2018年辽宁省鞍山一中高考一模数学理

2018年辽宁省鞍山一中高考一模数学理

2018 年辽宁省鞍山一中高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x＜1}，B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}，则( ) A.A∩B={x|x＜1} B.A∪B=R C.A∪B={x|x＜2} D.A∩B={x|﹣2＜x＜1} 解析：集合 A={x|x＜1}， B=x{x|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}， 则 A∩B={x|﹣2＜x＜1}， A∪B={x|x＜3}. 答案：D 2.在下列区间中，函数 f(x)=ex+4x﹣3 的零点所在的区间为( ) A. 1 0 4  ， B. 10 4   ， C. 11 42   ， D. 13 24   ， 解析：∵函数 f(x)=ex+4x﹣3， ∴f′(x)=ex+4＞0， ∴函数 f(x)=ex+4x﹣3 在(﹣∞，+∞)上为增函数， ∵ 1 4 1 3 01 4 fe ﹣ ＜ ， 21 2 3= 1 0f e e   ﹣ ＞ ， ∴ 11 4 0 2 ff          ＜ ， ∴函数 f(x)=ex+4x﹣3 的零点所在的区间为 . 答案：C 3.设命题 p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p 为( ) A.∀n＞1，n2＞2n B.∃n≤1，n2≤2n C.∀n＞1，n2≤2n D.∃n＞1，n2≤2n 解析：因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题 p：∃n＞1，n2＞2n，则¬p 为∀n＞1，n2≤2n. 答案：C 4.函数   2 sin cos 3 cos 2f x x xx 的对称轴为( ) A. 26 kx (k∈Z) B. 26 kx ＝ (k∈Z) C. 2 12 kx (k∈Z) D. 2 12 kx (k∈Z) 解析：   sin 2 3 cos 2 2 sin 2 3 xf x x x     ， 令 2 32 xk    ，解得 12 2 kx  ，k∈Z. 答案：D 5.指数函数 f(x)=ax(a＞0，且 a≠1)在 R 上是减函数，则函数   2 2agx x ＝ 在其定义域上的 单调性为( ) A.单调递增 B.单调递减 C.在(0，+∞)上递增，在(﹣∞，0)上递减 D.在(0，+∞)上递减，在(﹣∞，0)上递增 解析：∵指数函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数， ∴0＜a＜1， ∴﹣2＜a﹣2＜﹣1， 而函数 y=x2 在(﹣∞，0)上递减，在区间(0，+∞)上递增； ∴g(x)在区间(﹣∞，0)上递增，在区间(0，+∞)上递减. 答案：C 6.设 a=log510，b=log612，c=1+log72，则( ) A.c＞b＞a B.b＞c＞a C.a＞c＞b D.a＞b＞c 解析：∵a=log510=1+log52， b=log612=1+log62， c=1+log72， log52＞log62＞log72， ∴a＞b＞c. 答案：D 7.已知函数 f(x)=ln(﹣x2﹣2x+3)，则 f(x)的增区间为( ) A.(﹣∞，﹣1) B.(﹣3，﹣1) C.[﹣1，+∞) D.[﹣1，1) 解析：由﹣x2﹣2x+3＞0， 解得：﹣3＜x＜1， 而 y=﹣x2﹣2x+3 的对称轴是 x=﹣1，开口向下， 故 y=﹣x2﹣2x+3 在(﹣3，﹣1)递增，在(﹣1，1)递减， 由 y=lnx 递增，根据复合函数同增异减的原则， 得 f(x)在(﹣3，﹣1)递增. 答案：B 8.函数 f(x)=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意 x1，x2 都有|f(x1)﹣f(x2)|≤t，则实 数 t 的最小值是( ) A.20 B.18 C.3 D.0 解析：对于区间[﹣3，2]上的任意 x1，x2 都有|f(x1)﹣f(x2)|≤t，等价于对于区间[﹣3，2] 上的任意 x，都有 f(x)max﹣f(x)min≤t， ∵f(x)=x3﹣3x﹣1，∴f′(x)=3x2﹣3=3(x﹣1)(x+1)， ∵x∈[﹣3，2]， ∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减 ∴f(x)max=f(2)=f(﹣1)=1，f(x)min=f(﹣3)=﹣19 ∴f(x)max﹣f(x)min=20， ∴t≥20 ∴实数 t 的最小值是 20. 答案：A 9.如图，半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1，l2 之间，l∥l1，l 与半圆相 交于 F，G 两点，与三角形 ABC 两边相交于 E，D 两点.设弧 FG 的长为 x(0＜x＜π )， y=EB+BC+CD，若 l 从 l1 平行移动到 l2，则函数 y=f(x)的图象大致是( ) A. B. C. D. 