数学卷·2017届贵州省贵阳一中高三下学期第六次适应性数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2017届贵州省贵阳一中高三下学期第六次适应性数学试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年贵州省贵阳一中高三（下）第六次适应性数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．等于（　　）‎ A．4i B．﹣4i C．2i D．﹣2i ‎2．已知集合，B={1，2，3}，则A∩B=（　　）‎ A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}‎ ‎3．若向量，，，满足条件，则x等于（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎4．已知圆x2+y2+2x﹣6y+5=0，将直线y=2x+λ向上平移2个单位与之相切，则实数λ的值为（　　）‎ A．﹣7或3 B．﹣2或8 C．﹣4或4 D．0或6‎ ‎5．如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有（　　）‎ A．360种 B．320种 C．108种 D．96种 ‎6．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知函数y=sin（2x+φ）+1的图象关于直线对称，则φ的可能取值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．读程序：‎ 则运行程序后输出结果判断正确的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知，则tan2α=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数f（x）=x2+mx+n，其中1≤m≤3，0≤n≤4，记函数f（x）满足条件的事件为A，则事件A发生的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F2垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点，若|OA|+|OB|=2|AB|，且F2在线段AB上，则双曲线的渐近线斜率为（　　）‎ A． B．±2 C． D．‎ ‎12．设函数f（x）为定义域为R的奇函数，且f（x）=f（2﹣x），当x∈时，f（x）=sinx，则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间上的所有零点的和为（　　）‎ A．6 B．7 C．13 D．14‎ ‎　‎ 二、填空题△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，c=4，则a=　　．‎ ‎14．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列五个命题：‎ ‎①如果m⊥α，n∥β，α∥β，那么m⊥n；‎ ‎②如果m∥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；‎ ‎③如果m⊥α，n⊥β，m⊥n，那么α⊥β；‎ ‎④如果m⊥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；‎ ‎⑤如果m∥α，m∥β，α∩β=n，那么m∥n．‎ 其中正确的命题有　　．（填写所有正确命题的编号）‎ ‎15．小明和爸爸妈妈一家三口在春节期间玩抢红包游戏，爸爸发了12个红包，红包金额依次为1元、2元、3元、…、12元，每次发一个，三人同时抢，最后每人抢到了4个红包，爸爸说：我抢到了1元和3元；妈妈说：我抢到了8元和9元；小明说：我们三人各抢到的金额之和相等，据此可判断小明必定抢到的两个红包金额分别是　　．‎ ‎16．若直线y=kx+b是曲线y=ex+2的切线，也是曲线y=ex+1的切线，则b=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）已知数列{an}，a1=1，满足．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足b1+2b2+…+nbn=an，对一切n∈N*都成立，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎18．（12分）某高校数学系2016年高等代数试题有6个题库，其中3个是新题库（即没有用过的题库），3个是旧题库（即至少用过一次的题库），每次期末考试任意选择2个题库里的试题考试．‎ ‎（1）设2016年期末考试时选到的新题库个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；‎ ‎（2）已知2016年时用过的题库都当作旧题库，求2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率．‎ ‎19．（12分）如图，等腰△ABC中，AB=BC=5，AC=6，点E，F分别在AB，BC上，AE=CF=，O为AC边上的中点，EF交BO于点H，将△BEF沿EF折到△B′EF的位置，OB′=．‎ ‎（1）证明：B′H⊥平面ABC；‎ ‎（2）求二面角B﹣B′A﹣C的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆C：的一个顶点的坐标为（0，﹣1），且右焦点F到直线x﹣y+1=0的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（12分）已知函数，其中a，b∈R．‎ ‎（1）当b=1时，g（x）=f（x）﹣x在处取得极值，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若a=0时，函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，‎ ‎①求b的取值范围；‎ ‎②求证：．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．（10分）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的圆心在射线上，且与直线相切于点．‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）若，直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A，B两点，求弦长|AB|的取值范围．‎ ‎　‎ ‎23．若不等式|b+2|﹣|b﹣2|≤a≤|b+2|+|2﹣b|对于任意b∈R都成立．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）设x＞y＞0，求证：．