2021届高考数学一轮复习第七章解析几何第2讲两直线的位置关系课件

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2021届高考数学一轮复习第七章解析几何第2讲两直线的位置关系课件

第 2 讲 两直线的位置关系 课标要求 考情风向标 1. 能根据斜率判定两条 直线平行或垂直 . 2. 能用解方程组的方法 求两直线的交点坐标 . 3. 探索并掌握两点间的 距离公式、点到直线的 距离公式,会求两条平 行直线间的距离 1. 求两条直线的位置关系 ( 特别是平行 与垂直 ) 的判定、两点之间的距 离、点到 直线的距离、两条平行线之间的距离是 高考考查的重点,题型既有选择题与填 空题,又有解答题,难度属于中低档题 . 2. 客观题主要以考查基础知识和基本能 力为主,题目较易,主观题主要在知识 的交汇点处命题,全面考查基本概念和 基本能力 名称 一般式 斜截式 直线 方程 l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 l 1 : y = k 1 x + b 1 l 2 : y = k 2 x + b 2 相交 k 1 ≠ k 2 平行 ____________________ k 1 = k 2 ,且 b 1 ≠ b 2 重合 k 1 = k 2 ,且 b 1 = b 2 垂直 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 k 1 · k 2 = ________ 1. 两条直线的位置关系 - 1 2. 三个距离公式 1. 与直线 3 x - 4 y + 5 = 0 , 关于 x 轴对称的直线方程为 ______________ ; 关于 y 轴对称的直线方程为 ______________ ; 关于原点对称的直线方程为 ______________ ; 关于直线 y = x 对称的直线方程为 ______________ ; 关于直线 y =- x 对称的直线方程为 ______________. 3 x - 4 y - 5 = 0 3 x + 4 y + 5 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 4 y - 3 y - 5 = 0 4 x - 3 y + 5 = 0 2.(2016 年新课标 Ⅱ ) 圆 x 2 + y 2 - 2 x - 8 y + 13 = 0 的圆心到直 线 ax + y - 1 = 0 的距离为 1 ,则 a = ( ) A 3.(2016 年上海 ) 已知平行直线 l 1 : 2 x + y - 1 = 0 , l 2 : 2 x + y + 1 = 0 ,则 l 1 , l 2 间的距离为 ________. 4. 已知 A ( - 4,2) , B (6 ,- 4) , C (12,6) , D (2,12) ,下面四个 结论: ① AB ∥ CD ; ② AB ⊥ AD ; ③ AC ∥ BD ; ④ AC ⊥ BD . 其中正 确的有 ( ) C A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 考点 1 两直线的平行与垂直关系 例 1 : 已知直线 l 1 : x + my + 6 = 0 , l 2 : ( m - 2) x + 3 y + 2 m = 0 ,求 m 的值,使得: (1) l 1 与 l 2 相交; (2) l 1 ⊥ l 2 ; (3) l 1 ∥ l 2 ; (4) l 1 , l 2 重合 . 解: (1) 由已知 1×3≠ m ( m - 2) , 即 m 2 - 2 m - 3≠0 ,解得 m ≠ - 1 ,且 m ≠3. 故当 m ≠ - 1 ,且 m ≠3 时, l 1 与 l 2 相交 . (3) 当 1×3 = m ( m - 2) , 且 1×2 m ≠6×( m - 2) , 或 m ×2 m ≠3×6 ,即 m =- 1 时, l 1 ∥ l 2 . (4) 当 1×3 = m ( m - 2) ,且 1×2 m = 6×( m - 2) , 即 m = 3 时, l 1 与 l 2 重合 . 【 规律方法 】 (1) 充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决 本题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线 l 1 和 l 2 , l 1 ∥ l 2 ⇔ k 1 = k 2 , l 1 ⊥ l 2 ⇔ k 1 · k 2 =- 1. 如果有一条直线的斜率不存在, 那么另一条直线的斜率 是多少一定要特别注意 . (2) 设 l 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 , l 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ,则 l 1 ⊥ l 2 ⇔ A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. 