2‎-‎y‎2‎‎4‎‎2‎=1 D‎.x‎2‎‎1‎‎3‎‎2‎-‎y‎2‎‎1‎‎2‎‎2‎=1‎ 答案:A 解析:由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则||PF1|-|PF2||=8.‎ 由双曲线的定义知a=4,b=3.‎ 故曲线C2的标准方程为x‎2‎‎4‎‎2‎‎-‎y‎2‎‎3‎‎2‎=1.‎ ‎4.双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,若∠AF2B<π‎3‎,则双曲线离心率的取值范围是(　　)‎ 9‎ A.(1,‎3‎) B.(1,‎6‎) C.(1,2‎3‎) D.(‎3‎,3‎3‎)‎ 答案:A 解析:由题意,将x=-c代入双曲线的方程,得y2=b2c‎2‎a‎2‎-1=b‎4‎a‎2‎,∴|AB|=‎‎2‎b‎2‎a‎.‎ ‎∵过焦点F1且垂直于x轴的弦为AB,∠AF2B<π‎3‎,‎ ‎∴∠AF2F1<π‎6‎,∴tan∠AF2F1=b‎2‎a‎2c‎<‎‎3‎‎3‎,e=ca>1.‎ ‎∴c‎2‎‎-‎a‎2‎‎2ac<‎3‎‎3‎,‎‎1‎‎2‎e-‎‎1‎‎2e‎<‎3‎‎3‎.‎ 解得e∈(1,‎3‎),故选A.‎ ‎5.(2019全国Ⅲ,理10)双曲线C:x‎2‎‎4‎‎-‎y‎2‎‎2‎=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(　　)‎ A‎.‎‎3‎‎2‎‎4‎ B‎.‎‎3‎‎2‎‎2‎ C.2‎2‎ D.3‎‎2‎ 答案:A 解析:由已知可得a=2,b=‎2‎,则c=a‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎‎6‎,∴F(‎6‎,0).‎ ‎∵|PO|=|PF|,∴xP=‎‎6‎‎2‎‎.‎ 又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=‎2‎‎2‎x上,‎ ‎∴yP=‎‎2‎‎2‎‎×‎6‎‎2‎=‎3‎‎2‎.‎ ‎∴S△PFO=‎1‎‎2‎|OF|·|yP|=‎1‎‎2‎‎×‎6‎×‎3‎‎2‎=‎3‎‎2‎‎4‎.‎故选A.‎ ‎6.设F1和F2为双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的渐近线方程是(　　)‎ A.y=±‎3‎‎3‎x B.y=±‎3‎x C.y=±‎21‎‎7‎x D.y=±‎21‎‎3‎x 答案:B 9‎ 解析:∵F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,‎ 设F1(-c,0),F2(c,0),则|F1P|=c‎2‎‎+4‎b‎2‎,‎ ‎∴‎c‎2‎‎+4‎b‎2‎‎=2c.∴c2+4b2=4c2,∴c2+4(c2-a2)=4c2.‎ ‎∴c2=4a2,即c=2a,b=c‎2‎‎-‎a‎2‎‎=‎‎3‎a.‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±bax,即为y=±‎3‎x.故选B.‎ ‎7.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为‎3‎‎2‎c,则其离心率的值是　　　　　. ‎ 答案:2‎ 解析:双曲线的渐近线方程为y=±bax,即bx±ay=0.‎ 所以双曲线的焦点F(c,0)到渐近线的距离为‎|bc±0|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎bcc=b,解得b=‎3‎‎2‎c,‎ 因此a2=c2-b2=c2-‎3‎‎4‎c2=‎1‎‎4‎c2,a=‎1‎‎2‎c,e=2.‎ ‎8.双曲线C:x‎2‎‎4‎-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为　　　　　. ‎ 答案:9‎ 解析:由双曲线的定义,得|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a≥2b‎2‎a+4a=2‎×‎‎1‎‎2‎+8=9.‎ ‎9.设A,B分别为双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4‎3‎,焦点到渐近线的距离为‎3‎‎.‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)已知直线y=‎3‎‎3‎x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM‎+‎ON=tOD,求t的值及点D的坐标.‎ 解:(1)由题意知a=2‎3‎,故可得一条渐近线方程为y=b‎2‎‎3‎x,即bx-2‎3‎y=0,‎ 所以‎|bc|‎b‎2‎‎+12‎‎=‎3‎.