数学卷·2018届江苏省扬州中学高二上学期开学考试数学试题+（解析版）

数学卷·2018届江苏省扬州中学高二上学期开学考试数学试题+（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）‎ ‎1．函数的单调增区间为 ．‎ ‎【答案】（亦可写成） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因是单调减函数,且在上也是单调递减函数,故函数的单调增区间为,故应填答案（亦可写成）.‎ 考点：复合函数的单调性的判断和运用．‎ ‎2．在中，若＝＝，则的形状是_________三角形． ‎ ‎【答案】等边 考点：正弦定理及运用．‎ ‎3．已知为直线，为空间的两个平面，给出下列命题：①；②‎ ‎；③；④．其中的正确命题为 ． ‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】‎ 试题分析:关于①,也会有的结论,因此不正确；关于②,也会有异面的可能的结论,因此不正确；容易验证关于③④都是正确的,故应填答案③④.‎ 考点：空间的直线与平面的位置关系及运用．‎ ‎4．已知，，的夹角为60°，则 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因,故,故应填答案.‎ 考点：向量的数量积公式及模的计算方法的运用．‎ ‎5．数列满足：，则通项公式是：= _ ____． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:当时,；当时,由可得,以上两式两边相除可得,故应填答案.‎ 考点：数列的递推式及运用．‎ ‎6．定义：区间的长度为，已知函数的定义域为值域为 则区间长度的最大值与最小值的差为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：定义新概念及运用．‎ ‎7．已知均为R上的奇函数且解集为（4，10），解集为（2，5），则 的解集为 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析: 因的解集为,故的解集为,又因的解集为,故的解集为,而等价于或,故的解集为,故应填答案.‎ 考点：函数的简单性质及不等式解法的综合运用．‎ ‎8．设函数在区间上是增函数，则的取值范围为 ____． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：正弦函数的单调性及运用．‎ ‎9．已知，则函数的最小值为 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因,故,故应填答案.‎ 考点：基本不等式的灵活运用．‎ ‎【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知变形为,然后再运用基本不等式,最后达到获解之目的.‎ ‎10．设实数满足若的最小值为3，则实数的值为 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 考点：线性规划的知识及运用．‎ ‎【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的综合问题,解答时先构建平面直角坐标系,再分类画出满足题设条件的不等式组表示的平面区域,然后再依据题设条件将目标函数改写为,进而分类结合图形求出当时,动直线经过直线与直线的交点时动直线在轴上的截距取最小值,即,不合题设,舍去;当时, 动直线经过直线与直线的交点时动直线在轴上的截距取最小值,即,合题设从而获解.‎ ‎11．已知中，边上的高与边的长相等，则的最大值 为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：余弦定理及三角形的面积公式等有关知识的综合运用．‎ ‎【易错点晴】本题将平面几何的知识和三角变换等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先利用三角形的面积相等得到,再运用余弦定理将化为将,再运用三角变换的知识求其最大值为,从而使得问题获解. ‎ ‎12．在棱长为1的正方体中，为的中点，在面中取一点，使 最小，则最小值为__________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：空间直角坐标系的有关知识及运用．‎ ‎【易错点晴】本题借助几何体的几何特征,巧妙地构建空间直角坐标系.借助空间点对称的知识将问题进行等价转化与化归.即将问题等价转化为求关于平面的对称点为的问题,进而将问题化为当三点共线时，最小的问题.求解时求出其最小值为,从而使得问题获解.‎ ‎13．设是等比数列，公比，为的前项和，记，设 为数列的最大值，则= ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：等比数列基本不等式等有关知识的综合运用．‎ ‎【易错点晴】等比数列的通项和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以等比数列的通项与前项和的关系式为背景,考查的是等比数列和基本不等式的有关知识综合运用.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息先将化为,再运用换元法将其等价转化为求函数的最大值时的值,使得问题获解.