2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第5章 第2节 等差数列及其前n项和

2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第5章 第2节 等差数列及其前n项和

‎2010~2014年高考真题备选题库 第5章 数列 第2节 等差数列及其前n项和 ‎1．（2014辽宁，5分）设等差数列{an}的公差为d，若数列{‎2a1an}为递减数列，则(　　)‎ A．d<0 B．d>0‎ C．a1d<0 D．a1d>0‎ 解析：∵数列{‎2a1an}为递减数列，a1an＝a1[a1＋(n－1)d]＝a1dn＋a1(a1－d)，等式右边为关于n的一次函数，∴a1d<0.‎ 答案：C ‎2．（2014福建，5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(　　)‎ A．8 B．10‎ C．12 D．14‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，则S3＝‎3a1＋3d，所以12＝3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.‎ 答案：C ‎3．（2014新课标全国卷Ⅰ，12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎(1)证明：an＋2－an＝λ；‎ ‎(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ 解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，‎ an＋1an＋2＝λSn＋1－1.‎ 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.‎ 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)由题设，a1＝1，a‎1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.‎ 由(1)知，a3＝λ＋1.‎ 令‎2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.‎ 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.‎ 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.‎ 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．‎ ‎4．（2013安徽，5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝‎4a3，a7＝－2，则a9＝(　　)‎ A．－6　　　　　　　　　 B．－4‎ ‎ C．－2 D．2‎ 解析：本题主要考查等差数列的基础知识和基本运算，意在考查考生的运算求解能力．‎ 根据等差数列的定义和性质可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝‎4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.‎ 答案：A ‎5．（2013新课标全国Ⅰ，12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和．‎ 解：本题主要考查等差数列的基本知识，特殊数列求和等．‎ ‎(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.‎ 由已知可得解得a1＝1，d＝－1.‎ 故{an}的通项公式为an＝2－n.‎ ‎(2)由(1)知＝＝，从而数列的前n项和为＝.‎ ‎6．（2013新课标全国Ⅱ，12分）已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.‎ 解：本题主要考查等比数列的性质、等差数列的通项公式及等差数列的求和，意在考查考生的运算求解能力．‎ ‎(1)设{an}的公差为d.由题意，a＝a‎1a13，‎ 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，‎ 于是d(‎2a1＋25d)＝0.‎ 又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2.‎ 故an＝－2n＋27.‎ ‎(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.‎ 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝·(－6n＋56)＝－3n2＋28n.‎ ‎7．（2013山东，12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.‎ 解：本题主要考查等差数列的通项公式、错位相减法等知识，考查方程思想、转化思想和运算能力、推理论证能力．‎ ‎(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.‎ ‎ 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得 解得a1＝1，d＝2.‎ 因此an＝2n－1，n∈N*.‎ ‎(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*，‎ 当n＝1时，＝；‎ 当n≥2时，＝1－－＝，‎ 所以＝，n∈N*.‎ 由(1)知an＝2n－1，n∈N*，‎ 所以bn＝，n∈N*.‎ 又Tn＝＋＋＋…＋，‎ Tn＝＋＋…＋＋，‎ 两式相减得 Tn＝＋－ ‎＝－－，‎ 所以Tn＝3－.‎ ‎8．（2013新课标全国Ⅰ，5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)‎ A．3 　B．4‎ C．5 D．6‎ 解析：本题考查等差数列的定义、通项公式和前n项和公式，意在考查考生通过等差数列的定义、通项公式、前n项和公式求解基本量的能力．根据已知条件，得到am和am＋1‎ ‎，再根据等差数列的定义得到公差d，最后建立关于a1和m的方程组求解．由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1，‎ ‎ 由 得解得选择C.‎ 答案：C ‎9．（2013新课标全国Ⅱ，5分）等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10＝0，S15＝25，则nSn 的最小值为________．‎ 解析：本题考查等差数列的前n项和公式以及通过转化利用函数的单调性判断数列的单调性等知识，对学生分析、转化、计算等能力要求较高．‎ 由已知解得a1＝－3，‎ d＝，那么nSn＝n‎2a1＋d＝－.由于函数f(x)＝－在x＝处取得极小值，因而检验n＝6时，6S6＝－48，而n＝7时，7S7＝－49.‎ ‎∴nSn 的最小值为－49.‎ 答案：－49‎ ‎10．（2013福建，12分）已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.‎ ‎(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；‎ ‎(2)若S5>a‎1a9，求a1的取值范围．‎ 解：本题主要考查等差数列、等比数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想．‎ ‎(1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，‎ 所以a＝1×(a1＋2)，‎ 即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.‎ ‎(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a‎1a9，‎ 所以‎5a1＋10>a＋‎8a1，‎ 即a＋‎3a1－10<0，解得－5

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