江苏省无锡市2020届高三上学期期中考试数学试题

江苏省无锡市2020届高三上学期期中考试数学试题

无锡市普通高中2019年秋学期高三期中调研考试卷 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.）‎ ‎1.函数的定义域是 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：要使函数有意义，需满足，因此定义域为 考点：函数定义域 ‎2.已知向量与向量共线，则______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量共线的条件求解.‎ ‎【详解】∵共线，∴，.‎ 故答案为4.‎ ‎【点睛】本题考查向量共线的条件，属于基础题.‎ ‎3.若角的终边过点，则______.‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正切函数定义计算.‎ 详解】根据正切函数定义：.‎ 故答案为－2.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题基础.‎ ‎4.在等比数列中，已知，，则______.‎ ‎【答案】-81‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求公比，再求.‎ ‎【详解】由题意，，，∴.‎ 故答案为－81.‎ ‎【点睛】本题考查求等比数列中项，可根据等比数列的通项公式求出公比，然后再求某一项.‎ ‎5.已知集合，集合，若中恰好含有一个整数，则的值为______.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合，的形式，它们交集中只有一个整数，必定是－2．‎ ‎【详解】由题意，，∴，又为整数，∴．‎ 故答案为－1．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集定义是解题基础．‎ ‎6.函数y=x﹣2sinx在（0，2π）内的单调增区间为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 对函数求导可得，其单调增区间满足，得，即增区间为，限定在范围内，则有．故本题应填．‎ ‎7.偶函数在上单调递减，且满足，则的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用偶函数的性质把不等式化为，然后利用单调性求解．‎ ‎【详解】∵是偶函数，∴原不等式可化为，又在上单调递减，‎ ‎∴，解得．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，解这类函数不等式，需要利用奇偶性把不等式化为的形式，其中在的同一单调区间内，再由单调性去函数符号“”后求解．‎ ‎8.函数在点处的切线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，得，即切线斜率，然后可得切线方程．‎ ‎【详解】由题意，∴，又，‎ ‎∴所求切线方程为，即．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，函数在点处的切线方程是．‎ ‎9.已知，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求出，由二倍角公式得，把它转化为关于的代数式．‎ ‎【详解】∵，∴，‎ ‎∴．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．解题中注意“1”的代换，利用“1”的代换可化的二次式为二次齐次式，从而可化为的代数式，这样解题可减少计算量．‎ ‎10.若函数的图象关于点对称，也关于直线：对称，且的最小值为.已知函数的图象过点，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两个对称性可得函数的周期，从而可求得的值，再由函数图象过点，求得，最终可求．‎ ‎【详解】∵函数的图象关于点对称，也关于直线：对称，且的最小值为.‎ ‎∴，∴，即，‎ ‎，，∴，‎ ‎∴．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数的解析式．属于基础题．‎ ‎11.一家饮料厂生产甲、乙两种冲果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加1份苹果汁，乙种饮料的主要配方是李子汁和苹果汁各一半.该厂每天能获得的原料是李子汁和苹果汁，又厂方的利润是生产甲种饮料得3元，生产乙种饮料得4元，那么厂方获得的最大利润是______元.‎ ‎【答案】10000‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设生产甲和饮料，生产乙种饮料，根据题意列出满足的不等关系，然后求．‎ ‎【详解】设生产甲和饮料，生产乙种饮料，生产甲种饮料需要，李子汁和苹果汁，生产乙种饮料需要，李子汁和苹果汁，‎ 则，.利润，‎ 由，解得，‎ 作出可行域，如图四边形内部（含边界），作直线，‎ 平移直线，当点时，取得最大值10000．‎ 故答案为10000.‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划，解题时设出两个变量，列出 满足的不等关系，即约束条件，同时表示目标函数，再根据线性规划的解题方法求得最优解．‎ ‎12.在直角中，，是斜边上的两个三等分点，已知的面积为2，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为坐标原点，分别以，为、轴建立直角坐标系，设，由面积求得，即点坐标，计算出的坐标，再计算，最后利用基本不等式可得最小值．