【 跟踪训练 】 1. 已知直线 l 1 : x + ( a - 2) y - 2 = 0 , l 2 : ( a - 2) x + ay - 1 = 0 , ) 则“ a =- 1” 是“ l 1 ⊥ l 2 ” 的 ( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 条件 - 3 ,它们的斜率之积等于- 1 ,故有 l 1 ⊥ l 2 ,故充分性成立 . 当 l 1 ⊥ l 2 时,有 ( a - 2) + ( a - 2) a = 0 成立,即 ( a - 2)( a + 1) = 0 ,解 得 a =- 1 ,或 a = 2 ,故必要性不成立 . 答案: A 2.(2019 年宁夏模拟 ) 若直线 l 1 : x + 2 my - 1 = 0 与 l 2 : (3 m - 1) x - my - 1 = 0 平行,则实数 m 的值为 ________. 时,则 a 的值为 ______. 解析: ∵ 方程有无穷多解,即两直线重合, ∴ 可对 ① ×2 , 得 4 x + 4 y =- 2. 再与 ② 式比较,可得 a =- 2. - 2 考点 2 直线系中的过定点问题 例 2 : 求证:不论 m 取什么实数,直线 ( m - 1) x + (2 m - 1) y = m - 5 都通过一定点 . 证明: 方法一,取 m = 1 ,得直线方程 y =- 4 ; 从而得两条直线的交点为 (9 ,- 4). 又当 x = 9 , y =- 4 时, 有 9( m - 1) + ( - 4)(2 m - 1) = m - 5 , 即点 (9 ,- 4) 在直线 ( m - 1) x + (2 m - 1) y = m - 5 上 . 故直线 ( m - 1) x + (2 m - 1) y = m - 5 都通过定点 (9 ,- 4). 方法二, ∵ ( m - 1) x + (2 m - 1) y = m - 5 , ∴ m ( x + 2 y - 1) - ( x + y - 5) = 0. 则直线 ( m - 1) x + (2 m - 1) y = m - 5 都通过直线 x + 2 y - 1 = 0 与 x + y - 5 = 0 的交点 . - 4). ∴ 直线 ( m - 1) x + (2 m - 1) y = m - 5 通过定点 (9 ,- 4). 方法三, ∵ ( m - 1) x + (2 m - 1) y = m - 5 , ∴ m ( x + 2 y - 1) = x + y - 5. 由 m 为任意实数知,关于 m 的一元一次方程 m ( x + 2 y - 1) = x + y - 5 的解集为 R , ∴ 直线 ( m - 1) x + (2 m - 1) y = m - 5 都通过定点 (9 ,- 4). 【 规律方法 】 本题考查了方程思想在解题中的应用, 构建 方程组求解是解决本题的关键 . 很多学生不理解直线过定点的 含义,找不到解决问题的切入点,从而无法 下手 . 【 跟踪训练 】 4.(2018 年江西临川一中 ) 直线 kx - y + 2 = 4 k ,当 k 变化时, ) 所有直线都通过定点 ( A.(0,0) C.(4,2) B.(2,1) D.(2,4) 解析: 直线方程可化为 k ( x - 4) - ( y - 2) = 0 , ∴ 直线恒过定 点 (4,2). C 考点 3 对称问 题 考向 1 中心对称 例 3 : 在平面直角坐标系中,直线 y = 2 x + 1 关于点 (1,1) 对 称的直线方程是 ____________. 解析: 方法一,在直线 l 上任取一点 P ′( x , y ) ,其关于点 (1,1) 的对称点 P (2 - x, 2 - y ) 必在直线 y = 2 x + 1 上, ∴ 2 - y = 2(2 - x ) + 1 ,即 2 x - y - 3 = 0. 因此,直线 l 的方程为 y = 2 x - 3. 方法二,由题意,得直线 l 与直线 y = 2 x + 1 平行, 设直线 l 的方程为 2 x - y + C = 0( C ≠1) , 则点 (1,1) 到两平行线的距离相等 . 答案: y = 2 x - 3 考向 2 轴对称 例 4 : (1) (2019 年广西桂林模拟 ) 点 P (2,5) 关于 x + y + 1 = 0 ) 对称的点的坐标为 ( A.(6,3) C.( - 6 ,- 3) B.(3 ,- 6) D.