高考数学一轮复习核心素养测评三十四7-3合情推理与演绎推理文含解析北师大版

高考数学一轮复习核心素养测评三十四7-3合情推理与演绎推理文含解析北师大版

核心素养测评三十四　合情推理与演绎推理 ‎(20分钟　40分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2020·钦州模拟)平面内,圆有如下性质:“圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦”,由此类比可以得到空间中,球有如下性质 (　　)‎ A.球心与弦(非直径)的中点连线垂直于弦 B.球心与该球小圆圆心的连线垂直于小圆 C.与球心距离相等的弦长相等　‎ D.与球心距离相等的小圆面积相等 ‎【解析】选B.圆心对应球心,弦对应小圆,弦中点对应小圆圆心,根据类比推理则有:球心与该球小圆圆心的连线垂直于小圆.‎ ‎2.设三角形ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知:若四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,四面体S-ABC的体积为V,则r等于 (　　)‎ A.　　　　 B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选C.设四面体的内切球的球心为O,则V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC,‎ 即V=S1r+S2r+S3r+S4r,‎ 所以r=.‎ ‎3.(2019·安庆模拟)某中学在高二下学期开设四门数学选修课,分别为《数学史选讲》《球面上的几何》《对称与群》《矩阵与变换》.现有甲、乙、丙、丁四位同学从这四门选修课程中选修一门,且这四位同学选修的课程互不相同,下面关于他们选课的一些信息:①甲同学和丙同学均不选《球面上的几何》,也不选《对称与群》:②乙同学不选《对称与群》,‎ 也不选《数学史选讲》:③如果甲同学不选《数学史选讲》,那么丁同学就不选《对称与群》.若这些信息都是正确的,则丙同学选修的课程是 (　　)‎ A.《数学史选讲》　 B.《球面上的几何》‎ C.《对称与群》　　 D.《矩阵与变换》‎ ‎【解析】选D.由信息①可得,甲、丙选择《矩阵与变换》和《数学史选讲》;由信息②可得,乙选择《矩阵与变换》或《球面上的几何》.第一种可能:当甲选择《矩阵与变换》时,则丙选择《数学史选讲》,乙选择《球面上的几何》,丁选择《对称与群》,与信息③矛盾,不合题意;‎ 第二种可能:当甲选择《数学史选讲》时,则丙选择《矩阵与变换》,乙选择《球面上的几何》,丁选择《对称与群》,符合题意.综上可得丙同学选修的课程是《矩阵与变换》.‎ ‎【变式备选】‎ ‎　　 在一次数学单元测验中,甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下,甲:我没考满分;乙:丙考了满分;丙:丁考了满分;丁:我没考满分,其中只有一名考生说的是真话,则考得满分的考生是 (　　)‎ A.甲　 B.乙　　 C.丙　　 D.丁 ‎【解析】选A.若甲考满分,则甲、乙、丙说的都是假话,丁说的是真话,符合题意;‎ 若乙考满分,则乙、丙说的是假话,甲和丁说的是真话,不合题意;‎ 若丙考满分,则甲、乙、丁说的都是真话,丙说的是假话,不合题意;‎ 若丁考满分,则甲、丙说的真话,乙、丁说的假话,不合题意.综上,甲考满分.‎ ‎4.我国的刺绣有着悠久的历史,如图所示的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形个数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形,则f(n)的表达式为 (　　)‎ A.f(n)=2n-1　　　B.f(n)=2n2‎ C.f(n)=2n2-2n D.f(n)=2n2-2n+1‎ ‎【解析】选D. 我们考虑f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,…,结合图形不难得到f(n)-f(n-1)=4(n-1),累加得f(n)-f(1)=2n(n-1)=2n2-2n,故f(n)=2n2-2n+1.‎ ‎5.(2020·泸州模拟)已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,….其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,以此类推,记此数列为{an},则a2 019= (　　)‎ 世纪金榜导学号 A.1　　　B‎.2　‎　　C.4　　　D.8‎ ‎【解析】选C.将所给的数列分组:第1组为20,第2组为20,21,第三组为:20,21,22,…,‎ 则数列的前n组共有项,由于=2 016,‎ 故数列的前63组共有2 016项,‎ 数列的第2 017项为20,数列的第2 018项为21,数列的第2 019项为22,所以 a2 019=4.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.(2019·丰台模拟)已知数列{an}的通项an=2n-1,把{an}中的各项按照一定的顺序排列成如图所示的三角形数阵.‎ ‎　　 1‎ ‎　　3　5‎ ‎　7　9　11‎ ‎13　15　17　19‎ ‎　　 ……‎ ‎(1)数阵中第5行所有项的和为　　　　. ‎ ‎(2)2 019是数阵中第i行的第j列,则i+j=　　　　. ‎ ‎【解析】(1)21+23+25+27+29=125.‎ ‎(2)2n-1=2 019,n=1 010,1+2+3+…+44=990,‎ 故i=44+1=45,j=1 010-990=20,i+j=65.