‎ ‎【详解】如图，以为坐标原点，分别以，为、轴建立直角坐标系，设，‎ ‎∵，‎ ‎，，‎ ‎∴，，‎ ‎，‎ 当且仅当即时取“”，‎ ‎.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查基本不等式求最小值．由于题中图形是直角三角形，因此建立平面直角坐标系，用坐标运算表示平面向量数量积可以减小思维量，减小难度．‎ ‎13.若数列和满足，，且数列中存在三个数经过适当排列后可以构成公比为的等数列，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求出的可能值，然后再检验哪三个数可能构成等比数列，从而确定．‎ ‎【详解】，‎ 则，‎ ‎∵，‎ 可取18，-12，8这三项，‎ ‎.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的性质，三个数非零实数成等比数列的充要条件是．‎ ‎14.已知函数，则方程恰好有6个不同的解，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，，作出图象，作出图像，通过图象分析解的各种情况．‎ ‎【详解】令，，‎ 作出图象，作出图像，‎ 时，‎ 有两根，设为，，‎ 则，，‎ 即，此时有2个根，‎ ‎，此时有2个根，‎ 共4个根，不满足条件.‎ 时，，‎ 解得或或6，‎ 即，无解，‎ ‎，2解，‎ ‎，2解，‎ 共4个解，不满足条件.‎ 时，，‎ 有四个根，设为，，，，‎ 其中，，，，‎ 即，无解，‎ ‎，无解，‎ ‎，2解，‎ ‎，2解，‎ 共4个解，不满足条件.‎ 时，有4个根，0，2，，（），‎ ‎，1解，‎ ‎，1解，‎ ‎，2解，‎ ‎，2解，‎ 共6解，满足条件 时，，‎ 有3个根，设为，，，‎ 其中，，，‎ 即有2解，‎ 有2解，‎ 有2解，‎ 共6解，满足条件.‎ 时，，‎ 有两根和3，‎ 有2个根，‎ 有2个根，‎ 共4个根，不满足条件，‎ 综上.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程根的分布问题，解题时可把复杂的方程简单化，如设 ‎，方程化为，，这样可作出两个函数和的图象，由图象分析方程根的所有可能情形，从而得出结论．数形结合思想是解这类问题的重要思想方法．‎ 二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15.如图，在直四棱柱中，点为的中点，点为的中点.‎ 求证：（1）平面；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由中位线定理证明即可；‎ ‎（2）直四棱柱中平面，从而，再由平行线的性质得.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）连接，，‎ ‎∵四棱柱为直四棱柱，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴为的中点，‎ 又∵为的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）∵四棱柱为直四棱柱，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，‎ ‎∴.‎ 又∵，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明，以及线线垂直的证明.属于基础题.‎ ‎16.如图，设，是平面内相交成角的两数轴，，分别与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.‎ ‎（1）设，，求值；‎ ‎（2）若，计算的大小.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由向量数量积的定义计算.‎ ‎（2）把模的运算转化为向量的平方，即向量的数量积计算.‎ ‎【详解】解：（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积和向量的模.求向量的模一般可利用转化为向量的数量积运算.‎ ‎17.如图，在中，角，，所对的边分别为，，，于，点在边上（不与端点重合），且.‎ ‎（1）若，求的值.‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，然后用正弦定理转化为角的关系后，可求得；‎ ‎（2）同（1）把面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，得，再由余弦定理得，求出，用两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数性质得最大值，由基本不等式得最小值.‎ ‎【详解】解：（1）为边上的高，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 中由正弦定理得 ‎，‎ ‎.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时取最大值，‎ ‎，当且仅当时“”即 ‎∴的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查两角和的正弦公式、正弦函数的性质，基本不等式等知识，考查知识较多，要求较高，属于中档题型.‎ ‎18.如图，在中，角，，所对的边分别为，，，于，点在边上（不与端点重合），且.‎ ‎（1）若，求的值.‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，然后用正弦定理转化为角的关系后，可求得；‎ ‎（2）同（1）把面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，得，再由余弦定理得，求出，用两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数性质得最大值，由基本不等式得最小值.