2019-2020学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．命题“任意，都有＞0”的否定为（ ）‎ A．对任意，都有≤0‎ B．不存在，都有≤0‎ C．存在，使得＞0‎ D．存在，使得≤0‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，否定结论（注意与否命题的区别），故答案选D．‎ ‎【考点】全称命题的否定 ‎2．某赛季某篮球运动员每场比赛得分统计如图所示，则该篮球运动员得分的中位数为（ ）‎ A．23 B．20 C．21.5 D．22‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接根据茎叶图得到该篮球运动员得分的中间两个数,然后求出中位数.‎ ‎【详解】‎ 解:由茎叶图知该篮球运动员得分的中位数为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据茎叶图求中位数,属基础题.‎ ‎3．已知变量与满足关系，变量与负相关.下列结论正确的是（ ）‎ A．变量与正相关，变量与正相关 B．变量与正相关，变量与负相关 C．变量与负相关，变量与正相关 D．变量与负相关，变量与 负相关 ‎【答案】B ‎【解析】根据变量间的相关关系直接判断即可.‎ ‎【详解】‎ 解:根据变量与满足关系可知,变量与正相关;‎ 再由变量y与z负相关知,变量与负相关.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了变量间的相关关系,属基础题.‎ ‎4．甲、乙两人下中国象棋，两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，则甲不输的概率（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用对立事件的概率公式直接计算甲不输的概率.‎ ‎【详解】‎ 解:甲不输可看成是乙获胜的对立事件,所以甲不输的概率.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对立事件的概率计算,属基础题.‎ ‎5．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学能力比赛，决出第一到第五名的名次（无并列名次）.甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“虽然你们都没有得到第一，但你们也都不是最后一名”从上述回答分析，5人的名次不同的排列情况有（ ）‎ A．36种 B．48种 C．18种 D．54种 ‎【答案】A ‎【解析】利用分步计数原理直接求出名次的不同排列情况.‎ ‎【详解】‎ 解:甲和乙的限制最多,先排甲和乙有种情况,‎ 余下的3人有种排法,所以共有种排列情况.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了排列与简单的计数原理,解题的关键是弄清是分类还是分步完成,属基础题.‎ ‎6．常数项为（ ）‎ A．120 B．35 C．84 D．56‎ ‎【答案】C ‎【解析】先写出二项展开式的通项,然后令x的幂指数为0,求得r的值,进一步得到常数项.‎ ‎【详解】‎ 解:二项展开式的通项为,‎ 令,则,所以常数项为.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项,考查了方程思想,属基础题.‎ ‎7．手机给人们的生活带来便捷，但同时也对中学生的生活和学习造成了严重的影响，某校高一几个学生成立研究性学习小组，就使用手机对学习成绩的影响随机抽取了该校100名学生的期末考试成绩并制成如下的表，则下列说法正确的是（ ）‎ 成绩优秀 成绩不优秀 合计 不用手机 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 使用手机 ‎5‎ ‎45‎ ‎50‎ 合计 ‎45‎ ‎55‎ ‎100‎ ‎（附：列联表公式：，其中）‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用手机与学习成绩有关.‎ B．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用手机与学习成绩无关.‎ C．有的把握认为使用手机对学习成绩无影响.‎ D．无的把握认为使用手机对学习成绩有影响.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据列联表求出的值,然后对照表格得到结论.‎ ‎【详解】‎ 解:由列联表,得,‎ 所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用手机与学习成绩有关.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了独立性检验,属基础题.‎ ‎8．在长方体中，，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】以A点为原点,建立空间直角坐标系,然后利用向量法求出异面直线与所成角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 解:在长方体中,以A点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 因为,,为的中点,为的中点,‎ 所以,,,,‎ 所以,.‎ 设异面直线与所成角为,‎ 则,‎ 所以异面直线与所成角的余弦值为.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用空间向量求异面直线所成的角和向量的夹角公式,属基础题.‎ ‎9．下列结论中 ‎①若空间向量，，则是的充要条件；‎ ‎②若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为；‎ ‎③已知，为两个不同平面，，为两条直线，，，，，则“”是“”的充要条件；‎ ‎④已知向量为平面的法向量，为直线的方向向量，则是的充要条件.‎ 其中正确命题的序号有（ ）‎ A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】①由可判断①不正确;‎ ‎②由是的必要不充分条件,可得Ý,从而得到正确;‎ ‎③根据面面垂直的性质和判定定理即可判断;‎ ‎④结合利用法向量与方向向量的定义即可判断.