甘肃省天水市第一中学2019届高三下学期最后一模考前练数学（理）试题

甘肃省天水市第一中学2019届高三下学期最后一模考前练数学（理）试题

天水市一中2019届高三考前练 数学试题（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合M＝{y｜y＝，x＞0}，N＝{x｜y＝lg（2x－）}，则M∩N为（ ）‎ A. （1，＋∞） B. （1，2） C. [2，＋∞） D. [1，＋∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎2.i是虚数单位，若，则乘积的值是( )‎ A. －15 B. －‎3 ‎C. 3 D. 15‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，∴，选B．‎ ‎3.已知向量，且，则m=( )‎ A. −8 B. −6‎ C. 6 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．‎ ‎【详解】∵，又，‎ ‎∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．‎ ‎4.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ）‎ A. 多1斤 B. 少1斤 C. 多斤 D. 少斤 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列 则 由等差数列的性质得 ，‎ 故选C ‎5.设，均为非零的平面向量，则“存在负数，使得”是“”的 A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论．‎ ‎【详解】因为，均为非零的平面向量，存在负数，使得，‎ 所以向量，共线且方向相反，‎ 所以，即充分性成立；‎ 反之，当向量，的夹角为钝角时，满足，但此时，不共线且反向，所以必要性不成立．‎ 所以“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p，定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确．‎ ‎6.一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.‎ ‎【详解】‎ 根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且，，‎ 平面，且，‎ ‎∴，，，‎ ‎，‎ ‎∴这个四棱锥中最长棱的长度是．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．‎ ‎7.当输入的实数时，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于103的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据循环结构的运行，直至不满足条件退出循环体，求出的范围，利用几何概型概率公式，即可求出结论.‎ ‎【详解】程序框图共运行3次，输出的的范围是，‎ 所以输出的不小于103的概率为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.‎ ‎8.已知定义在上的奇函数满足：（其中），且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系（用不等号连接）为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为，所以，即周期为４，因为为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图在（０，１）单调递增，因为，因此，选Ａ．‎ 点睛：函数对称性代数表示 ‎（1）函数为奇函数 ，函数为偶函数（定义域关于原点对称）；‎ ‎（2）函数关于点对称，函数关于直线对称，‎ ‎（3）函数周期为T,则 ‎9.数列满足：，则数列前项的和为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知，进而可知，利用裂项相消法求和即可．‎ 详解：∵，∴，‎ 又∵=5，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列前项的和为，‎ 故选A．‎ 点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎10.已知函数（其中，，）的图象关于点成中心对称，且与点相邻的一个最低点为，则对于下列判断：‎ ‎①直线是函数图象的一条对称轴；‎ ‎②点是函数的一个对称中心；‎ ‎③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.‎ 其中正确的判断是（ ）‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T，再代入最低点可求得解析式为，依次判断各选项的正确与否．‎ 详解：因为为对称中心，且最低点为，‎ 所以A=3，且 ‎ 由 ‎ 所以，将带入得 ‎ ，‎ 所以 由此可得①错误，②正确，③当时，，所以与 有6个交点，设各个交点坐标依次为 ，则，所以③正确 所以选C 点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题．‎ ‎11.设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.‎ ‎【详解】取的中点，则由得，‎ 即；‎ 在中，为的中位线，‎ 所以，‎ 所以；‎ 由双曲线定义知，且，所以，‎ 解得，‎ 故选：D ‎【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.‎ ‎12.已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.‎ ‎【详解】∵ ，.‎ 当时，，在上单调递增，不合题意.‎ 当时，，在上单调递减，也不合题意.‎ 当时，则时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又，所以在上有两个零点，只需即可，解得.‎ 综上，的取值范围是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知二项式的展开式中的常数项为，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值．‎ ‎【详解】二项式的展开式中的通项公式为，‎ 令，求得，可得常数项为，，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎14.若实数满足不等式组则目标函数的最大值为__________．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．‎ ‎【详解】根据约束条件画出可行域，如下图，由，解得 目标函数，当过点时，有最大值，且最大值为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．‎ ‎15.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，内切球半径为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出，内切球在侧面内的正视图是的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出．‎ ‎【详解】四棱锥为阳马，侧棱底面，‎ 且，，设该阳马的外接球半径为，‎ 该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，‎ ‎，‎ ‎，‎ 侧棱底面，且底面为正方形，‎ 内切球在侧面内的正视图是的内切圆，‎ 内切球半径为，‎ 故．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2‎ ‎）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上.‎ ‎16.在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面，所在平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积的最大值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与相似，，过作于，利用体积公式求解OP最值，根据勾股定理得出，，利用函数单调性判断求解即可.‎ ‎【详解】∵在棱长为6的正方体中，‎ 是的中点，点是面所在平面内的动点，‎ 且满足，又，‎ ‎∴与相似 ‎∴，即，‎ 过作于，设，，‎ ‎∴，化简得：‎ ‎，，‎ 根据函数单调性判断，时，取得最大值36，，‎ 在正方体中平面.‎ 三棱锥体积的最大值为 ‎【点睛】本题考查三角形相似，几何体体积以及函数单调性的综合应用，难度一般.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.已知在中，角的对边分别为,且. ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求的值，所以可以考虑到根据余弦定理将分别用边表示，再根据正弦定理可以将转化为，于是可以求出的值；（2）首先根据求出角的值，根据第（1）问得到的值，可以运用正弦定理求出外接圆半径，于是可以将转化为，又因为角的值已经得到，所以将转化为关于的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角的值后，应用余弦定理及重要不等式，求出的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件. ‎ 试题解析：（1）由，‎ 应用余弦定理，可得 ‎ ‎ 化简得则 ‎ ‎（2） ‎ 即 ‎ ‎ 所以 ‎ 法一. ‎ 则 ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ = ‎ 又 ‎ 法二 因为 由余弦定理 得，‎ 又因为，当且仅当时“”成立.