2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练37　归纳与类比

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练37　归纳与类比

课时分层训练(三十七)　归纳与类比 ‎(对应学生用书第269页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)‎ A．结论正确　　　　　　 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 C　[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]‎ ‎2．如图643，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是(　　)‎ 图643‎ A．12‎ B．48‎ C．60‎ D．144‎ D　[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144.]‎ ‎3．(2017·陕西渭南一模)‎ 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如(如图644)：‎ 图644‎ 他们研究过图中的3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a9的值为(　　) ‎ ‎【导学号：79140206】‎ A．45 B．55‎ C．65 D．66‎ B　[第1个图中，小石子有3＝1＋2个，‎ 第2个图中，小石子有6＝1＋2＋3个，‎ 第3个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个，‎ ‎…‎ 故第9个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝＝55个，即a9＝55，故选B.]‎ ‎4．如图645所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　　)‎ 图645‎ A. B． C.－1 D．＋1‎ A　[设“黄金双曲线”方程为－＝1，‎ 则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．‎ 在“黄金双曲线”中，‎ 因为⊥，所以·＝0.‎ 又＝(c，b)，＝(－a，b)．‎ 所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac.‎ 在等号两边同除以a2，得e＝.]‎ ‎5．(2018·南昌一模)我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十(意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱)；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有(　　)‎ A．28钱 B．32钱 C．56钱 D．70钱 B　[设甲、乙、丙手上各有钱x，y，z，则由题意可得三式相加得x＋y＋z＝108，则y＋＝70，解得y＝32，故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．‎ －＝1　[类比椭圆的切点弦方程可得双曲线－＝1的切点弦方程为－＝1.]‎ ‎7．观察下列等式：‎ ‎1＝1‎ ‎2＋3＋4＝9‎ ‎3＋4＋5＋6＋7＝25‎ ‎4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49‎ ‎…‎ 照此规律，第n个等式为________．‎ n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2　[由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n－1个整数相加，右边为(2n－1)2，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.]‎ ‎8．(2018·重庆调研(二))甲、乙、丙三人各从图书馆借来一本书，他们约定读完后互相交换．三人都读完了这三本书之后，甲说：“我最后读的书与丙读的第二本书相同．”乙说：“我读的第二本书与甲读的第一本书相同．”根据以上说法，推断乙读的最后一本书是________读的第一本书. ‎ ‎【导学号：79140207】‎ 丙　[因为共有三本书，而乙读的第一本书与第二本书已经明确，只有丙读的第一本书乙还没有读，所以乙读的最后一本书是丙读的第一本书．]‎ 三、解答题 ‎9．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．‎ ‎[解]　f(0)＋f(1)＝＋ ‎＝＋＝＋＝，‎ 同理可得：f(－1)＋f(2)＝，‎ f(－2)＋f(3)＝，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.‎ 归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，‎ 均有f(x1)＋f(x2)＝.‎ ‎10．已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A′，B′，C′，则＋＋＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：‎ ＋＋＝＋＋＝＝1.‎ 请运用类比思想，对于空间中的四面体ABCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．‎ ‎[解]　在四面体ABCD中，任取一点O，连接AO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点．‎ 则＋＋＋＝1.‎ 证明：在四面体OBCD与ABCD中，‎ ＝＝＝.‎ 同理有＝；＝；＝.‎ 所以＋＋＋ ‎＝ ‎＝＝1.‎ B组　能力提升 ‎11．给出以下数对序列：‎ ‎(1,1)；‎ ‎(1,2)(2,1)；‎ ‎(1,3)(2,2)(3,1)；‎ ‎(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)；‎ ‎…‎ 记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝(　　)‎ A．(m，n－m＋1)　　　 B．(m－1，n－m)‎ C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)‎ A　[由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，所以anm＝(m，n－m＋1)．]‎ ‎12．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．‎ ‎1和3　[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.‎ 若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；‎ 若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．‎ 故甲的卡片上的数字是1和3.‎ 法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]‎ ‎13．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin13°cos 17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. ‎ ‎【导学号：79140208】‎ ‎[解]　(1)选择②式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°‎ ‎＝1－＝.‎ ‎(2)法一：三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ‎＝sin2α＋cos2α＝.‎ 法二：三角恒等式为 sin2 α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)‎ ‎＝＋－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ‎＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)‎ ‎＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.‎