‎ ‎【详解】‎ 解:①空间向量,,则 ‎,‎ 所以是的充要条件错误,故①不正确;‎ ‎②若是的必要不充分条件,则Ý,‎ 所以,故②正确;‎ ‎③若,则由条件可得,又,所以;‎ 若,则根据条件得不到,故③不正确;‎ ‎④若,则,因为为直线的方向向量,所以;‎ 若,则,因为为平面的法向量,所以,故④正确.‎ 综上,正确命题的序号为②④.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量平行的充要条件,利用必要不充分条件求参数范围,平面与平面垂直的判定和利用法向量与方向向量判定平行和垂直关系,属中档题.‎ ‎10．甲、乙两人进行羽毛球比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用5局3胜制，那么乙以战胜甲的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由乙以战胜甲,知第四局乙获胜,从而得到乙以战胜甲的概率.‎ ‎【详解】‎ 解:由乙以战胜甲,知第四局乙获胜,‎ 则乙以战胜甲的概率.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了独立重复试验的概率计算,属基础题.‎ ‎11．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中1，3至少选一个，若1，3都选则0不选，这样的五位数中偶数共有（ ）‎ A．144个 B．168个 C．192个 D．196个 ‎【答案】B ‎【解析】根据条件分选1不选3、选3不选1、选1和3三种情况分别计算五位数中偶数的个数.‎ ‎【详解】‎ 解:当选1不选3时,五位数中偶数有个;‎ 当选3不选1时,五位数中偶数有个;‎ 当选1和3时,五位数中偶数有个,‎ 所以这样的五位数中偶数共有60+60+48=168个.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了排列、组合与简单的计算原理,考查了分类讨论思想,属中档题.‎ ‎12．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律，去掉所有为1的项，依次构成2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6…，则此数列的前50项和为（ ）‎ A．2025 B．3052 C．3053 D．3049‎ ‎【答案】D ‎【解析】去除所有为1的项后,根据图可知前n行共有个数,从而得到前10行共55个数,然后用前10行的和减去后五项,即可得到此数列的前50项和.‎ ‎【详解】‎ 解:去除所有为1的项后,由图可知前n行共有个数,‎ 当n=10时,,即前10行共有55个数.‎ 因为第n-1行的和为,‎ 所以前10行的和为.‎ 因为第10行最后5个数为,,,,,‎ 所以此数列的前50项的和为4072-11-55-165-330-462=3049.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了归纳推理和等比数列前n项和的求法,考查了推理能力,属难题.‎ 二、填空题 ‎13．已知某校高一、高二、高三三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动，则应从高一年级的学生志愿者中抽取______人.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据分层抽样的特点直接求出高一抽取的人数即可.‎ ‎【详解】‎ 解:高一年级的学生志愿者中抽取的人数为.‎ 故答案为:3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分层抽样的特点,属基础题.‎ ‎14．已知，则______ .‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】根据,令可得值.‎ ‎【详解】‎ 解:由,‎ 令,得.‎ 故答案为:64.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用二项式定理求多项式的值,属基础题.‎ ‎15．如图所示，已知平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱的长为2，.若，则______；则的长为______.‎ ‎【答案】3 ‎ ‎【解析】根据条件可得,再结合条件利用向量相等求出x,y,z的值;结合条件直接由,求出即可.‎ ‎【详解】‎ 解:由题意,知在平行六面体中,,‎ 则,‎ 因为,所以,所以.‎ 因为底面是边长为1的正方形,侧棱的长为2,,‎ 所以 ‎.‎ 故答案为:3;.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用向量相等求参数,向量的数量积和向量的模,考查了方程思想,属中档题.‎ ‎16．某同学利用假期参加志愿者服务，现有，，，四个不同的地点，每天选择其中一个地点，且每天都从昨天未选择的地点中等可能地随机选择一个，设第一天选择地点参加志愿者服务，则第四天也选择地点的概率是______，记第天（）选择地点的概率为，试写出当时，与的关系式为______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据条件可得第四天选择A地点的概率;结合条件类推可得与的关系式.‎ ‎【详解】‎ 解:第一天选择A地点,则第二天选择A地点的概率,‎ 第三天选择A地点的概率,‎ 所以第四天选择A地点的概率.‎ 当第n天选择A地点的概率为,‎ 则当时,与的关系式为.‎ 故答案为:;.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等可能事件的概率,属中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知，.‎ ‎（1）若，求实数的值.‎ ‎（2）若，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1)直接根据向量平行得到关于k的方程,然后解出k即可;‎ ‎(2)直接根据向量垂直得到关于k的方程,然后解出k即可;‎ ‎【详解】‎ 解:,.‎ ‎(1)∵,∴,∴.‎ ‎(2)∵,∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量平行和向量垂直求参数值,考查了方程思想,属基础题.