解析：当 x=0 时，y=EB+BC+CD=BC= 23 3 ； 当 x=π 时，此时 y=AB+BC+CA= 233 2 3 3 ； 当 x= 3  时，∠FOG= 3  ，三角形 OFG 为正三角形，此时 AM=OH= 3 2 ， 在正△AED 中，AE=ED=DA=1， ∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣(AE+AD)= 233 2 1 2 3 2 3    ﹣ .如图. 又当 x= 3  时，图中 0 2 3 2 3 10 32 3 2 3 2 3 3 9 1 3 y       ＞ . 故当 x= 3  时，对应的点(x，y)在图中红色连线段的下方，对照选项，D 正确. 答案：D. 10.已知函数 f(x)的定义域为 R 的奇函数，当 x∈[0，1]时，f(x)=x3，且∀x∈R，f(x)=f(2 ﹣x)，则 f(2017.5)=( ) A. 1 8  B. 1 8 C.0 D.1 解析：∀x∈R，f(x)=f(2﹣x)， ∴f(x+2)=f(﹣x)=﹣f(x)， 故 f(2017.5)=f(1009×2﹣0.5)=f(0.5)=f(0.5)=(0.5)3= 1 8 ， 答案：B 11.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝.甲：我没 有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷.根据以上条件，可以判断偷珠宝的人 是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是 真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾， 假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假 的，成立， 答案：A 12.已知函数   2 11 4 () ()31 xx fx x x x     ， ， ＞ ，若 f(f(m))≥0，则实数 m 的取值范围是( ) A.[﹣2，2] B.[﹣2，2]∪[4，+∞) C.[﹣2，2+ 2 ] D.[﹣2，2+ 2 ]∪[4，+∞) 解析：令 f(m)=t⇒f(t)≥0⇒ 1 0 1 t t      ⇒﹣1≤t≤1； 2 4 3 0 1 tt t       ＞ ⇒t≥3 下面求解﹣1≤f(m)≤1 和 f(m)≥3， 11 1 1 m m         ⇒﹣2≤m≤1， 21 4 3 1 1 mm m        ＞ ⇒1＜m≤2+ 2 ， 1 3 1 m m      ⇒m 无解， 2 343 1 mm m     ＞ ⇒m≥4， 综上实数 m 的取值范围是[﹣2，2+ ]∪[4，+∞). 答案：D 二、填空题(每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上) 13.若 1sin 63   ＝ ，则 2cos 62  = . 解析： ， 则： 2 1 cos 3cos 6 2 2      ， = 11 sin 1 26 3 2 2 3   ＝ . 答案： 2 3 14.已知 f(x)为奇函数，当 x＜0 时，f(x)=x4﹣x，则曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程是____. 解析：f(x)为奇函数，当 x＜0 时，f(x)=x4﹣x， 可得 x＞0 时，﹣x＜0，f(﹣x)=x4+x， 又 f(﹣x)=﹣f(x)， 可得 f(x)=﹣x4﹣x，(x＞0)， 则 f′(x)=﹣4x3﹣1(x＞0)， 可得 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为﹣4﹣1=﹣5， 切点为(1，﹣2)， 则 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y+2=﹣5(x﹣1)， 即为 5x+y﹣3=0. 答案：5x+y﹣3=0 15.由 y=x2﹣2 和 y=x 围成的封闭图形面积为____. 解析：联立 2 2yx yx      ＝ ，解得： 2 2 x y      ，或 1 1 x y      ，则 A(2，2)，B(﹣1，﹣1)，  2 2 2 3 2 11 11 2 22| 3 S x x dx x x x        1 1 1 1 9 2 3 2 3 2 4 8 2 2 1 2                    ， ∴y=x2﹣2 和 y=x 围成的封闭图形面积 9 2 ， 答案： 9 2 16.设函数    22ln 1 sinf x x x x x x x   ＝ ，则使得 f(x)＞f(2x﹣1)成立的 x 的取 值范围是____. 解析：∵函数    22ln 1 sinf x x x x x x x   ＝ ，        2 2 2 2ln 1 sin ln 1 sinf x x x x x x x x x x x x x f x             ， 故函数为偶函数， 当 x＞0 时，     2 2 2 1 1ln 1 2 sin cos 1 x xf x x x x x x x xx          ＝ =  2 2 1ln 1 2 sin cos 1 x x x x x x x        ＞0 恒成立 函数 为增函数， 若使得 f(x)＞f(2x﹣1)成立， 则|x|＞|2x﹣1|，即 x2＞(2x﹣1)2， 解得：x∈ 1 1 3   ， ， 答案： 1 1 3   ， 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设 a∈R，命题 q：∀x∈R，x2+ax+1＞0，命题 p：∃x∈[1，2]，满足(a﹣1)x﹣1＞0. (1)若命题 p∧q 是真命题，求 a 的范围； (2)(￢p)∧q 为假，(￢p)∨q 为真，求 a 的取值范围. 