安徽省安庆市2019-2020学年高二上学期期末教学质量监测数学（理）试题

安徽省安庆市2019-2020学年高二上学期期末教学质量监测数学（理）试题

安庆市2019－2020学年度第一学期期末教学质量监测 高二数学（理科）试题 满分：150分 时间：120分 注意事项：‎ 1. 答题前，考生在答题卡上务必用‎0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。‎ 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。‎ 3. 非选择题包括填空题与解答题，请用‎0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.命题“若，则”的逆否命题是 ‎ A.若，则 B.若，则 ‎ C.若，则 D.若，则 ‎2.实数的取值如下表所示，从散点图分析，与有较好的线性相关关系，‎ 则关于的回归直线一定过点 A. B. C. D.‎ ‎3.将三进制数转化为二进制数，下列选项中正确的是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.椭圆的焦点坐标为 A. B. C. D.‎ ‎5.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形统计图：‎ 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A.新农村建设后，种植收入略有增加.‎ B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上.‎ C.新农村建设后，养殖收入不变.‎ D.新农村建设后，种植收入在经济收入中所占比重大幅下降.‎ ‎6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问 题：松长七尺，竹长三尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日 而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分 别为7，3，则输出的等于 A.2 B‎.3 C.4 D.5‎ ‎7.圆上总存在两个不同点关于直线对称，则 ‎ 实数等于 A.-1 B‎.0 C.1 D.2‎ ‎8.不等式成立的一个必要不充分条件是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆面和一个四分之一圆面组合而成，阴影部分是两个图形叠加而成.在此图内任取一点，此点取自阴影部分的概率记为，则等于 A. B.C. D.‎ ‎10.已知双曲线的右焦点为，以为圆心的圆与一条渐近线交于两点，,相交弦长为，则双曲线的离心率等于 A. B. C. D.‎ ‎11.已知、分别是圆与圆上的两 ‎ 个动点，点是直线上的任意一点，则的最小值为 ‎ A. B. C. D.4‎ ‎12.已知函数，，对，使得 ‎，则实数的取值范围 ‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷的相应区域，答案写在试题卷上无效。‎ ‎13.掷一颗骰子两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，向量，则向量与共线的概率为_______________.‎ ‎14.方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ‎_________________.‎ ‎15.已知圆，圆，则圆与的公切线有_______________条.‎ ‎16.命题“，有成立”是假命题，则实数的取值范围是______________________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤，答案写在试题卷上无效。‎ 17. ‎（本题满分10分）‎ 已知实数满足不等式，‎ 实数满足不等式.‎ （1） 当时，为真命题，求实数的取值范围；‎ （2） 若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ 17. ‎（本题满分12分）‎ 十八届五中全会首次提出了绿色发展理念，将绿色发展作为“十三五”乃至更长时期经济社会发展的一个重要理念。某地区践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2015年初至2019年初，该地区绿化面积（单位：平方公里）的数据如下表：‎ 年份 ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ ‎2019‎ 年份代号x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 绿化面积y ‎2.8‎ ‎3.5‎ ‎4.3‎ ‎4.7‎ ‎5.2‎ （1） 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ （2） 利用（1）中的回归方程，预测该地区2025年初的绿化面积.‎ ‎（参考公式：线性回归方程：‎ ‎，为数据平均数）‎ 18. ‎（本题满分12分）‎ 某高校在2019的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在，随机抽取200名考生成绩作为样本研究，按照笔试成绩分成5组，第1组成绩为，第2组成绩为，第3组成绩为，第4组成绩为，第5组成绩为，样本频率分布直方图如下：‎ ‎（1）估计全体考生成绩的中位数；‎ ‎（2）为了能选拨出最优秀的学生，该校决定在笔试 成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学 生进入第二轮面试，从这6名学生中随机抽取2‎ 名学生进行外语交流面试，求这2名学生均来自 同一组的概率.‎ 17. ‎（本题满分12分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为, 的周长为，离心率等于.