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年贵州省贵阳一中高三（下）第六次适应性数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．等于（　　）‎ A．4i B．﹣4i C．2i D．﹣2i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由平方公式展开，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解： =，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合，B={1，2，3}，则A∩B=（　　）‎ A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】化简集合A、根据交集的定义写出A∩B．‎ ‎【解答】解：集合 ‎={x|﹣1＜x≤2，x∈Z}‎ ‎={0，1，2}，‎ B={1，2，3}，‎ 则A∩B={1，2}．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．若向量，，，满足条件，则x等于（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由向量的加减运算可得8﹣，运用向量数量积的坐标表示，解方程即可得到x的值．‎ ‎【解答】解：∵向量，，，‎ ‎∴8﹣=（8，8）﹣（2，5）=（6，3），‎ 又∵，‎ ‎∴（6，3）•（x，4）=6x+12=30，‎ ‎∴x=3，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查向量的加减运算和向量数量积的坐标表示，考查方程思想，以及化简整理的运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．已知圆x2+y2+2x﹣6y+5=0，将直线y=2x+λ向上平移2个单位与之相切，则实数λ的值为（　　）‎ A．﹣7或3 B．﹣2或8 C．﹣4或4 D．0或6‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据直线平移的规律，由直线y=2x+λ向上平移2个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．‎ ‎【解答】解：由题意知：直线2x﹣y+λ=0平移后方程为2x﹣y+λ+2=0．‎ 圆x2+y2+2x﹣6y+5=0的圆心坐标为（﹣1，3），半径为 又直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，即=，得λ=﹣2或8，‎ 故选B．‎ ‎【点评】此题考查学生掌握平移的规律及直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎5．如图，圆被其内接三角形分为4块，现有5种颜色准备用来涂这4块，要求每块涂一种颜色，且相邻两块的颜色不同，则不同的涂色方法有（　　）‎ A．360种 B．320种 C．108种 D．96种 ‎【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ ‎【分析】由题意相邻两块的颜色不同，通过对涂色区域编号，分别选出2种颜色、3种颜色、4种颜色涂色，求出各自的涂色方案种数，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：对涂色区域编号，如图：‎ 分别用2色、就是1一色，2、3、4同色，涂色方法为：C52A22=20；‎ 涂3色时，2、3同色，2、4同色，3、4同色，涂色方法是3C53A33=180；‎ 涂4色时涂色方法是A54=120，‎ 所以涂色方案有：20+180+120=320．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题是中档题，考查排列组合计数原理的应用，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎6．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱和一个三棱柱的组合体．‎ ‎【解答】解：由三视图可知该几何体是一个半圆柱和一个三棱柱的组合体，‎ 故其表面积为，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了圆柱和三棱柱的三视图及其表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数y=sin（2x+φ）+1的图象关于直线对称，则φ的可能取值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦函数的图象．‎ ‎【分析】根据正弦函数求解出对称轴的方程，可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意，，k∈Z，‎ 得，k∈Z，‎ 令k=0，可得x=，满足题意，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，对称轴方程的求法，比较基础．‎ ‎　‎ ‎8．读程序：‎ 则运行程序后输出结果判断正确的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】利用裂项求和，分别求和，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：S=++…+=1﹣+…+﹣=1﹣=，‎ P=+…+=﹣+…+==，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查伪代码，考查数列求和，正确求和是关键．‎ ‎　‎ ‎9．已知，则tan2α=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二倍角的正切．‎ ‎【分析】将已知等式两边平方，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴，化简得4sin2α=3cos2α，‎ ‎∴，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=x2+mx+n，其中1≤m≤3，0≤n≤4，记函数f（x）满足条件的事件为A，则事件A发生的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】根据二次函数解析式，可得事件A对应的不等式为，因此在同一坐标系内作出不等式组1≤m≤4，0≤n≤4和可得对应的平面区域，分别得到矩形ABCD和影音部分的面积，即可得到事件A发生的概率．