‎ ‎14．当为正整数时，函数表示的最大奇因数,如,‎ 设,则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因,故,又,所以.故应填答案.‎ 考点：定义的新概念及知识的迁移和运用．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎15．(本题满分14分) 在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若b＝，a＋c＝4，求的面积．‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．‎ ‎16．(本题满分14分) 如图，在四棱锥中，，且，‎ ‎，点在棱上，且．‎ ‎（1）求证:平面平面；‎ ‎（2）求证:平面．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 考点：直线与平面平行及平面与平面垂直的判定定理性质定理等有关知识的综合运用．‎ ‎17．(本题满分15分) 设不等式所表示的平面区域为，记内的整点个数为 ‎（n∈），（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）．‎ ‎（1）求数列｛an｝的通项公式；‎ ‎（2）记数列｛an｝的前项和为Sn，且，若对于一切正整数n，总有m，求实数m的取值 范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)借助题设条件运用线性规划的知识求解；(2)借助题设运用等差数列的知识及不等式中的比差法探求.‎ 试题解析：‎ ‎（1）=3n；‎ ‎（2）∵=3(1+2+3+…+n)= ‎ ‎∴= ‎ ‎∴-=-= ‎ ‎∴当n≥3时,> ，且=1<=. ‎ 于是是数列｛an｝的最大项，故m≥=．‎ 考点：线性规划和数列通项及求和方法等有关知识的综合运用．‎ ‎18．(本题满分15分）如图，半径为1，圆心角为的圆弧AB上有一点C．‎ ‎（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求|＋|的最小值；‎ ‎（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧AB上运动时，求•的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎（2）由题意，设，‎ 所以 ‎。因为，则，所以．‎ 考点：向量的概念及运算和数量积公式等有关知识的综合运用．‎ ‎19．（本题满分16分）对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：‎ ‎①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是．则称是该函 数的“和谐区间”．‎ ‎（1）证明：是函数=的一个“和谐区间”．‎ ‎（2）求证：函数不存在“和谐区间”．‎ ‎（3）已知：函数（R，）有“和谐区间” ，当 变化时，求出 的最大值．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).‎ ‎【解析】‎ ‎（2）设是已知函数定义域的子集．因，或，‎ 故函数在上单调递增． 若是已知函数的“和谐区间”，则 ‎ 故是方程的同号的相异实数根． ‎ 因无实数根， 故函数不存在“和谐区间”． ‎ 考点：和谐区间的定义及函数方程思想等有关知识的综合运用．‎ ‎【易错点晴】本题以函数的定义域为背景,定义了和谐区间的新概念.然后精心设置了三个三个能够运用和谐区间的及其它知识的问题.重在考查迁移新概念和信息的能力及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力.求解第一问时,只要运用和谐区间的定义推证即可;解答第二问时,先借助和谐区间的定义将问题等价转化为方程有无同号的相异实数根的问题;第三问的范围问题,也是借助和谐区间的定义将问题转化为方程，有两个同号的实数根的问题,即方程的同号的相异实数根,然后运用判别式建立不等式,并解得不等式的解集为或,从而使得问题获解.‎ ‎20．（本题满分16分）已知首项为的正项数列满足，．‎ ‎（1）若，，，求的取值范围；‎ ‎（2）设数列是公比为的等比数列，为数列前项的和．若，，求 的取值范围；‎ ‎（3）若，，，（）成等差数列，且，求正整数的最小值，以及 取最小值时相应数列，，，的公差．‎ ‎【答案】(1)；(2)；(3)的最小值为，此时公差为.‎ ‎【解析】‎ ‎（3），且数列， ，，成等差数列，．‎ ‎， ，，，．‎ ‎，． ‎ 又，，‎ ‎，，解得，，‎ 所以的最小值为，此时公差为． ‎ 考点：等差数列等比数列不等式二次函数等有关知识的综合运用．‎ ‎【易错点晴】数列是中学数学中的重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以数列通项公式的递推式为背景,考查的是数列的通项及不等式的有关知识的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问考查的是借助不等式建立含参数的不等式,然后通过解不等式求出其范围是；第二问中的范围问题是借助等比数列的前项和的不等式建立不等式求解的；第三问中的求解是运用等差数列的前项和建立函数关系求解,进而使得问题获解.‎ ‎ ‎