专题04+“用好零点”，确定参数的最值或取值范围-2019年高考数学压轴题之函数零点问题

专题04+“用好零点”，确定参数的最值或取值范围-2019年高考数学压轴题之函数零点问题

专题四 “用好零点”，确定参数的最值或取值范围 函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数零点，确定参数的最值或取值范围问题，例题说法，高效训练.‎ ‎【典型例题】‎ 例1.【山东省淄博市2019届高三3月模拟】已知函数.‎ ‎（1）若是的极大值点，求的值；‎ ‎（2）若在上只有一个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎ (1)，‎ 因为是的极大值点，所以，解得，‎ 当时，，，‎ 令，解得，‎ 当时，，在上单调递减，又，‎ 所以当时，；当时，，‎ 故是的极大值点；‎ ‎(2)令，，‎ 在上只有一个零点即在上只有一个零点,‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以.‎ ‎（Ⅰ）当，即时，时，在上只有一个零点，即在上只有一个零点.‎ ‎（Ⅱ）当，即时，取，，‎ ‎①若，即时，在和上各有一个零点，即在上有2个零点，不符合题意；‎ ‎②当即时，只有在上有一个零点，即在上只有一个零点，‎ 综上得，当时，在上只有一个零点.‎ 例2.【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数（为自然对数的底数），.‎ ‎（1）当时，求函数的极小值；‎ ‎（2）若当时，关于的方程有且只有一个实数解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）0（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，， ‎ 令 则 列表如下：‎ ‎1‎ 单调递减 极小值 单调递增 所以. ‎ ‎（2）设，‎ ‎，‎ 设，， ‎ 由得， ，，在单调递增，‎ 即在单调递增，，‎ ‎①当，即时，时，，在单调递增,‎ 又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解，符合题意. ‎ ‎②当，即时，由（1）可知，‎ 所以，又 故，当时，，单调递减，又，‎ 故当时，，‎ 在内，关于的方程有一个实数解1.‎ 又时，，单调递增，‎ 且，令，‎ ‎,,故在单调递增，又 ‎ 在单调递增，故，故，‎ 又，由零点存在定理可知，，‎ 故在内，关于的方程有一个实数解.‎ 又在内，关于的方程有一个实数解1，不合题意.‎ 综上，.‎ 例3. 已知函数，其中.‎ ‎（1）设，讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数在内存在零点，求的范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）的取值范围是.‎ ‎【解析】‎ ‎（i） 当 时，则 ，因此在 上恒有 ，即 在 ‎ 上单调递减；‎ ‎（ii）当时， ，因而在上有，在上有 ；因此 在 上单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）设 ,‎ ‎，设，‎ 则 . ‎ 先证明一个命题：当时， .令， ，故在上是减函数，从而当时， ，故命题成立.‎ 若 ,由 可知， .，故 ，对任意都成立，故 在上无零点，因此.‎ ‎（ii）当，考察函数 ，由于 在 上必存在零点.设在 的第一个零点为，则当时， ，故 在 上为减函数，又 ，‎ 所以当 时， ，从而 在 上单调递减，故在 上恒有 ‎ ‎.即 ，注意到 ，因此 ‎，令时，则有，由零点存在定理可知函数 在 上有零点，符合题意. ‎ 例4．【广东省广州市天河区2019届高三综合测试（一)】设函数．‎ 若函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值；‎ 讨论函数的单调区间与极值；‎ 若函数有两个零点，求满足条件的最小整数a的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）3‎ ‎【解析】‎ ‎，．‎ ‎，‎ 函数在处的切线与直线垂直，‎ ‎，解得．‎ ‎，‎ 时，，此时函数在内单调递增，无极值．‎ 时，可得函数在内单调递减，在内单调递增．‎ 可得时，函数取得极小值，．‎ 由可得：时，函数在内单调递增，不可能有两个零点，舍去．‎ 时，可得时，函数取得极小值，‎ 时，；时，．‎ 因此极小值．‎ 即．‎ 令函数，在上单调递增．‎ ‎，，，可得，‎ 满足条件的最小整数．‎ ‎【规律与方法】‎ 根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，‎ ‎（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；‎ ‎（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数； ‎ ‎（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎ ‎（4）如果导函数的解析式具有分式特征,且容易判断出分母是正数,此时往往将分子看成一个新的函数,进而对该函数进行研究从而得到相应的结论.‎ ‎（5）参变分离法、构造函数法、数形结合法等，均应灵活运用.‎ ‎【提升训练】‎ ‎1.【四川省高中2019届高三二诊】已知．‎ 求的极值；‎ 若有两个不同解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）有极小值，为；无极大值；（2）‎ ‎【解析】‎ 的定义域是，‎ ‎，‎ 令，解得：，‎ 令，解得：，‎ 故在递减，在递增，‎ 故时，；‎ 记，，则，‎ 故可转化成，即：，‎ 令，，‎ 令，解得：，‎ 令，解得：，‎ 故在递增，在递减，‎ 且时，，时，‎ 故，‎ 由，，的性质有：‎ ‎，和有两个不同交点，，且，‎ ‎，各有一解，即有2个不同解，‎ ‎，和仅有1个交点，且，‎ 有2个不同的解，即有两个不同解，‎ 取其它值时，最多1个解，‎ 综上，的范围是 ‎2．【陕西省咸阳市2019年高考模拟（二)】已知函数.‎ ‎（1）当，求证；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：当时，，‎ 得，‎ 知在递减，在递增，‎ ‎，‎ 综上知，当时，.