‎ 9‎ 所以b2=3,所以双曲线的方程为x‎2‎‎12‎‎-‎y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.‎ 将直线方程代入双曲线方程得x2-16‎3‎x+84=0,‎ 则x1+x2=16‎3‎,y1+y2=12.‎ 故x‎0‎y‎0‎‎=‎4‎‎3‎‎3‎,‎x‎0‎‎2‎‎12‎‎-y‎0‎‎2‎‎3‎=1,‎解得x‎0‎‎=4‎3‎,‎y‎0‎‎=3.‎ 由OM‎+‎ON=tOD,得(16‎3‎,12)=(4‎3‎t,3t),故t=4,点D的坐标为(4‎3‎,3).‎ ‎10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2‎2‎,记动点P的轨迹为W.‎ ‎(1)求W的方程;‎ ‎(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA‎·‎OB的最小值.‎ 解:(1)由|PM|-|PN|=2‎2‎知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=‎‎2‎‎.‎ 又焦距2c=4,所以虚半轴长b=‎c‎2‎‎-‎a‎2‎‎=‎2‎.‎ 所以W的方程为x‎2‎‎2‎‎-‎y‎2‎‎2‎=1(x‎≥‎‎2‎).‎ ‎(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).‎ 当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2,从而OA‎·‎OB=x1x2+y1y2=x‎1‎‎2‎‎-‎y‎1‎‎2‎=2.‎ 当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,‎ 则x1+x2=‎2km‎1-‎k‎2‎,x1x2=m‎2‎‎+2‎k‎2‎‎-1‎,‎ 所以OA‎·‎OB=x1x2+y1y2‎ ‎=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)‎ ‎=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2‎ ‎=‎(1+k‎2‎)(m‎2‎+2)‎k‎2‎‎-1‎‎+‎‎2‎k‎2‎m‎2‎‎1-‎k‎2‎+m2‎ ‎=‎2k‎2‎+2‎k‎2‎‎-1‎=2+‎‎4‎k‎2‎‎-1‎‎.‎ 又因为x1x2>0,所以k2-1>0.所以OA‎·‎OB>2.‎ 9‎ 综上所述,当AB⊥x轴时,OA‎·‎OB取得最小值2.‎ 能力提升 ‎11.已知点F1,F2是双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)‎ A.(1,+∞) B‎.‎‎10‎‎2‎‎,+∞‎ C‎.‎‎1,‎‎10‎‎2‎ D‎.‎‎1,‎‎5‎‎2‎ 答案:C 解析:由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,则△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.‎ 又|PF1|≥3|PF2|,所以|PF2|≤a,‎ 所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,‎ 化为(|PF2|+a)2=2c2-a2,‎ 即有2c2-a2≤4a2,可得c‎≤‎‎10‎‎2‎a,‎ 由e=ca>1可得10,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为　　　　　. ‎ 答案:‎‎5‎‎3‎ 解析:由定义,知|PF1|-|PF2|=2a.‎ 又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|=‎8‎‎3‎a,|PF2|=‎2‎‎3‎a.‎ 在△PF1F2中,由余弦定理,‎ 得cos∠F1PF2=‎64‎‎9‎a‎2‎‎+‎4‎‎9‎a‎2‎-4‎c‎2‎‎2·‎8‎‎3‎a·‎2‎‎3‎a‎=‎17‎‎8‎-‎‎9‎‎8‎e2.‎ 要求e的最大值,即求cos∠F1PF2的最小值,‎ ‎∴当cos∠F1PF2=-1时,得e=‎5‎‎3‎,即e的最大值为‎5‎‎3‎‎.‎ ‎14.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.‎ ‎(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;‎ ‎(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为‎2‎,求实数k的值.‎ 解:(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,‎ 则方程组x‎2‎‎-y‎2‎=1,‎y=kx-1‎有两个不同的实数根,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.