【数学】广东省中山市2020届高三上学期期末考试试题（理）（解析版）

【数学】广东省中山市2020届高三上学期期末考试试题（理）（解析版）

广东省中山市2020届高三上学期期末考试数学试题（理）‎ 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.‎ ‎1.集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得，‎ ‎∴．选D．‎ ‎2.已知是虚数单位，复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎3.计算的结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ‎ 故选：B.‎ ‎4.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；‎ 对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；‎ 对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；‎ 对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为，‎ 则AB不垂直于平面MNQ．‎ 故选D．‎ ‎5.若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，，‎ 令，则在上是单调增函数.‎ 又，所以 即.故选D.‎ ‎6.已知满足不等式组则的最小值为（ ）‎ A 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式组对应的可行域如图所示，‎ 因为所以z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的倍，由可行域可知点A（2,0）到直线x+y-1=0的距离最短，故故选D.‎ ‎7.电路从到上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从到连通的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】先考虑没有连通的情况，即连个灯泡都断路，则其概率为.‎ 所以连通的概率.‎ 连通，则两个灯泡都没有断路，则其概率为,‎ 所以没有连通的概率为：.‎ 则之间没有连通的概率 所以连通的概率，‎ 所以连通的概率. ‎ 故选：B.‎ ‎8.有名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】B ‎【解析】首先将甲排在中间，乙、丙两位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧，‎ 选出一人排在左侧，有：种方法，‎ 另外一人排在右侧，有种方法，‎ 余下两人排在余下的两个空，有种方法，‎ 综上可得：不同的站法有种.‎ 本题选择B选项.‎ ‎9.已知函数的最小正周期是，若，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于的最小正周期为，所以，所以.‎ 所以.由得.‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意可知平面.设，则.，当且仅当时取得最大值.依题意可知是以为斜边的直角三角形，所以堑堵外接球的直径为，故半径.所以外接球的体积为.‎ 特别说明：由于平面，是以为斜边的直角三角形，所以堑堵外接球的直径为为定值，即无论阳马体积是否取得最大值，堑堵外接球保持不变，所以可以直接由直径的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.‎ 故选：B ‎11.已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，若，则的最小值为（ ）‎ A. 9 B. 12 C. 16 D. 18‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，‎ 所以.‎ 所以.当且仅当时取得最小值.‎ 故选：D.‎ ‎12.若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】由方程，有 设即 ‎ 所以 令 ，则 所以在上单调递增，在上单调递减,‎ 且，，当时，其大致图像如下.‎ 要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，‎ 且.‎ 结合图像可得关于的方程一定有两个不等的实数根 ‎ 且, ‎ 则.‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 故选：D.‎ 二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置， 书写不清，模棱两可均不得分.‎ ‎13.等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则：__________.‎ ‎【答案】52‎ ‎【解析】由于，是方程的两根，所以，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎14.已知向量与夹角是，且，则向量与的夹角是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由两边平方并化简得，‎ 即，即.‎ 所以，‎ 由于，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎15.已知，则的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，得，令，得，‎ 联立得：，故答案.‎ ‎16.已知函数，若有，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴函数在R上为增函数，‎ 由题意得，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设为数列的前项和，已知，.‎ ‎（1）证明为等比数列；‎ ‎（2）判断，，是否成等差数列？并说明理由.‎ ‎（1）证明：∵，，∴，‎ 由题意得，，‎ ‎∴是首项为2，公比为2的等比数列.‎ ‎（2）由（1），∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，，成等差数列.‎ ‎18.已知的三个内角，，所对的边分别为，，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，试判断的形状.‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴或（舍去），‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，，‎ ‎∴或，，为锐角.‎ ‎∴（舍去），‎ ‎∴，‎ ‎∴为直角三角形.‎ ‎19.如图，在三棱台中，二面角是直二面角，，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值．‎ ‎（1）证明：连接，在等腰梯形中，过作交于点，‎ 因为，所以，，，所以 ‎，所以，即，又二面角是直二面角，‎ 平面，所以平面， ‎ 又平面，所以，又因为，，、平面，所以平面． ‎ ‎（2）解：如图，在平面内，过点作，由（1）可知，以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．‎ 则，，，， ‎ 所以，，设是平面的一个法向量，则，所以，‎ 取，则，，‎ 即， ‎ 由（1）可知平面，‎ 所以是平面的一个法向量，‎ 所以 ，‎ 又二面角的平面角为锐角，‎ 所以二面角的平面角的余弦值为．‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若在上单调，求的取值范围.‎ ‎（2）若的图像恒在轴上方，求的取值范围.‎ 解：（1）由题意得，.‎ 在上单调，即在上大于等于0或者小于等于0恒成立.‎ 令，则.时，.‎ 当时，，∴在上单调递减，‎ ‎∴由题意得，或.‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎（2）的图像恒在轴上方，也即当时，恒成立.‎ 也即在上恒成立.‎ 令，，‎ 由可得：‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 单调递增 ‎0‎ 单调递减 当时，，单调递减；当时，，单调递增；‎ ‎∴为极大值.‎ 所以.‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎21.某种零件的质量指标值为整数，指标值为8时称为合格品，指标值为7或者9时称为准合格品，指标值为6或10时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为了了解机器性能，随机抽取了该机器制造的100个零件，不同的质量指标值对应的零件个数如下表所示；‎ 质量指标值 ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 零件个数 ‎6‎ ‎18‎ ‎60‎ ‎12‎ ‎4‎ 使用该机器制造的一个零件成本为5元，合格品可以以每个元的价格出售给批发商，准合格品与废品无法岀售.‎ ‎（1）估计该机器制造零件的质量指标值的平均数；‎ ‎（2）若该单位接到一张订单，需要该零件2100个，为使此次交易获利达到1400元，估计的最小值；‎ ‎（3）该单位引进了一台加工设备，每个零件花费2元可以被加工一次，加工结果会等可能出现以下三种情况：①质量指标值增加1，②质量指标值不变，③质量指标值减少1.已知每个零件最多可被加工一次，且该单位计划将所有准合格品逐一加工，在（2）的条件下，估计的最小值（精确到0.01） .‎ 解：（1）设机器制造零件的质量指标值的平均数为；‎ 由题意得：，‎ ‎∴机器制造零件的质量指标值的平均数为7.9个.‎ ‎（2）一个零件成本为5元，的价格出售，可得式子：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴的最小值为9；‎ ‎（3）依题意得，准合格品加工后有能合格，用于销售，‎ 设为满足该订单需制作个零件，则有 ‎，‎ 解得，‎ 故要使获利达到1400元，需要 ‎，‎ 解得，‎ ‎∴的最小值为8.67.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中,曲线经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的参数方程;‎ ‎(2)若分别是曲线上的动点,求的最大值.‎ 解：(1)曲线经过伸缩变换,可得曲线的方程为,‎ ‎∴其参数方程为为参数);‎ 曲线的极坐标方程为,即,‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为,即,‎ ‎∴其参数方程为为参数).‎ ‎(2)设,则到曲线的圆心的距离 ‎,‎ ‎∵,∴当时,.‎ ‎∴.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知，且、、都是正数.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎（1）证明：由已知得，‎ ‎，‎ 又，，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）证明：由已知得，‎ ‎∴‎ ‎.‎