‎ （1） 求椭圆的标准方程；‎ （2） 过点的直线交椭圆于两点，且,求直线的方程. ‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知圆过点和点,且圆心在直线上.‎ （1） 求圆的方程；‎ （2） 动点在直线上，从点引圆的两条切线，切点分别为、‎ ‎，求四边形面积的最小值.‎ ‎22.（本题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称，顶点为坐标原点，且经过点.‎ （1） 求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线交抛物线于两点.是否存在定直线，使得上任意点 与点所成直线的斜率，，成等差数列.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ 安庆市2019－2020学年度第一学期期末教学质量监测 高二数学（理）试题参考答案及评分标准 一、 选择题 （每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D D B A C B C C B A D D 二、填空题 （每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15. 3 16. ‎ ‎1.本题考查逆否命题形式.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，所以选D.‎ ‎2.本题主要考查两个变量的相关关系，回归直线一定过中心点，‎ 而故选D.‎ ‎3.考查进位制之间的相互转化。，再通过除2取余法可知，故选B.‎ ‎4.题考查椭圆的性质，椭圆的标准方程为，‎ ‎， ，而焦点在轴上，故选A.‎ ‎5.本题考查统计知识，分析图表信息。从扇形统计图中可以看到，养殖收入的比重在新农村建设前与建设后相同，但建设后总收入为之前的2倍，所以建设后的养殖收入也是建设前的2倍，选项C错误。故选C.‎ ‎6.本题主要考查程序框图，‎ 当可得：‎ ‎，不满足条件，执行循环体，‎ ‎，不满足条件，执行循环体，‎ ‎，满足条件，退出循环体，‎ 输出，故选B.‎ ‎7.本题考查圆的对称性.由条件知圆心在直线上，‎ 从而.选C.‎ ‎8.本题主要考查条件关系。的充要条件是，由条件知是目标选项的真子集，故选C.‎ ‎9.本题主要考查几何概型。‎ 由题意，设四分之一圆的半径为，则半圆的半径为，‎ 整个图形面积 阴影部分的面积，‎ 由几何概型知，，故选B.‎ ‎10.本题主要考查双曲线的几何性质。‎ 点到渐近线的距离，‎ 因为，且，所以，‎ 又，所以，‎ 从而，即，‎ 离心率，故选A.‎ ‎11.本题主要考查两圆上点的距离最值问题。‎ 圆关于直线对称的曲线 点关于直线的对称点在圆上，‎ 则有，故 当三点共线时，距离和最小。‎ 从而转化成求两点距离的最小值。‎ 而，故选D ‎12.本题主要考查全称命题与特称命题的综合应用。‎ ‎，由条件可知 ‎ 即，从而有，可得.故选D.‎ ‎13.本题考查古典概型。‎ 由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有种结果，又由向量,共线，即，即，满足这种条件的基本事件有：共有3种结果，所以向量与共线的概率为 ‎14.本题主要考查双曲线的标准方程形式.‎ 化成标准方程形式，由 可得，故.‎ ‎15.本题考查两圆的公切线，本质考查圆与圆的位置关系。‎ ‎，，‎ ‎，两圆外切，从而公切线有3条。‎ ‎16.本题考查特称命题及否定命题。根据条件知道原命题的否定为真命题，‎ ‎ 从而有，不等式恒成立，‎ 对，‎ ‎ 令，令，‎ ‎ 则，‎ ‎ 故 ，从而 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，第17题10分，其它5题每题12分 ‎17.（1）当时， …………1分 ‎，即满足； …………2分 为真命题，都为真命题， …………3分 ‎ 于是有，即， 故. …………5分 ‎ （2）记 …………7分 ‎ 由是的充分不必要条件知，从而有 ………9分 ‎ 故 …………10分 ‎ 18. ‎（本题满分12分）‎ 解：（1）‎ ‎ 从而回归方程为； …………6分 ‎（2）到2025年初时，即，解得 ‎ 故预测2025年初该地区绿化面积约为平方公里。 …………12分 18. ‎（本题满分12分）‎ ‎（1）样本中位数为，从频率分布直方图可知，‎ 从而有，解得 …………3分 故全体考生成绩的中位数约为. …………4分 ‎（2）记A为事件“这两名学生均来自同一组”‎ 用分层抽样第3组抽取2人，第4组抽取3人，第5组抽取1人，……5分 记第3组学生为，第4组学生为 ，第5组学生为； ‎ 从这6人中抽取2人有15种方法，分别为：‎ ‎…………8分 其中事件A共有4种，为…………10分 由古典概型公式得 ‎ 故这两名学生均来自同一组的概率为. …………12分 19. ‎（本题满分12分）‎ （1） 由条件知 可得： …………3分 ‎ 故椭圆的方程为 …………4分 （2） 显然直线的斜率存在，且斜率不为0，‎ 设直线交椭圆于 由 ‎…………6分 当时，‎ 有， …………7分 又条件可得，,即 …………8分 从而有 ‎ …………10分 解得，故 且满足 …………11分 ‎ ‎ 从而直线方程为或 ……12分 18. ‎（本题满分12分）‎ （1） 线段的中垂线方程为： ………… 2分 ‎ ‎ 由 得圆心 …………4分 ‎ ‎ 圆的半径 …………5分 ‎ 从而圆的方程为 …………6分 ‎ 另解：设圆心坐标为，半径为，‎ 则圆的方程为， …………2分 又圆过点和点， ‎ 解得 …………5分 ‎ 圆的方程为 …………6分 （2） 由切线性质知，而 故 …………7分 的最小值即为点到直线的距离，‎ 点到直线的距离 ‎ 于是 …………10分 ‎ 从而，‎ 故四边形PMCN的面积的最小值为. …………12分 18. ‎（本题满分12分）‎ 解：（1）由条件设抛物线为，而点在抛物线上，‎ ‎ 从而有，故抛物线方程为 …………4分 ‎ ‎（2）假设存在直线使得直线上的任意点有成等差数列，‎ 由条件知直线的斜率不等于0，设：交抛物线于，‎ ‎ 由 可得：‎ 从而有 …………7分 ‎ ‎ …………9分 若成等差数列，则 即 化简有 …………11分 从而有，即 故存在定直线，使得上任意点与点所成直线斜率成等差数列 ‎ …………12分 ‎