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2+mx+n，‎ ‎∴不等式，可得 以m为横坐标、n为纵坐标建立直角坐标系，‎ 将不等式1≤m≤3，0≤n≤4和对应的平面区域作出，如图所示 不等式组1≤m≤4，0≤n≤4对应图中的矩形ABCD，‎ 其中A（1，0），B（3，0），C（3，4），D（1，4），E（2，4），F（1，3），G（3，2）‎ 可得S矩形ABCD=2×4=8，S△DEF=×1×1=，S△ECG=×1×2=1，‎ 对应图中的阴影部分的面积为=S矩形ABCD﹣S△DEF﹣S△ECG=8﹣﹣1=‎ ‎∴事件A发生的概率为P（A）==‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题以二次函数与不等式的运算为载体，求事件A发生的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型计算公式等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F2垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点，若|OA|+|OB|=2|AB|，且F2在线段AB上，则双曲线的渐近线斜率为（　　）‎ A． B．±2 C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由已知AB与x轴交于点F2，设∠AOF2=α，则，△AOB中，可得，，即可求出双曲线的渐近线斜率．‎ ‎【解答】解：由已知AB与x轴交于点F2，设∠AOF2=α，‎ 则，△AOB中，可得，‎ 设|OA|=m﹣d、|AB|=m、|OB|=m+d，‎ ‎∵OA⊥BF，∴（m﹣d）2+m2=（m+d）2，‎ 整理，得d=m，△AOB中，∠AOB=2α，tan∠AOB=tan2α==‎ ‎∴=，∴，‎ ‎∴双曲线的渐近线斜率为．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．设函数f（x）为定义域为R的奇函数，且f（x）=f（2﹣x），当x∈时，f（x）=sinx，则函数g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间上的所有零点的和为（　　）‎ A．6 B．7 C．13 D．14‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】确定函数的周期为4，且y=f（x）的图象关于直线x=1对称，g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间上的零点，即方程|cos（πx）|=f（x）的零点，利用图象可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，函数f（﹣x）=﹣f（x），f（x）=f（2﹣x），则﹣f（﹣x）=f（2﹣x），可得f（x+4）=f（x），即函数的周期为4，‎ 且y=f（x）的图象关于直线x=1对称．‎ g（x）=|cos（πx）|﹣f（x）在区间上的零点，即方程|cos（πx）|=f（x）的零点，‎ 画y=|cos（πx）|函数图象，‎ ‎∵两个函数的图象都关于直线x=1对称，‎ ‎∴方程|cos（πx）|=f（x）的零点关于直线x=1对称，‎ 由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查函数的图象与性质，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（2017春•南明区校级月考）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，c=4，则a=　　．‎ ‎【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，sinC的值，进而利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA，进而利用正弦定理可求a的值．‎ ‎【解答】解：∵，，c=4，‎ ‎∴由题意可得：，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列五个命题：‎ ‎①如果m⊥α，n∥β，α∥β，那么m⊥n；‎ ‎②如果m∥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；‎ ‎③如果m⊥α，n⊥β，m⊥n，那么α⊥β；‎ ‎④如果m⊥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；‎ ‎⑤如果m∥α，m∥β，α∩β=n，那么m∥n．‎ 其中正确的命题有　①③⑤　．（填写所有正确命题的编号）‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】在①中，得到m⊥β，从而m⊥n；在②中，α与β平行或相交；在③中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在④中，α与β平行或相交；在⑤中，由线面平行的性质定理得m∥n．‎ ‎【解答】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，知：‎ 在①中，若m⊥α，α∥β，则m⊥β，‎ 又因为n∥β，则m⊥n，故①正确；‎ 在②中，如果m∥α，n∥β，m⊥n，那么α与β平行或相交，故②错误；‎ 在③中，如果m⊥α，n⊥β，m⊥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故③正确；‎ 在④中，如果m⊥α，n∥β，m⊥n，那么α与β平行或相交，故④错误；‎ 在⑤中，如果m∥α，m∥β，α∩β=n，那么由线面平行的性质定理得m∥n，故⑤正确．‎ 故答案为：①③⑤．‎ ‎【点评】本题命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．‎ ‎　‎ ‎15．小明和爸爸妈妈一家三口在春节期间玩抢红包游戏，爸爸发了12个红包，红包金额依次为1元、2元、3元、…、12元，每次发一个，三人同时抢，最后每人抢到了4个红包，爸爸说：我抢到了1元和3元；妈妈说：我抢到了8元和9元；小明说：我们三人各抢到的金额之和相等，据此可判断小明必定抢到的两个红包金额分别是　6元和11元　．‎ ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】确定三人各抢到的金额之和为26，根据爸爸说：我抢到了1元和3元；妈妈说：我抢到了8元和9元；可得爸爸抢到1、3、10、12元，妈妈抢到8、9、2、7元或8、9、4、5元，据此可判断小明必定抢到的金额．‎ ‎【解答】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各抢到的金额之和相等，所以三人各抢到的金额之和为26，根据爸爸说：我抢到了1元和3元；妈妈说：我抢到了8元和9元；可得爸爸抢到1、3、10、12元，妈妈抢到8、9、2、7元或8、9、4、5元，据此可判断小明必定抢到的金额为6元和11元．