解析：分别求出命题 p，q 成立的等价条件， (1)然后根据若 p、q 为真命题，列式计算， (2)由(￢p)∧q 为假，(￢p)∨q 为真⇒p、q 同时为假或同时为真，分别求出确实实数 m 的 取值范围即可. 答案：(1)p 真，则   10 2 1 1 0 a a      ＞ ＞ 或   1 0 1 1 1 0 a a         ＜ ＞ 得 3 2 a＞ ； q 真，则 a2﹣4＜0，得﹣2＜a＜2， ∴p∧q 真， 3 2 2 a＜ ＜ . (2)由(￢p)∧q 为假，(￢p)∨q 为真⇒p、q 同时为假或同时为真， 若 p 假 q 假，则 3 2 12 a aa        或 ，⇒a≤﹣2， 若 p 真 q 真，则 3 2 22 a a     ＞ ＜ ＜ ，⇒ 综上 a≤﹣2 或 . 18.已知 f(x)=Asin(ω x+ϕ)( 0 0 4 2 A  ＞ ，＜ ＜ ， ＜ 过点 10 2   ， ，且当 6 x  时，函数 f(x) 取得最大值 1. (1)将函数 f(x)的图象向右平移 6  个单位得到函数 g(x)，求函数 g(x)的表达式； (2)在(1)的条件下，函数 h(x)=f(x)+g(x)+2cos2x﹣1，求 h(x)在 0 2   ， 上的值域. 解析：(1)由函数的最值求出 A，由特殊点的坐标求出 φ 的值，由周期求出 ω ，可得 f(x) 的解析式，再根据 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律求得 g(x)的解析式. (2)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数图象及性质即可得出结论. 答案：(1)由题意可得 A=1，由函数过 ，得 sin 1 2  ＝ ，结合范围 2  ＜ ，可得： 6   ， 由   126 6 6 2f k k Z      ＝ ＝ ， ， ∵0＜ω ＜4， ∴可得：ω =2，可得：    sin 2 6f x x ＝ ， ∴      sin 266g x f x x＝ ＝ . (2)∵    3 sin 2 cos 2 2 sin 2 6h x x x x ＝ ＝ ， 由于 0 2x   ， ，可得： 726 6 6x     ，可得：  1 sin 2 126x     ， 可得：  1 2 sin 2 26x     ， ∴h(x)在 2   0， 上的值域为[﹣1，2]. 19.已知函数   1 1x afx e   ＝ 为奇函数. (1)判断 f(x)的单调性并证明； (2)解不等式    2 2 2log log 3 0f x f x   . 解析：(1)运用奇函数的定义可得 a，以及求出 f(x)的导数，即可判断单调性； (2)运用 f(x)为奇函数且为 R 上的增函数，结合对数不等式的解法，即可得到所求解集. 答案：(1)由已知 f(﹣x)=﹣f(x)，∴ 11 11xx aa ee     ∴ 2 2 0 11 x xx ae a a ee     ＝ ＝ ，a=﹣2， ∵   2 0 1 x x efx e   ＝ ＞ ，∴   2 1xfx e   ＝ +1为单调递增函数. (2)∵    2 2 2log log 3 0f x f x   ， ∴    2 2 2log log 3f x f x   ，而 f(x)为奇函数， ∴    2 2 2log log 3f x f x   ∵f(x)为单调递增函数，∴ 2 2 2log log 3xx   ， ∴ 2 22log 2 log 3 0xx   ， ∴﹣3≤log2x≤1， ∴ ]2[1 8x  ， . 20.已知 f(x)=sinx，   2102 2 2 3 2 2 9ff           ＜ ＜ ，＜ ＜ ， ＝ ， ＝ . (1)求 cos 2  的值. (2)      224g x f x f x＝ ，求 g(x)的值域. 解析：(1) 由 题 意  12cos 0 sin 02 9 2 3     ＝ ＜ ， ＝ ＞ ，可得    224 5 5sin 1 cos cos 1 sin2 2 9 2 2 3                   ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，即可求 解求 的值. (2)      2 2 sin cos 2 sin cos4g x f x f x x x x x   ＝ ＝ ，利用同角三角函数关系式 化简，即可求解值域. 