‎ 故‎1-k‎2‎≠0,‎Δ=4k‎2‎+8(1-k‎2‎)>0,‎解得-‎2‎|x2|时,S△OAB=S△OAD-S△OBD=‎1‎‎2‎(|x1|-|x2|)=‎1‎‎2‎|x1-x2|;‎ 当A,B在双曲线的两支上且x1>x2时,‎ S△OAB=S△ODA+S△OBD=‎1‎‎2‎(|x1|+|x2|)=‎1‎‎2‎|x1-x2|.‎ 故S△OAB=‎1‎‎2‎|x1-x2|=‎2‎,‎ 即(x1-x2)2=(2‎2‎)2,即‎-2k‎1-‎k‎2‎‎2‎‎+‎‎8‎‎1-‎k‎2‎=8,‎ 解得k=0或k=±‎6‎‎2‎‎.‎又-‎2‎0,b1>0)和椭圆C2:y‎2‎a‎2‎‎2‎‎+‎x‎2‎b‎2‎‎2‎=1(a2>b2>0)均过点P‎2‎‎3‎‎3‎‎,1‎,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.‎ ‎(1)求C1,C2的方程;‎ ‎(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|OA‎+‎OB|=|AB|?证明你的结论.‎ 解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.‎ 因为点P‎2‎‎3‎‎3‎‎,1‎在双曲线x2-y‎2‎b‎1‎‎2‎=1上,‎ 所以‎2‎‎3‎‎3‎‎2‎‎-‎‎1‎b‎1‎‎2‎=1.故b‎1‎‎2‎=3.‎ 由椭圆的定义知 ‎2a2=‎2‎‎3‎‎3‎‎2‎‎+(1-1‎‎)‎‎2‎‎+‎‎2‎‎3‎‎3‎‎2‎‎+(1+1‎‎)‎‎2‎=2‎‎3‎‎.‎ 9‎ 于是a2=‎3‎‎,b‎2‎‎2‎=a‎2‎‎2‎-‎c‎2‎‎2‎=2.‎ 故C1,C2的方程分别为x2-y‎2‎‎3‎=1,y‎2‎‎3‎‎+‎x‎2‎‎2‎=1.‎ ‎(2)不存在符合题设条件的直线.‎ ‎①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,‎ 所以直线l的方程为x=‎2‎或x=-‎‎2‎‎.‎ 当x=‎2‎时,易知A(‎2‎‎,‎‎3‎),B(‎2‎,-‎3‎),所以|OA‎+‎OB|=2‎2‎,|AB|=2‎‎3‎‎.‎ 此时,|OA‎+‎OB|≠|AB|.‎ 当x=-‎2‎时,同理可知,|OA‎+‎OB|≠|AB|.‎ ‎②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.‎ 由y=kx+m,‎x‎2‎‎-y‎2‎‎3‎=1‎得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.‎ 当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1,x2是上述方程的两个实根,‎ 从而x1+x2=‎2km‎3-‎k‎2‎,x1x2=‎m‎2‎‎+3‎k‎2‎‎-3‎‎.‎ 于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=‎‎3k‎2‎-3‎m‎2‎k‎2‎‎-3‎‎.‎ 由y=kx+m,‎y‎2‎‎3‎‎+x‎2‎‎2‎=1‎得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.‎ 因为直线l与C2只有一个公共点,‎ 所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.‎ 化简,得2k2=m2-3,‎ 因此OA‎·‎OB=x1x2+y1y2=m‎2‎‎+3‎k‎2‎‎-3‎‎+‎3k‎2‎-3‎m‎2‎k‎2‎‎-3‎=‎-k‎2‎-3‎k‎2‎‎-3‎≠‎0,‎ 于是OA‎2‎‎+‎OB‎2‎+2OA‎·OB≠OA‎2‎+‎OB‎2‎-2OA‎·‎OB,‎ 即|OA‎+‎OB|2≠|OA‎-‎OB|2,故|OA‎+‎OB|≠|AB|.‎ 综合①②可知,不存在符合题设条件的直线.‎ 高考预测 9‎ ‎16.已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1的左焦点为F,右顶点为A,虚轴的一个端点为B,若△ABF为等腰三角形,则该双曲线的离心率为(　　)‎ A.1+‎3‎ B‎.‎‎5‎ C‎.‎‎3‎ D‎.‎‎2‎ 答案:A 解析:由题意得F(-c,0),A(a,0),不妨设B(0,b),则|BF|=b‎2‎‎+‎c‎2‎>c,|AF|=a+c>c,|AB|=a‎2‎‎+‎b‎2‎=c,‎ ‎∵△ABF为等腰三角形,∴只能是|AF|=|BF|,‎ ‎∴a+c=c‎2‎‎+‎b‎2‎‎.∴‎a2+c2+2ac=c2+c2-a2.‎ ‎∴c2-2a2-2ac=0,即e2-2e-2=0,e=1+‎3‎(舍去负值),选A.‎ 9‎