‎ 故答案为6元和11元．‎ ‎【点评】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．若直线y=kx+b是曲线y=ex+2的切线，也是曲线y=ex+1的切线，则b=　4﹣2ln2　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为和，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到b的值．‎ ‎【解答】解：设直线y=kx+b与y=ex+2和y=ex+1的切点分别为和，‎ 则切线分别为，，‎ 化简得：，，‎ 依题意有：，‎ 所以．‎ 故答案为：4﹣2ln2．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求得导数和设出切点是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）（2017春•南明区校级月考）已知数列{an}，a1=1，满足．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足b1+2b2+…+nbn=an，对一切n∈N*都成立，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）将已知等式两边同除以2n+1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；‎ ‎（2）运用数列的递推式，n=1时，求得b1，n≥2时，n换为n﹣1，相减可得所求，注意检验n=1的情况．‎ ‎【解答】（1）证明：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列构成以为首项，为公差的等差数列，‎ 即．‎ ‎（2）解：b1+2b2+…+nbn=an，即，‎ n=1时，由b1+2b2+3b3+…+nbn=an，得b1=a1=1．‎ n≥2时，由b1+2b2+3b3+…+nbn=an，①b1+2b2+3b3+…+（n﹣1）bn﹣1=an﹣1，②‎ ‎①﹣②得：，‎ ‎，‎ 检验n=1时满足上式．‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列递推式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017春•南明区校级月考）某高校数学系2016年高等代数试题有6个题库，其中3个是新题库（即没有用过的题库），3个是旧题库（即至少用过一次的题库），每次期末考试任意选择2个题库里的试题考试．‎ ‎（1）设2016年期末考试时选到的新题库个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；‎ ‎（2）已知2016年时用过的题库都当作旧题库，求2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；互斥事件的概率加法公式．‎ ‎【分析】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．‎ ‎（2）设“从6个题库中任意取出2个题库，恰好取到一个新题库”为事件B，则“2017年时恰好取到一个新题库”就是事件A0B，由此能求出2017年期末考试时恰好到1个新题库的概率．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，‎ 设“2016年期末考试时取到i个新题库（即ξ=i）”为事件Ai（i=0，1，2）．‎ 又因为6个题库中，其中3个是新题库，3个是旧题库，‎ 所以；；，‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ξ的数学期望为．‎ ‎（2）设“从6个题库中任意取出2个题库，恰好取到一个新题库”为事件B，‎ 则“2017年时恰好取到一个新题库”就是事件A0B+A1B+A2B，而事件A0B，A1B，A2B互斥，‎ 所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）‎ ‎=．‎ 所以2017年时恰好取到一个新题库的概率为．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017春•南明区校级月考）如图，等腰△ABC中，AB=BC=5，AC=6，点E，F分别在AB，BC上，AE=CF=，O为AC边上的中点，EF交BO于点H，将△BEF沿EF折到△B′EF的位置，OB′=．‎ ‎（1）证明：B′H⊥平面ABC；‎ ‎（2）求二面角B﹣B′A﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）证明EF⊥B′H，B′H⊥OH，即可得到B′H⊥平面ABC．‎ ‎（2）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出法向量，利用向量法求解．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，‎ 且AB=BC，又，∴，则EF∥AC．‎ 又由AB=BC，得AC⊥BO，则EF⊥BO，‎ ‎∴EF⊥BH，故H为EF中点，则EF⊥B′H，‎ ‎∵AC=6，∴AO=3，‎ 又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，‎ ‎∴，则BH=B′H=3，‎ ‎∴|OB'|2=|OH|2+|B'H|2，则B′H⊥OH，‎ 又OH∩EF=H，∴B′H⊥平面ABC．‎ ‎（2）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，‎ ‎∵AB=5，AC=6，‎ ‎∴B（﹣3，0，0），C（1，3，0），B'（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，．‎ 设平面ABB′的一个法向量为，‎ 由得 取x=3，得y=4，z=﹣3．‎ ‎∴．‎ 同理可求得平面AB′C的一个法向量．‎ 设二面角B﹣B'A﹣C的平面角为θ，则．‎ ‎∴二面角B﹣B'A﹣C的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求解二面角，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017春•南明区校级月考）已知椭圆C：的一个顶点的坐标为（0，﹣1），且右焦点F到直线x﹣y+1=0的距离为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由b=1，利用点到直线的距离公式，求得a和c的值，求得椭圆方程；‎ ‎（2）假设存在直线l的方程，代入椭圆方程，由△＞0，求得t取值范围，利用韦达定理，中点坐标公式，求得D点坐标，由四边形PMQN为平行四边形，则D为线段PQ的中点，求得Q的纵坐标，根据t的取值范围即可判断Q不在椭圆上，故直线l的方程不存在．