‎ ‎（2）法1：，，即，‎ 令，则，‎ 知在递增，在递减，注意到，‎ 当时，；当时，，‎ 且，‎ 由函数有个零点，‎ 即直线与函数图像有两个交点，得. ‎ 法2：由得，，‎ 当时，，知在上递减，不满足题意；‎ 当时，，知在递减，在递增. ‎ ‎，‎ 的零点个数为，即，‎ 综上，若函数有两个零点，则.‎ ‎3.【湖南省怀化市2019届高三3月一模】设函数.‎ ‎（1）若是的极大值点，求的取值范围；‎ ‎（2）当，时，方程（其中）有唯一实数解，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意，函数的定义域为，则导数为 由，得，∴‎ ‎①若，由，得.‎ 当时，，此时单调递增；‎ 当时，，此时单调递减.‎ 所以是的极大值点 ‎②若，由，得，或.‎ 因为是的极大值点，所以，解得 综合①②：的取值范围是 ‎（2）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解 设，则，‎ 令，即.‎ 因为，，所以（舍去），‎ 当时，，在上单调递减，‎ 当时，，在单调递增 当时，，取最小值 则，即，‎ 所以，因为，所以（*）‎ 设函数，‎ 因为当时，是增函数，所以至多有一解 因为，所以方程（*）的解为，即，解得 ‎4.【安徽省马鞍山市2019届高三高考一模】已知函数在上是增函数．‎ 求实数的值；‎ 若函数有三个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 当时，是增函数，且，‎ 故当时，为增函数，即恒成立，‎ 当时，函数的导数恒成立，‎ 当时，，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，‎ 当时，，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，‎ 则，即．‎ 若，则在上是增函数，此时最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．‎ 故，‎ 当时，有一个零点，‎ 当时，，故0也是故的一个零点，‎ 故当时，有且只有一个零点，即有且只有一个解，‎ 即，得，，‎ 则，在时有且只有一个根，‎ 即与函数，在时有且只有一个交点，‎ ‎，‎ 由得，即得，得，此时函数递增，‎ 由得，即得，得，此时函数递减，‎ 即当时，函数取得极小值，此时极小值为 ‎，‎ ‎，‎ 作出的图象如图，‎ 要使与函数，在时有且只有一个交点，‎ 则或，‎ 即实数的取值范围是．‎ ‎5.【吉林省长春市普通高中2019届高三监测（二)】已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题可得，‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，，在上单调递增；‎ ‎，，在上单调递减.‎ ‎（2）令，，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，，即，，‎ 故若有有两个零点，需满足，‎ 即 ，‎ 令，，所以在上单调递减.‎ ‎，所以的解集为，‎ 由，所以.‎ 当时，，‎ 有，‎ 令，‎ 由于，所以，，‎ 故，所以，‎ 故，在上有唯一零点，另一方面，在上，‎ 当时，由增长速度大，所以有，‎ 综上，.‎ ‎6. 设函数.‎ ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 函数的单调递增区间为;(2) 的取值范围是.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）函数的定义域为 ‎∵‎ ‎∵，则使的的取值范围为， ‎ 故函数的单调递减区间为 故在区间内恰有两个相异实根 即，解得： ‎ 综上所述， 的取值范围是 ‎7. 已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；‎ ‎（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（2）．‎ 由，知在区间内恰有一个零点，‎ 设该零点为，则在区间内不单调，‎ 所以在区间内存在零点，‎ 同理， 在区间内存在零点，‎ 所以在区间内恰有两个零点．‎ 由（1）知，当时， 在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意．‎ 当时， 在区间上单调递减，‎ 故在内至多有一个零点，不合题意；‎ 所以．‎ ‎8．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）函数的定义域为，‎ ‎.‎ 由得或.‎ 当时， 在上恒成立，‎ 所以的单调递减区间是，没有单调递增区间.‎ 当时， 的变化情况如下表：‎ 所以的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ 当时， 的变化情况如下表：‎ 所以的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎9．已知．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若存在及唯一正整数，使得，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是;(2) 的取值范围是.‎ ‎【解析】‎ ‎（2）由（1）知当时， 取得最小值，‎ 又，‎ 所以在上的值域为．‎ 因为存在及唯一正整数，使得，‎ 所以满足的正整数解只有1个．‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，即，‎ 解得．‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎10．设函数， （）.‎ ‎（1）当时，若函数与的图象在处有相同的切线，求的值；‎ ‎（2）当时，若对任意和任意，总存在不相等的正实数，使得 ‎，求的最小值；‎ ‎（3）当时，设函数与的图象交于 两点．求证： .‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎（2）当时，则，又，设，‎ 则题意可转化为方程在上有相异两实根． ‎ 即关于的方程在上有相异两实根．‎ 所以，得，‎ 所以对恒成立． ‎ 因为，所以（当且仅当时取等号），‎ 又，所以的取值范围是，所以．‎ 故的最小值为. ‎ ‎（3）当时，因为函数与的图象交于两点，‎ 所以，两式相减，得. ‎ 要证明，即证，‎ 即证，即证. ‎ 令，则，此时即证．‎ 令，所以，所以当时，函数单调递增．‎ 又，所以，即成立；‎ 再令，所以，所以当时，函数单调递减，‎ 又，所以，即也成立．‎ 综上所述， 实数满足.‎