‎ 所以 ‎ 又由三边关系定理可知 综上 ‎18.在中，，.已知分别是的中点.将沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，连接，如图：‎ ‎（1）证明：平面平面 ‎（2）求平面与平面所成二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）45°‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）设的中点为，连接，设的中点为，连接，，从而即为二面角的平面角，，推导出，从而平面，则，即，进而平面，推导四边形为平行四边形，从而，平面，由此即可得证.‎ ‎（2）以B为原点，在平面中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面所成二面角的大小.‎ ‎【详解】（1）∵是的中点，∴.‎ 设的中点为，连接.‎ 设的中点为，连接，.‎ 易证：，，‎ ‎∴即为二面角的平面角.‎ ‎∴，而为的中点.‎ 易知，∴为等边三角形，∴.①‎ ‎∵，，，∴平面.‎ 而，∴平面，∴，即.②‎ 由①②，，∴平面.‎ ‎∵分别为的中点.‎ ‎∴四边形为平行四边形.‎ ‎∴，平面，又平面.‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）如图，建立空间直角坐标系，设.‎ 则，，，，‎ 显然平面的法向量，‎ 设平面的法向量为，，，‎ ‎∴，∴.‎ ‎，‎ 由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角.‎ ‎∴平面与平面所成的二面角大小为45°.‎ ‎【点睛】本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行求解.‎ ‎19.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．‎ 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ 女 ‎50‎ 合计 ‎（1）求图中的值；‎ ‎（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？‎ ‎（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.780‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎【答案】(1) ；(2)列联表见解析，有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，=3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率和为1，列出方程求的值；‎ ‎（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，‎ 填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；‎ ‎（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，‎ 知随机变量服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.‎ ‎【详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，‎ 可知，‎ 解得；‎ ‎（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，‎ 所以晋级成功的人数为（人），‎ 填表如下：‎ 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ ‎34‎ ‎50‎ 女 ‎9‎ ‎41‎ ‎50‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 假设“晋级成功”与性别无关，‎ 根据上表数据代入公式可得，‎ 所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；‎ ‎（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，‎ 将频率视为概率，‎ 则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，‎ 所以可视服从二项分布，即，‎ ‎，‎ 故，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 数学期望为.或（）．‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量，则.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点).‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线,为椭圆的右顶点. 若直线交于点，直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）定值为0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线方程求焦点坐标，即得c，再根据离心率得，（2）先设直线方程以及各点坐标，化简，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得结果.‎ ‎【详解】（1）因为直线过椭圆的右焦点,所以，‎ 因为离心率为，所以，‎ ‎（2），设直线，‎ 则 因此 由得，‎ 所以，‎ 因此 即 ‎【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对a分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对a分三种情况，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.‎ ‎【详解】（1），‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，，，，‎ ‎∴上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，，，，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增.‎ 综上：当时，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）由（1）可知：‎ 当时，，∴成立.‎ 当时，，‎ ‎，∴.‎ 当时，‎ ‎，‎ ‎，∴，即.‎ 综上.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin（θ+）.‎ ‎（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON面积.‎ ‎【答案】(1) 直线l的普通方程为x＋y－4＝0. 曲线C的直角坐标方程是圆：(x－)2＋(y－1)2＝4. (2)4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线l参数方程中的消去，即可得直线l的普通方程，对曲线C的极坐标方程两边同时乘以，利用可得曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）求出点到直线的距离，再求出的弦长，从而得出△MON的面积．‎ ‎【详解】解：(1)由题意有，‎ 得，‎ x＋y＝4，‎ 直线l的普通方程为x＋y－4＝0.‎ 因为ρ＝4sin 所以ρ＝2sinθ＋2cosθ，‎ 两边同时乘以得，‎ ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，‎ 因为，‎ 所以x2＋y2＝2y＋2x，即(x－)2＋(y－1)2＝4，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程是圆：(x－)2＋(y－1)2＝4. ‎ ‎(2)∵原点O到直线l的距离 ‎ 直线l过圆C的圆心(，1)，‎ ‎∴|MN|＝2r＝4，‎ 所以△MON的面积S＝ |MN|×d＝4.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化知识，解题的关键是正确使用这一转化公式，还考查了直线与圆的位置关系等知识.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）设，求不等式的解集；‎ ‎（2）已知，且的最小值等于，求实数的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把f（x）去绝对值写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得解集，综合可得结论．‎ ‎（2）把f（x）去绝对值写成分段函数，画出f（x）的图像，找出利用条件求得a的值．‎ ‎【详解】（1）时，.‎ 当时，即为，解得.‎ 当时， ，解得.‎ 当时， ，解得.‎ 综上，的解集为.‎ ‎（2）.，‎ 由的图象知，‎ ‎，.‎ ‎【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法及含绝对值的函数的最值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题