‎ ‎【详解】解：（1）为边上的高，‎ ‎，‎ 中的正弦定理可得 ‎∴.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时取最大值，‎ ‎，当且仅当时“”即，‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查两角和的正弦公式、正弦函数的性质，基本不等式等知识，考查知识较多，要求较高，属于中档题型.‎ ‎19.为了丰富学生活动，在体育课上，体育教师设计了一个游戏，让甲、乙、丙三人各抓住橡皮带的一端，甲站在直角斜边的中点处，乙站在处，丙站在处.游戏开始，甲不动，乙、丙分别以和的速度同时出发，匀速跑向终点和，运动过程中绷紧的橡皮带围成一个如图所示的.（规定：只要有一人跑到终点，游戏就结束，且）.已知长为，长为，记经过后的面积为.‎ ‎（1）求关于的函数表示，并求出的取值范围；‎ ‎（2）当游戏进行到时，体育教师宣布停止，求此时的最小值.‎ ‎【答案】（1），其中时，，时，.（2）最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出路程，从而可得，由勾股定理得，以为轴建立平面直角坐标系，可得直线的方程，求出到直线的距离，即的高，从而可表示出其面积.计算两人分别走到所用时间，比较它们的大小，可得的取值范围.‎ ‎（2）由（1）得 ‎，利用导数求出其最小值.‎ ‎【详解】解：以为坐标原点，‎ 分别以、为、轴建立直角坐标系，‎ ‎，则，‎ ‎，则，‎ 为中点，则，‎ 秒后，，，‎ ‎，‎ 直线方程为：，‎ ‎，‎ 到距离，‎ ‎∴，‎ ‎，即，则，‎ ‎，即，则，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴，‎ 其中时，，‎ 时，.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 令得，‎ 当时，，为单调递减，‎ 当时，，为单调递增，‎ ‎∴当时取最小值，‎ 此时，‎ 答：此时最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是列出函数式，本题通过建立坐标系用解析法求点到直线的距离即三角形的高，这在图形是有垂直的直线时较方便，在求函数最值时，如果函数较复杂，可用导数求最值.‎ ‎20.已知数列的前项和为，当时，满足.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：数列为等差数列；‎ ‎（3）若，公差，问是否存在，，使得？如果存在，求出所有满足条件的，，如果不在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）已知条件是时，，令可证结论；‎ ‎（2）已知条件变形 ‎，用累加的方法得，从而，把此式再写一次：‎ 当时，，两式相减得：时，，同时也适合此式，从而证明是等差数列；‎ ‎（3）由求得，让从2开始一一检验，看是否有，当然时，有，.‎ ‎【详解】（1）证明：∵时，，‎ 令得，，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由 ‎，‎ ‎∴，‎ 各式相加得，，‎ 当时，，‎ 由时，，‎ 而，，也满足上式，∴为等差数列.‎ ‎（3）∵，公差为，‎ ‎∴，，，‎ 当时，，当时，，‎ 当时，（舍），时，（舍），‎ 当时，（舍），时，（舍），‎ 当时，（舍），‎ 当时，，‎ ‎∴，（舍），‎ 综上或.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的证明，由的递推关系证明数列是等差数列，由于已知式较复杂，因此关键是第一步的变形：‎ ‎，这样可用累加法求得，再由得（），然后说明前3项也适合此表示法，完成证明.这里涉及到与的关系，要注意在推理过程中的取值范围.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）当,时，记的最小值为，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）的单增区间为：，，单减区间为.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导数，由导数确定函数的单调区间；‎ ‎（2）求导数，变形为：，令，，∴在上单调递增，∴，由，，∴存在使.这个就是的最小值点，，由，得，代入，即化为的函数，再用导数可求得得其最大值.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，，‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ 综上可得：的单增区间为：，，单减区间为.‎ ‎（2）‎ 令，，‎ ‎∴在上单调递增，∴，‎ 且，，∴存在使.‎ 且当时，，，单调递减；‎ 当时，，，单调递增.‎ ‎∴，而，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎，，‎ 令，，‎ ‎∴在上单调递增，，‎ ‎∴，当，时取到.‎ ‎【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究函数的最值.单调性较方便，由确定增区间，由确定减区间.求最值时，由于有参数，因此需定性分析.对变形为，令，再用导数研究的单调性，确定它有零点，同时建立与的关系.表示出最小值，利用前面与的关系把此函数式化为一个变量，即可求得最大值.本题难度很大，对学生的分析问题解决问题的能力，对运算能力的要求都较高，属于困难题.‎ ‎ ‎