( - 6,3) 答案: C (2)(2017 年广东广州模拟 ) 直线 x - 2 y + 1 = 0 关于直线 x + y ) - 2 = 0 对称的直线方程是 ( A. x + 2 y - 1 = 0 C.2 x + y - 3 = 0 B.2 x - y - 1 = 0 D. x + 2 y - 3 = 0 解析: 由题意得直线 x - 2 y + 1 = 0 与直线 x + y - 2 = 0 的交 点坐标为 (1,1). 在直线 x - 2 y + 1 = 0 上取点 A ( - 1,0) , 设 A 点关于直线 x + y - 2 = 0 的对称点为 B ( m , n ) , 答案: B 【 规律方法 】 轴对称:解决轴对称问题,一般是转化为求 对称点的问题,在求对称点时,关键是抓住两点:一是两对称 点的连线与对称轴垂直;二是两对称点连线的中点在对称轴上, 即抓住 “ 垂直平分 ” ,由 “ 垂直 ” 列出一个方程,由 “ 平分 ” 列出一个方程,联立求解 . 【 跟踪训练 】 5. 光线沿直线 l 1 : x - 2 y + 5 = 0 射入,遇直线 l : 3 x - 2 y + 7 = 0 后反射,如图 7-2-1 ,求反射光线所在的直线方程 . 图 7-2-1 考向 3 对称的应用 例 5 : 在直线 l : 3 x - y - 1 = 0 上存在一点 P ,使得点 P 到 点 A (4,1) 和点 B (3,4) 的距离之和最小,求此时的距离之和 . 解: 设点 B 关于直线 3 x - y - 1 = 0 的对称点为 B ′( a , b ) , 如图 7-2-2. 图 7-2-2 【 跟踪训练 】 6.(2017 年湖南长沙一模 ) 已知入射光线经过点 M ( - 3,4) , 被直线 l : x - y + 3 = 0 反射,反射光线经过点 N (2,6) ,则反射光 线所在直线的方程为 ____________ . 6 x - y - 6 = 0 易错、易混、易漏 ⊙ 忽略直线方程斜率不存在的特殊情形致误 例题: 过点 P ( - 1,2) 引一条直线 l ,使它到点 A (2,3) 与到点 B ( - 4,5) 的距离相等,求该直线 l 的方程 . 错因分析: 设直线方程,只要涉及直线的斜率,易忽略斜 率不存在的情形,要注意分类讨论 . 解: 方法一,当直线 l 的斜率不存在时,直线 l : x =- 1 , 显然到点 A (2,3) , B ( - 4,5) 的距离相等 . 当直线 l 的斜率存在时,设斜率为 k , 则直线 l 的方程为 y - 2 = k ( x + 1) , 即 kx - y + 2 + k = 0. 【 失误与防范 】 方法一是常规解法,本题可以利用代数方 法求解,即设点斜式方程,然后利用点到直线的距离公式建立 等式求斜率 k ,但要注意斜率不存在的情况,很容易漏解且计 算量较大 . 方法二是利用数形结合的思想使运算量大为减少,即 A , B 两点到直线 l 的距离相等,有两种情况: ① 直线 l 与 AB 平行; ② 直线 l 过线段 AB 的中点 . 1. 两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合 . 对于斜率都 存在且不重合的两条直线 l 1 , l 2 , l 1 ∥ l 2 ⇔ k 1 = k 2 ; l 1 ⊥ l 2 ⇔ k 1 · k 2 = - 1. 根据两直线的方程判断两直线的位置关系时,要特别注意 斜率是否存在,对于斜率不存 在的情况要单独考虑 . 注意斜率相 等并不是两直线平行的充要条件,斜率互为负倒数也不是两直 线垂直的充要条件 . 2. 直线系 . (1) 与直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程为 Ax + By + C ′ = 0 ; (2) 与直线 Ax + By + C = 0 垂直的直线系方程为 Bx - Ay + C ′ = 0; (3) 过两直线 l 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 , l 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 的交 点的直线系方程为 a 1 x + b 1 y + c 1 + λ ( a 2 x + b 2 y + c 2 ) = 0.( λ 为参数 ) 3. 对称问题包括中心对称和轴对称两种情形,其中,中心 对称一般是中点坐标公式的应用 . 轴对称一般要用到中点坐标 公式和斜率公式 ( 垂直 ). 光线的反射问题具有入射角等于反射角 的特点,这 样就有两种对称关系: (1) 入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的 直线 ( 法线 ) 对称; (2) 入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称 .
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