‎ ‎【解答】解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，则b=1，F（c，0），‎ ‎∴，，‎ 故椭圆C的标准方程为．‎ ‎（2）设直线l的方程为y=2x+t，‎ 设，MN的中点为D（x0，y0），‎ 由消去x，得9y2﹣2ty+t2﹣8=0，‎ 则，且△=4t2﹣36（t2﹣8）＞0，解得：﹣3＜t＜3，‎ 故，‎ 由，知四边形PMQN为平行四边形，‎ 而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，‎ ‎∴，‎ 可得，‎ 又﹣3＜t＜3，可得，‎ 因此点Q不在椭圆上，‎ 故不存在满足题意的直线l．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及判别式的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017春•南明区校级月考）已知函数，其中a，b∈R．‎ ‎（1）当b=1时，g（x）=f（x）﹣x在处取得极值，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若a=0时，函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，‎ ‎①求b的取值范围；‎ ‎②求证：．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）由求导，由题意可知：g′（）=0，即可求得a的值，根据函数与单调性的关系，即可求得函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）①f（x）=lnx+bx（x＞0），求导，分类，由导数与函数极值的关系，则f（x）极大值为，解得．且x→0时，f（x）＜0，x→+∞时，f（x）＜0．则当时，f（x）有两个零点；‎ ‎②由题意可知：lnx1+bx1=0，lnx2+bx2=0，要证，即证lnx1+lnx2＞2，则．则，构造辅助函数，求导，根根据函数的单调性，则h（t）＞h（1）=0，则，即可证明 ‎．，‎ ‎【解答】解：（1）由已知得，由g（x）=f（x）﹣x在处取得极值，则，‎ ‎∴a=﹣2．‎ 则f（x）=﹣x2+lnx+x（x＞0）．‎ 则，‎ 由f'（x）＞0得0＜x＜1，由f'（x）＜0得x＞1．‎ ‎∴f（x）的减区间为（1，+∞），增区间为（0，1）．‎ ‎（2）①由已知f（x）=lnx+bx（x＞0）．‎ ‎∴，‎ 当b≥0时，显然f'（x）＞0恒成立，此时函数f（x）在定义域内递增，‎ f（x）至多有一个零点，不合题意．‎ 当b＜0时，令f'（x）=0得，‎ 令f'（x）＞0得；‎ 令f'（x）＜0得．‎ ‎∴f（x）极大值为，解得．‎ 且x→0时，f（x）＜0，x→+∞时，f（x）＜0．‎ ‎∴当时，f（x）有两个零点．‎ ‎②证明：∵x1，x2为函数f（x）的两个零点，不妨设0＜x1＜x2．‎ 所以lnx1+bx1=0，lnx2+bx2=0，‎ 两式相减得，两式相加得 ‎．‎ 要证，即证lnx1+lnx2＞2，‎ 即证，即证．‎ 令，即证．‎ 令，则，‎ 所以h（t）＞h（1）=0，即，‎ 所以，所以．‎ ‎【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性与极值的关系，考查函数零点的判断，采用分析法证明不等式成立，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．（10分）（2017春•南明区校级月考）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的圆心在射线上，且与直线相切于点．‎ ‎（1）求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）若，直线l的参数方程为 ‎（t为参数），直线l交圆C于A，B两点，求弦长|AB|的取值范围．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）求出圆C的直角坐标方程，即可求圆C的极坐标方程；‎ ‎（2）将（t为参数）代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，利用韦达定理、参数的意义，即可求弦长|AB|的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵点的直角坐标为（1，﹣1），射线的方程为y=x（x＞0），‎ 所以圆心坐标为（1，1），半径r=2，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．‎ 化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣2=0．‎ ‎（2）将（t为参数）代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．‎ 得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=4，‎ 即t2+2t（cosα+sinα）﹣2=0．‎ ‎∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣2．‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴．‎ 即弦长|AB|的取值范围是．‎ ‎【点评】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎23．（2017春•南明区校级月考）若不等式|b+2|﹣|b﹣2|≤a≤|b+2|+|2﹣b|对于任意b∈R都成立．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）设x＞y＞0，求证：．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）由|b+2|﹣|2﹣b|≤|b+2+2﹣b|=4，当且仅当b≥2时等号成立，4=|b+2+2﹣b|≤|b+2|+|2﹣b|，当且仅当﹣2≤b≤2时等号成立，即可求a的值；‎ ‎（2）作差，利用基本不等式，即可证明结论．‎ ‎【解答】（1）解：|b+2|﹣|2﹣b|≤|b+2+2﹣b|=4，当且仅当b≥2时等号成立，4=|b+2+2﹣b|≤|b+2|+|2﹣b|，‎ 当且仅当﹣2≤b≤2时等号成立，‎ ‎∵对任意实数b，不等式|b+2|﹣|b﹣2|≤a≤|b+2|+|2﹣b|都成立．‎ ‎∴a=4．‎ ‎（2）证明：，‎ ‎∵x＞y＞0，∴，当且仅当x=y+1时等号成立，‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用，正确变形是关键．‎