2018届二轮复习数列的求和问题课件

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第 2 讲　数列的求和问题 专题四 　 数列、推理与证明 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　分组转化求和 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并 . 例 1 　 (2017· 山东省平阴县第一中学模拟 ) 已知数列 { a n } 是等差数列，其前 n 项和为 S n ，数列 { b n } 是公比大于 0 的等比数列，且 b 1 ＝－ 2 a 1 ＝ 2 ， a 3 ＋ b 2 ＝－ 1 ， S 3 ＋ 2 b 3 ＝ 7. (1) 求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式； 解答 解　 设数列 { a n } 的公差为 d ， { b n } 的公比为 q ，且 q >0 ， 由题易知， a 1 ＝－ 1 ， b 1 ＝ 2 ， ∴ a n ＝－ 2 n ＋ 1 ， b n ＝ 2 n . 解答 思维升华 解　 由 (1) 知， a n ＝－ 2 n ＋ 1 ， b n ＝ 2 n ， ∴ T n ＝ ( c 1 ＋ c 3 ＋ c 5 ＋ … ＋ c n － 1 ) ＋ ( c 2 ＋ c 4 ＋ … ＋ c n ) ＝ n ＋ ( c 2 ＋ c 4 ＋ … ＋ c n ) ， 令 H n ＝ c 2 ＋ c 4 ＋ c 6 ＋ … ＋ c n ， 以上两式相减，得 当 n ( n ≥ 3) 为奇数时， n － 1 为偶数， 经验证， n ＝ 1 也适合上式 . 思维升华　 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想 . 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解 . 在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式 . 证明 得 na n ＋ 1 ＝ 2( n ＋ 1) a n ＋ n ( n ＋ 1) ， 由 a 1 >0 及递推关系，可知 a n >0 ， (2) 求数列 { a n } 的前 n 项和 S n . 解答 ∴ a n ＝ n ·2 n － n ， S n ＝ 2 ＋ 2 × 2 2 ＋ 3 × 2 3 ＋ … ＋ ( n － 1)2 n － 1 ＋ n × 2 n － [ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ ( n － 1) ＋ n ] ， 设 T n ＝ 2 ＋ 2 × 2 2 ＋ 3 × 2 3 ＋ … ＋ ( n － 1)2 n － 1 ＋ n × 2 n ， ① 则 2 T n ＝ 2 2 ＋ 2 × 2 3 ＋ 3 × 2 4 ＋ … ＋ ( n － 1)2 n ＋ n × 2 n ＋ 1 ， ② 由 ① － ② ，得 － T n ＝ 2 ＋ 2 2 ＋ 2 3 ＋ … ＋ 2 n － n ·2 n ＋ 1 ∴ T n ＝ ( n － 1)2 n ＋ 1 ＋ 2 ， 热点二　错位相减法求和 错位相减法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 { a n · b n } 的前 n 项和，其中 { a n } ， { b n } 分别是等差数列和等比数列 . (1) 求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式； 解答 解　 因为数列 { a n } 为等差数列， 又因为 a 3 ＝ 5 ，所以 a 1 ＝ 1 ，所以 a n ＝ 2 n － 1. 所以 b n ＝－ 2 b n － 1 ， 即数列 { b n } 是首项为 1 ，公比为－ 2 的等比数列， 所以 b n ＝ ( － 2) n － 1 . (2) 设 c n ＝ a n | b n | ，求数列 { c n } 的前 n 项的和 T n . 