答案：(1)∵ 2  ＜ ＜ ， ∴ 422   ＜ ＜ ， ∵ 0 2 ＜ ＜ ， ∴ 042 ＜ ＜ ， ∴ 42  ＜ ＜ ， 4 2 2   ＜ ＜ ， 又  12cos 0 sin 02 9 2 3     ＝ ＜ ， ＝ ＞ ， ∴ 2 2 2 2     ＜ ＜ ， 0＜ ＜ ， ∴    224 5 5sin 1 cos cos 1 sin2 2 9 2 2 3                   ＝ ＝ ， ＝ ＝ ∴      cos cos cos cos sin sin2 2 2 2 2] 22[                                   ＝ ＝  1 5 4 5 2 7 5 9 3 9 3 27     ＝ . (2)      2 2 sin cos 2 sin cos4g x f x f x x x x x   ＝ ＝ 令  sin cos 2 sin 4 ]22[t x x x    ＝ ＝ ， ， 则     2 2 151 24g x t t t     ＝ ＝ ∴g(x)的值域为 5214[]， . 21.已知函数 f(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1 (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)≤0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； (3)证明：  11 2 1 3 1 4 1 3 4 5 1 4 nnn n n nn n       ＜ (n∈N*且 n＞1) 解析：(1)由 f(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1，知 x＞1，   1 1f x kx ＝ ，由此能求出 f(x) 的单调区间. (2)由 f(x)≤0 恒成立，知∀x＞1，ln(x﹣1)≤k(x﹣1)﹣1，故 k＞0.f(x)max=f(1+ 1 k )=ln 1 k ≤ 0，由此能求出实数 k 的取值范围. (3)令 k=1，能够推导出 lnx≤x﹣1 对 x∈(0，+∞)恒成立.取 x=n2，得到 ln 1 12 nn n  ，n≥ 2，由此能够证明 (n∈N*且 n＞1). 答案：(1)∵f(x)=1n(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1， ∴x＞1， ， ∵x＞1，∴当 k≤0 时， ＞0，f(x)在(1，+∞)上是增函数； 当 k＞0 时，f(x)在(1，1+ )上是增函数，在(1+ ，+∞)上为减函数. (2)∵f(x)≤0 恒成立， ∴∀x＞1，ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1≤0， ∴∀x＞1，ln(x﹣1)≤k(x﹣1)﹣1， ∴k＞0. 由(1)知，f(x)max=f(1+ )=ln ≤0， 解得 k≥1. 故实数 k 的取值范围是[1，+∞). (3)令 k=1，则由(2)知：ln(x﹣1)≤x﹣2 对 x∈(1，+∞)恒成立， 即 lnx≤x﹣1 对 x∈(0，+∞)恒成立. 取 x=n2，则 2lnn≤n2﹣1， 即 ln 1 12 nn n  ，n≥2， ∴  11 2 1 3 1 4 1 3 4 5 1 4 nnn n n nn n       ＜ (n∈N*且 n＞1). 22.已知函数 f(x)=e﹣x﹣ax(x∈R). (1)当 a=﹣1 时，求函数 f(x)的最小值； (2)若 x≥0 时，f(﹣x)+ln(x+1)≥1，求实数 a 的取值范围. 解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数 的最小值； (2)得到 ex+ax+ln(x+1)﹣1≥0.(*)令 g(x)=ex+ax+ln(x+1)﹣1，通过讨论 a 的范围，确定函 数的单调性，从而求出满足条件的 a 的具体范围即可； 答案：(1)当 a=﹣1 时，f(x)=e﹣x+x， 则   1 1xfx e     . 令 f'(x)=0，得 x=0. 当 x＜0 时，f'(x)＜0；当 x＞0 时，f'(x)＞0. ∴函数 f(x)在区间(﹣∞，0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增. ∴当 x=0 时，函数 f(x)取得最小值，其值为 f(0)=1f(x)的最小值为 1. (2)若 x≥0 时，f(﹣x)+ln(x+1)≥1，即 ex+ax+ln(x+1)﹣1≥0(*) 令 g(x)=ex+ax+ln(x+1)﹣1，则   1 1 xg x e ax   ＝ ①若 a≥﹣2，由(1)知 e﹣x+x≥1，即 e﹣x≥1﹣x， 故      1 1 11 1 2 1 2 01 1 1 xxe xg x e a x a x a ax x x                 ＝ ＝ ∴函数 g(x)在区间[0，+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(0)=0. ∴(*)式成立. ②若 a＜﹣2，令   1 1 xx e ax  ＝ ，则         2 22 111 0 11 x x xe xe xx       ＝ ＝ ∴ 函数 ϕ(x) 在 区 间 [0 ， + ∞ ) 上 单 调 递 增 ， 由 于 ϕ(0)=2+a ＜ 0 ，   1 1 11 1 01 1 1 aa e a a aa a a           ＝ ＝ ＞ . 故∃x0∈(0，﹣a)，使得 ϕ(x0)=0， 则当 0＜x＜x0 时，ϕ(x)＜ϕ(x0)=0，即 g'(x)＜0. ∴函数 g(x)在区间(0，x0)上单调递减， ∴g(x0)＜g(0)=0，即(*)式不恒成立. 综上所述，实数 a 的取值范围是[﹣2，+∞).