‎ ‎18．已知一堆产品中有一等品2件，二等品3件，三等品4件，现从中任取3件产品.‎ ‎（1）求一、二、三等品各取到一个的概率；‎ ‎（2）记表示取到一等品的件数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析，‎ ‎【解析】(1)利用古典概型的概率公式直接计算一、二、三等品各取到一个的概率即可;‎ ‎(2)先得到的所有可能取值,然后计算各个取值的概率,列出的分布列,再求出数学期望.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)一、二、三等品各取到一个的概率为.‎ ‎(2)的取值为0,1,2,‎ ‎,,,‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型的概率公式,分布列和数学期望的求法,属中档题.‎ ‎19．根据统计调查数据显示：某企业某种产品的质量指标值服从正态分布，从该企业生产的这种产品（数量很大）中抽取100件，测量这100件产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为.‎ ‎（1）求这100件产品质量指标值落在区间内的频率；‎ ‎（2）根据频率分布直方图求平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）若取这100件产品指标的平均值，从这种产品（数量很大）中任取3个，求至少有1个落在区间的概率.‎ 参考数据：，若，则；；.‎ ‎【答案】（1）0.1（2）50（3）0.994‎ ‎【解析】(1)根据频率分布直方图列方程求出的值,然后求出落在区间内的频率即可;‎ ‎(2)直接根据频率分布直方图求平均数即可;‎ ‎(3)根据条件可得,,然后求出,进一步求出落在区间的概率.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)设在区间内频率为,则有,‎ ‎∴,∴,即落在区间内的频率为0.1.‎ ‎(2).‎ ‎(3)依题意有,,∴即为,‎ ‎∴.‎ 则至少有一个落在区间内的概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据频率分布直方图求参数值和求平均值,正态分布的应用,属中档题.‎ ‎20．已知四棱锥，底面为菱形，，平面，，点在线段上且，点是的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】(1)建立空间直角坐标系,要证明平面,只需证明与平面的法向量垂直即可;‎ ‎(2)求出平面与平面的法向量所成角的余弦值,即可得到二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 解:如图建立空间直角坐标系.‎ 则有,,,,,,.‎ ‎(1)设平面的法向量,则,,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,令,则,,∴.‎ 又,且,∴.‎ 又平面,∴平面.‎ ‎(2)设平面的法向量为,‎ ‎∴,,,∴,∴,‎ 令,则,∴,‎ ‎∴.‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用向量法证明直线与平面平行和利用向量法求二面角的余弦,属中档题.‎ ‎21．一只昆虫的产卵数与温度有关，现收集了6组观测数据与下表中.由散点图可以发现样本点分布在某一指数函数曲线的周围.‎ 温度 ‎21‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎27‎ ‎29‎ ‎31‎ 产卵数/个 ‎7‎ ‎11‎ ‎21‎ ‎24‎ ‎66‎ ‎114‎ 令，经计算有：‎ ‎26‎ ‎40.5‎ ‎19.50‎ ‎6928‎ ‎526.60‎ ‎70‎ ‎（1）试建立关于的回归直线方程并写出关于的回归方程.‎ ‎（2）若通过人工培育且培育成本与温度和产卵数的关系为 ‎（单位：万元），则当温度为多少时，培育成本最小？‎ 注：对于一组具有线性相关关系的数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘公式分别为，.‎ ‎【答案】（1），（2）时，培育成本最小 ‎【解析】(1)先将回归方程,转化为线性回归方程,然后求出参数值即可得到回归方程;‎ ‎(2)先求出g(x),然后利用二次函数的性质求出g(x)的最小值即可.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)由得.令,得.‎ 由表格,得.‎ ‎∴,又,∴.‎ ‎∴,∴.‎ ‎(2)‎ ‎.即时,取最小值.‎ 答:温度为时,培育成本最小.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了非线性回归方程的求法和二次函数的性质,考查了转化思想,属中档题.‎ ‎22．有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取8件，经检验都为优质品时接受这批产品，若优质品数小于6件则拒收；否则做第二次检验，其做法是从产品中再另任取3件，逐一检验，若检测过程中检测出非优质品就要终止检验且拒收这批产品，否则继续产品检测，且仅当这3件产品都为优质品时接受这批产品.若产品的优质品率为0.9.且各件产品是否为优质品相互独立.‎ ‎（1）记为第一次检验的8件产品中优质品的件数，求的期望与方差；‎ ‎（2）求这批产品被接受的概率；‎ ‎（3）若第一次检测费用固定为1000元，第二次检测费用为每件产品100元，记为整个产品检验过程中的总费用，求的分布列.‎ ‎（附：，，，，）‎ ‎【答案】（1），（2）0.817（3）见解析 ‎【解析】(1)根据条件可知,然后直接求出的期望与方差;‎ ‎(2)由条件可得产品被接受的概率;‎ ‎(3)先列出的所有可能取值,然后计算各个取值的概率,列出的分布列.‎ ‎【详解】‎ 解(1)依题意有:,,.‎ ‎(2)产品被接受的概率 ‎.‎ ‎(3)的取值为1000元、1100元、1200元、1300元.‎ ‎.‎ ‎,.‎ ‎.‎ 分布列为:‎ ‎1000‎ ‎1100‎ ‎1200‎ ‎1300‎ ‎0.469‎ ‎0.0531‎ ‎0.04779‎ ‎0.43011‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二项分布的期望和方差的求法,离散型随机变量的分布列,属中档题.‎