解　 因为 c n ＝ a n | b n | ＝ (2 n － 1)2 n － 1 ， 所以 T n ＝ 1 × 1 ＋ 3 × 2 ＋ 5 × 2 2 ＋ … ＋ (2 n － 1)2 n － 1 ， 2 T n ＝ 1 × 2 ＋ 3 × 2 2 ＋ 5 × 2 3 ＋ … ＋ (2 n － 1)2 n ， 两式相减，得 － T n ＝ 1 × 1 ＋ 2 × 2 ＋ 2 × 2 2 ＋ … ＋ 2 × 2 n － 1 － (2 n － 1)2 n ＝ 1 ＋ 2(2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n － 1 ) － (2 n － 1)2 n ＝ 1 ＋ 2 n ＋ 1 － 4 － (2 n － 1)2 n ＝－ 3 ＋ (3 － 2 n )2 n ， 所以 T n ＝ 3 ＋ (2 n － 3)2 n . 解答 思维升华 思维升华　 (1) 错位相减法适用于求数列 { a n · b n } 的前 n 项和，其中 { a n } 为等差数列， { b n } 为等比数列 . (2) 所谓 “ 错位 ” ，就是要找 “ 同类项 ” 相减 . 要注意的是相减后得到部分求等比数列的和，此时一定要查清其项数 . (3) 为保证结果正确，可对得到的和取 n ＝ 1,2 进行验证 . (1) 求数列 { a n } 与 { b n } 的通项公式； 解答 解　 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 1 ， 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 n － 1( n ∈ N * ) ， 检验 a 1 ＝ 1 ，满足 a n ＝ 2 n － 1( n ∈ N * ). 且 b n >0 ， ∴ 2 b n ＋ 1 ＝ b n ， (2) 设 c n ＝ a n b n ，求数列 { c n } 的前 n 项和 T n . 解答 热点三　裂项相消法求和 裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要 适用于 ( 其中 { a n } 为等差数列 ) 等形式的数列求和 . 例 3 　 (2017 届山东省青岛市二模 ) 在公差不为 0 的等差数列 { a n } 中 ， ＝ a 3 ＋ a 6 ，且 a 3 为 a 1 与 a 11 的等比中项 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解　 设数列 { a n } 的公差为 d ， 即 ( a 1 ＋ 2 d ) 2 ＝ a 1 ·( a 1 ＋ 10 d ) ， ② ∵ d ≠ 0 ，由 ①② 解得 a 1 ＝ 2 ， d ＝ 3. ∴ 数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 3 n － 1. ∴ ( a 1 ＋ d ) 2 ＝ a 1 ＋ 2 d ＋ a 1 ＋ 5 d ， ① 解答 思维升华 思维升华　 裂项相消法的基本思想就是把通项 a n 分拆成 a n ＝ b n ＋ k － b n ( k ≥ 1 ， k ∈ N * ) 的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列 { a n } 的通项公式，使之符合裂项相消的条件 . 解答 思维升华 思维升华　 常用的裂项公式 ( 1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解答 解答 Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2017· 全国 Ⅱ ) 等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 3 ＝ 3 ， S 4 ＝ 10 ，则 ＝ ______. 答案 解析 1 2 解析　 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，则 1 2 2.(2017· 天津 ) 已知 { a n } 为等差数列，前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ) ， { b n } 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0 ， b 2 ＋ b 3 ＝ 12 ， b 3 ＝ a 4 － 2 a 1 ， S 11 ＝ 11 b 4 . (1) 求 { a n } 和 { b n } 的通项公式； 1 2 解答 解　 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q . 由已知 b 2 ＋ b 3 ＝ 12 ，得 b 1 ( q ＋ q 2 ) ＝ 12 ，而 b 1 ＝ 2 ， 所以 q 2 ＋ q － 6 ＝ 0. 