‎ 答案:(1)125　(2)65‎ ‎7.(2020·孝感模拟)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,则其四维测度W=　　　　. ‎ ‎【解析】二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,(πr2)′=2πr,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,′=4πr2,四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,因为(2πr4)′=8πr3,所以“超球”的四维测度W=2πr4.‎ 答案:2πr4‎ ‎8.(2020·佛山模拟)我国古代数学名著《九章算术》记载:“勾股各自乘,并之,为弦实”,用符号表示为a2+b2=c2(a,b,c∈N*),把a,b,c叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41,以此类推,可猜测第5组勾股数的第二个数是　　　　. 世纪金榜导学号 ‎ ‎【解析】由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11,第二、三个数为相邻的两个整数,‎ 可设为x,x+1,所以(x+1)2=112+x2,即x=60,‎ 所以第5组勾股数的三个数依次是11,60,61.‎ 答案:60‎ ‎(15分钟　25分)‎ ‎1.(5分)图①是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图②是第1代“勾股树”,重复图②的作法,得到图③为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为 (　　)‎ A.n　 B.n‎2 ‎C.n-1　 D.n+1‎ ‎【解析】选D.最大的正方形面积为1,当n=1时,由勾股定理知正方形面积的和为2,依次类推,可得所有正方形面积的和为n+1.‎ ‎2.(5分)如图所示椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于 (　　)‎ A. B. C.-1 D.+1‎ ‎【解析】选A.设“黄金双曲线”方程为-=1(a>0,b>0),则B(0,b),F(-c,0),A(a,0).‎ 在“黄金双曲线”中因为⊥,所以·=0.‎ 又=(c,b),=(-a,b).‎ 所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac.‎ 在等号两边同除以a2,得e=(负值舍去).‎ ‎3.(5分)(2020·清华附中模拟)地铁某换乘站设有编号为A,B,C,D,E的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间如下:‎ 安全出口编号 A,B B,C C,D D,E A,E 疏散乘客时间(s)‎ ‎120‎ ‎220‎ ‎160‎ ‎140‎ ‎200‎ 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是(　　)‎ A.A B.B C.D D.E ‎【解析】选C.同时开放A、E两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为 ‎200 s,‎ 同时开放D、E两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为140 s,‎ 得到D疏散乘客比A快;‎ 同时开放A、E两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为200 s,‎ 同时开放A、B两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为120 s,‎ 得到B疏散乘客比E快;‎ 同时开放A、B两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为120 s,‎ 同时开放B、C两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为220 s,‎ 得到A疏散乘客比C快;‎ 同时开放B、C两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为220 s,‎ 同时开放C、D两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为160 s,‎ 得到D疏散乘客比B快.‎ 综上,疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D.‎ ‎4.(10分)(2019·龙岩模拟)已知函数f(x)=,g(x)=(其中a>0,且a≠1), 世纪金榜导学号 ‎(1)若f(1)·g(2)+f(2)·g(1)=g(k),求实数k的值.‎ ‎(2)能否从(1)的结论中获得启示,猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想.‎ ‎【解析】(1)f(1)·g(2)+f(2)·g(1)=×+×=+==g(3),‎ 因为函数g(x)是单调函数,所以k=3.‎ ‎(2)由g(3)=g(1+2)=f(1)·g(2)+f(2)·g(1),‎ 猜想:g(x+y)=f(x)·g(y)+f(y)·g(x).‎ 证明:f(x)·g(y)+f(y)·g(x)=×+×=+==g(x+y),‎ 所以g(x+y)=f(x)·g(y)+f(y)·g(x).‎