辽宁省沈阳铁路实验中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

辽宁省沈阳铁路实验中学2020届高三上学期10月月考数学（文）试题

沈阳铁路实验中学2019-2020学年度上学期10月月考试题高三数学 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、 选择题: 本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=‎ A. (-∞，1) B. (-2，1)‎ C. (-3，-1) D. (3，+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合A，再求出交集．‎ ‎【详解】由题意得，，则．故选A．‎ ‎【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．‎ ‎2.在复平面内，复数对应的点位于（ ）.‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】，‎ 复数对应的点的坐标为，位于第一象限．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3.设函数，则（ ）.‎ A. -1 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合函数的解析式求解函数值即可.‎ ‎【详解】函数，‎ ‎，‎ 故．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎4.设命题..则（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由全称命题的否定为特称命题，即可直接写出结果.‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以，命题.的否定为：，.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改写量词和结论即可，属于基础题型.‎ ‎5.在等比数列中，，，则　　‎ A. 4 B. 5 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得，可解得的值，代入通项公式计算可得答案．‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，‎ 因为，，‎ 所以，，可得，都符合题意，‎ 所以，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质与通项公式的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．‎ ‎6.已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对等式两边平方，借助二倍角公式可求出的值，再利用诱导公式可求出的值。‎ ‎【详解】对等式两边平方，得，‎ 即，，因此，，故选：B。‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式以及诱导公式，遇到，一般利用平方关系求解：‎ ‎①；‎ ‎②。‎ ‎7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（　 　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图可确定几何体为一个底面半径为的半圆柱中间挖去一个底面半径为的半圆柱；依次计算出上下底面面积、大圆柱和小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加和得到结果.‎ ‎【详解】由三视图可知，几何体为一个底面半径为的半圆柱中间挖去一个底面半径为的半圆柱 几何体表面积：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够通过三视图确定几何体，从而明确表面积的具体构成情况.‎ ‎8.已知数列{}为等差数列，其前n项和为，2a7－a8＝5，则S11为 A. 110 B. 55‎ C. 50 D. 不能确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵数列{}为等差数列，2a7－a8＝5，∴,‎ 可得a6=5，∴S11===55．‎ 故选：B．‎ ‎9.某英语初学者在拼写单词“”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“”、“”、“”三个字母组成并且“”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意列举出满足题意的字母组合，即可求出结果.‎ ‎【详解】满足题意字母组合有四种，分别是，，，，拼写正确的组合只有一种，所以概率为. ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.‎ ‎10.在中，角的对边分别为，且，若的外接圆的半径为2，则的面积的最大值为（　　）‎ A. B. 2 C. 4 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据正弦定理带入，即可计算出角，由外接圆半径即可得出边长于对应角正弦值的关系。知道一个角求面积则根据,再结合基本不等式即可求出的面积的最大值。‎ 详解】‎ 由正弦定理得，‎ 又在中有 又三角形的内角和为，‎ 又 当时，取到最大值1‎ ‎【点睛】本题主要考查了解三角形的问题，关于解三角形常考查的知识点有:‎ 正弦定理、余弦定理、三角形内角和、两角的和与差等。题目中出现求最值时，大多时候转化成同一个三角函数结合图形求最值。本题属于难度较大的题。‎ ‎11.函数的图象大致为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数解析式，判断函数奇偶性，排除A,B；再由特殊值验证，排除D，进而可得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，因此为偶函数，所以排除选项A,B，‎ 又，所以排除D.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查函数图像的识别，一般先考虑函数奇偶性，再特殊值验证，属于常考题型.‎ ‎12.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明恒成立，得函数在上递减，即当时，恒成立，问题转化为恒成立，即可求出a范围．‎ ‎【详解】设则，当时，‎ 所以在上递增，得 所以当时，恒成立.‎ 若不等式在上恒成立，得函数在上递减，‎ 即当时，恒成立，所以 即，可得恒成立，因为,所以，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了构造新函数，也考查了导数的应用以及由单调性求参数的问题，属于中档题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上.‎ ‎13.已知向量，，且与垂直，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．‎ ‎【详解】；‎ ‎；‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．‎ ‎14.已知等差数列的前n项和为，若，，，则________‎ ‎【答案】1010‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得数列的公差，然后结合通项公式确定m的值即可.‎ ‎【详解】根据题意，设等差数列公差为d，‎ 则，‎ 又由，，则，，‎ 则，解可得；‎ 故答案为：1010．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于中等题．‎ ‎15.已知函数，求函数图象在点处的切线方程______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义可求得在处的切线斜率，利用点斜式可求得切线方程.‎ ‎【详解】由题意得： ‎ 在点处的切线方程为：，即：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程的问题，属于基础题.‎ ‎16.设函数，则下列结论正确的是______写出所有正确命题的序号 函数的递减区间为；‎ 函数的图象可由的图象向左平移得到；‎ 函数的图象的一条对称轴方程为；‎ 若，则的取值范围是．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦函数的单调性判断；利用正弦函数图象的平移变换判断；利用正弦函数的对称性判断；利用正弦函数的图象判断．