又因为 q >0 ，解得 q ＝ 2 ，所以 b n ＝ 2 n . 由 b 3 ＝ a 4 － 2 a 1 ，可得 3 d － a 1 ＝ 8 ， ① 由 S 11 ＝ 11 b 4 ，可得 a 1 ＋ 5 d ＝ 16 ， ② 联立 ①② ，解得 a 1 ＝ 1 ， d ＝ 3 ，由此可得 a n ＝ 3 n － 2. 所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 3 n － 2 ，数列 { b n } 的通项公式为 b n ＝ 2 n . 1 2 (2) 求数列 { a 2 n b 2 n － 1 } 的前 n 项和 ( n ∈ N * ). 1 2 解答 解　 设数列 { a 2 n b 2 n － 1 } 的前 n 项和为 T n ， 由 a 2 n ＝ 6 n － 2 ， b 2 n － 1 ＝ 2 × 4 n － 1 ，得 a 2 n b 2 n － 1 ＝ (3 n － 1) × 4 n ，故 T n ＝ 2 × 4 ＋ 5 × 4 2 ＋ 8 × 4 3 ＋ … ＋ (3 n － 1) × 4 n ， ③ 4 T n ＝ 2 × 4 2 ＋ 5 × 4 3 ＋ 8 × 4 4 ＋ … ＋ (3 n － 4) × 4 n ＋ (3 n － 1) × 4 n ＋ 1 ， ④ ③ － ④ ，得－ 3 T n ＝ 2 × 4 ＋ 3 × 4 2 ＋ 3 × 4 3 ＋ … ＋ 3 × 4 n － (3 n － 1) × 4 n ＋ 1 ＝－ (3 n － 2) × 4 n ＋ 1 － 8 ， 1 2 押题预测 答案 解析 押题依据　 数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是《考试大纲》中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循 . 1 2 1. 已知数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ ，其前 n 项和为 S n ，若存在 M ∈ Z ，满足对任意的 n ∈ N * ，都有 S n < M 恒成立，则 M 的最小值为 _____. 1 押题依据 1 2 2. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n ＝ a ( S n － a n ＋ 1) ( a 为常数，且 a >0) ，且 4 a 3 是 a 1 与 2 a 2 的等差中项 . (1) 求 { a n } 的通项公式； 解答 押题依据　 错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用 a n ， S n 的关系求 a n ，也是高考出题的常见形式 . 1 2 押题依据 解　 当 n ＝ 1 时， S 1 ＝ a ( S 1 － a 1 ＋ 1) ，所以 a 1 ＝ a ， 当 n ≥ 2 时， S n ＝ a ( S n － a n ＋ 1) ， ① S n － 1 ＝ a ( S n － 1 － a n － 1 ＋ 1) ， ② 1 2 故 { a n } 是首项 a 1 ＝ a ，公比为 a 的等比数列， 所以 a n ＝ a · a n － 1 ＝ a n . 故 a 2 ＝ a 2 ， a 3 ＝ a 3 . 由 4 a 3 是 a 1 与 2 a 2 的等差中项，可得 8 a 3 ＝ a 1 ＋ 2 a 2 ， 即 8 a 3 ＝ a ＋ 2 a 2 ， 因为 a ≠ 0 ，整理得 8 a 2 － 2 a － 1 ＝ 0 ， 即 (2 a － 1)(4 a ＋ 1) ＝ 0 ， 1 2 解答 1 2 1 2 所以 T n ＝ 3 × 2 ＋ 5 × 2 2 ＋ 7 × 2 3 ＋ … ＋ (2 n － 1) × 2 n － 1 ＋ (2 n ＋ 1) × 2 n ， ① 2 T n ＝ 3 × 2 2 ＋ 5 × 2 3 ＋ 7 × 2 4 ＋ … ＋ (2 n － 1)·2 n ＋ (2 n ＋ 1) × 2 n ＋ 1 ， ② 由 ① － ② ，得－ T n ＝ 3 × 2 ＋ 2(2 2 ＋ 2 3 ＋ … ＋ 2 n ) － (2 n ＋ 1) × 2 n ＋ 1 ＝－ 2 ＋ 2 n ＋ 2 － (2 n ＋ 1) × 2 n ＋ 1 ＝－ 2 － (2 n － 1) × 2 n ＋ 1 ， 所以 T n ＝ 2 ＋ (2 n － 1) × 2 n ＋ 1 .