‎ ‎【详解】令，解得，所以函数的递减区间为，故正确；‎ 由于，所以函数的图象是由的图象向右平移得到的，故错误；‎ 令，解得，所以函数的图象的对称轴方程为，故错误；‎ 由于，所以，当时，，当时，，故正确，故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性、对称性、最值以及三角函数图象的变化规律，属于中档题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，‎ 求得增区间.‎ 三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、解答过程书写在答题纸的对应位置.‎ ‎17.已知，且.将表示为的函数，若记此函数为，‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）将的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的最大值与最小值.‎ ‎【答案】（1）单调递增区间为（2）最大值为3，最小值为0.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据向量的垂直关系求出 的解析式，结合三角函数的性质求出函数的递增区间即可； （2）求出 的解析式，根据自变量的范围，以及三角函数的性质求出函数的最大值和最小值即可．‎ 试题解析：（1）由得，‎ 所以. ‎ 由得， ‎ 即函数的单调递增区间为 ‎ ‎（2）由题意知 ‎ 因为， ‎ 故当时， 有最大值为3； ‎ 当时， 有最小值为0. ‎ 故函数在上的最大值为3，最小值为0.‎ ‎18.随机抽取了40辆汽车在经过路段上某点时的车速（km/h），现将其分成六段：，，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）现有某汽车途经该点，则其速度低于80km/h的概率约是多少？‎ ‎（Ⅱ）根据直方图可知，抽取的40辆汽车经过该点的平均速度约是多少？‎ ‎（Ⅲ）在抽取的40辆且速度在（km/h）内的汽车中任取2辆，求这2辆车车速都在（km/h）内的概率.‎ ‎【答案】（I）；（II）（km/h）；（III）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）表示80左边小矩形的和；（Ⅱ）根据频率分布直方图计算平均车速就是每个小矩形的中点值乘以本组的频率（本组小矩形的面积）和；（Ⅲ）分别计算车速在和的车辆，然后再分别编号，列举所有抽取2辆车的基本事件，再计算两辆车都落在区间的基本事件的个数，相除就是概率.‎ 试题解析：（Ⅰ）速度低于80km/h的概率约为：.‎ ‎（Ⅱ）这40辆小型车辆的平均车速为：‎ ‎ （km/h），‎ ‎（Ⅲ）车速在内的有2辆，记为车速在内的有4辆，记为，从中抽2辆，抽法为共15种，‎ 其中车速都在内的有6种，故所求概率.‎ ‎19.为数列{}的前项和.已知＞0，=.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设,求数列{}的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）求出bn，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3‎ 两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，‎ 即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），‎ ‎∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，‎ ‎∵a12+2a1＝4a1+3，‎ ‎∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，‎ 则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，‎ ‎∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：‎ ‎（Ⅱ）∵an＝2n+1，‎ ‎∴bn（），‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．‎ ‎20.在锐角中，，.‎ ‎（1）若的面积等于，求、；‎ ‎（2）求的周长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积，余弦定理转化求解即可；‎ ‎（2）利用正弦定理表示三角形的周长，利用三角函数的有界性求解即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由及正弦定理得：，‎ 又，.又为锐角，故，‎ 又，‎ 由 得，‎ 所以由解得.‎ ‎（2）由正弦定理得，，记周长为，则 ‎，‎ 又，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 为锐角三角形，‎ ‎.‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎21.已知．‎ ‎（1）求函数在定义域上的最小值；‎ ‎（2）求函数在上的最小值；‎ ‎（3）证明：对一切，都成立.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出导数，极值点和单调区间，可得极小值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）讨论时，时，运用单调性，即可得到所求最小值；‎ ‎（Ⅲ）问题等价于证明．由（1）设，求出导数，求出最大值即可．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由得，‎ 令，得 ．‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增．‎ 可得最小值为 ‎（Ⅱ）当，即时， ‎ 当，即时，在上单调递增，‎ 此时 所以 ‎ ‎（Ⅲ）问题等价于证明．‎ 由（1）知的最小值是，‎ 当且仅当时取到，设，‎ 则，易知，当且仅当时取到．‎ 从而对一切，都有成立．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，注意运用分类讨论的方法和构造函数的方法，考查运算能力，属于中档题．‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 做答时请将相应题号涂黑.‎ 选修44：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，圆的参数方程（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为、‎ ‎，与直线的交点为，求线段的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）把cos2φ+sin2φ=1代入圆C的参数方程为 （φ为参数），消去参数化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程．（II）设P（ρ1，θ1），联立，解得ρ1，θ1；设Q（ρ2，θ2），联立，解得ρ2，θ2，可得|PQ|．‎ 解析：‎ ‎（1）圆的普通方程为，又，‎ 所以圆的极坐标方程为 ‎（2）设，则由解得，‎ 设，则由解得，‎ 所以 选修45：不等式选讲 ‎23.已知函数， ‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据绝对值内的零点去掉绝对值，将函数写成分段形式，分段解不等式即可；（2）根据题意将问题转化为2≤f（x）min，由绝对值三角不等式得到函数最值，求得参数范围即可。‎ 解析：‎ ‎（1）当a=3时，f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，‎ 即有f（x）=‎ 不等式f（x）≤4即为 或 或.‎ 即有0≤x＜1或3≤x≤4或1≤x＜3，则为0≤x≤4，‎ 则解集为[0，4]；‎ ‎（2）依题意知，f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立，‎ ‎∴2≤f（x）min；‎ 由绝对值三角不等式得：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|（x﹣a）+（1﹣x）|=|1﹣a|，‎ 即f（x）min=|1﹣a|，‎ ‎∴|1﹣a|≥2，即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2，‎ 解得a≥3或a≤﹣1．‎ ‎∴实数a的取值范围是[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．‎