【数学】2019届一轮复习全国经典版（理）空间几何体的结构及其三视图和直观图学案

【数学】2019届一轮复习全国经典版（理）空间几何体的结构及其三视图和直观图学案

第1讲　空间几何体的结构及其三视图和直观图 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　简单几何体 ‎1.简单旋转体的结构特征 ‎(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；‎ ‎(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；‎ ‎(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；‎ ‎(4)球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．‎ ‎2.简单多面体的结构特征 ‎(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；‎ ‎(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；‎ ‎(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．‎ 考点2　直观图 ‎1.画法：常用斜二测画法．‎ ‎2.规则 ‎(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′‎ 轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．‎ ‎(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．‎ 考点3　三视图 ‎1.几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．‎ 说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图.‎ ‎2.三视图的画法 ‎(1)基本要求：长对正，高平齐，宽相等．‎ ‎(2)画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．‎ ‎[必会结论]‎ ‎1.斜二测画法中的“三变”与“三不变”‎ ‎“三变” ‎“三不变” ‎2.直观图与原图形面积的关系 S直观图＝S原图形(或S原图形＝2S直观图)．‎ ‎[考点自测]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)球的任何截面都是圆．(　　)‎ ‎(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　)‎ ‎(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．(　　)‎ ‎(4)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．(　　)‎ ‎(5)在用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A ＝ 90°，则在直观图中∠A＝45°.(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×‎ ‎2.[2018·山西模拟]如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)‎ A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 答案　B 解析　由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．故选B.‎ ‎3.[课本改编]如图，直观图所表示的平面图形是(　　)‎ A．正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 答案　D 解析　由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后如图AC∥y轴，BC∥x轴．所以△ABC是直角三角形．故选D.‎ ‎4.[2018·沈阳模拟]一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)‎ 答案　C 解析　若俯视图为选项C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高，所以俯视图不可能是选项C.故选C.‎ ‎5.[2018·宁德质检]如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是(　　)‎ 答案　C 解析　此几何体侧视图是从左边向右边看．故选C.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　空间几何体的结构特征　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例1　下列说法正确的是(　　)‎ A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C.有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 答案　B 解析　A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．‎ 触类旁通 解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 ‎(1)熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．‎ ‎(2)‎ 通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.‎ ‎【变式训练1】　以下命题：‎ ‎①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；‎ ‎②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；‎ ‎③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；‎ ‎④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A.0 B．‎1 C．2 D．3‎ 答案　A 解析　命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③错，因为圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．故选A.‎ 考向　空间几何体的三视图 命题角度1　由空间几何体的直观图识别三视图 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例2　[2018·临沂模拟]如图甲，将一个正三棱柱ABC－DEF 截去一个三棱锥A－BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是(　　)‎ 答案　C 解析　由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF 是等边三角形，所以CD在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直．故选C.‎ 命题角度2　由空间几何体的三视图还原直观图 例3　[2017·浙江高考]某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)‎ A.＋1 B.＋‎3 C.＋1 D.＋3‎ 答案　A 解析　由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，‎ ‎∴该几何体的体积 V＝×π×12×3＋××××3＝＋1.‎ 故选A.‎ 命题角度3　由两个视图补画第三个视图 例4　[2016·天津高考] 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(　　)‎ 答案　B 解析　由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．‎ 从左侧观察直观图，可知截面体现为从左上到右下的虚线．故选B.‎ 触类旁通 三视图问题的常见类型及求解策略 ‎(1)‎ 在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．‎ ‎(2)在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.‎ 考向　空间几何体的直观图 ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例5　[2018·桂林模拟]已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)‎ A.a2 B.a‎2 C.a2 D.a2‎ 答案　D 解析　如图①、②所示的平面图形和直观图．‎ 由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中 作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.‎ ‎∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.‎ ‎　若本例改为“△A1B‎1C1是边长为a的正三角形，且△A1B‎1C1是△ABC的直观图”，则△ABC的面积为多少？‎ 解　‎ 在△A1D‎1C1中，由正弦定理＝，得x＝‎ a，∴S△ABC＝×a×a＝a2.‎ ‎【变式训练2】　如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为(　　)‎ A.24 B．12 C.48 D．20 答案　A 解析　由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE，则OE××＝O′C′，∵O′C′＝‎ ‎2，∴OE＝4，∴S▱OABC＝6×4＝24.故选A.‎ 核心规律 ‎1.掌握棱柱、棱锥的结构特征．‎ ‎2.旋转体要抓住“旋转”的特点，弄清底面、侧面及其展开图的形状．‎ ‎3.三视图的画法：(1)分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、高平齐、宽相等”．‎ 满分策略 ‎1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．‎ ‎2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．‎ ‎3.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．‎ 板块三　启智培优·破译高考 易错警示系列 10——三视图识图不准致误　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎[2014·湖北高考]在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(　　)‎ A.①和② B．③和①‎ C.④和③ D．④和②‎ 错因分析　本题易出现的错误：(1)不能由点的坐标确定点在空间直角坐标系中的位置．(2)不能借助于正方体，由空间几何体的直观图得到它的三视图．(3)受思维定势的影响，直观感觉正视图为三角形，而无法作出选择．‎ 解析　在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A(0，0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2，2,2)，则ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②.故选D.‎ 答案　D 答题启示　在三视图中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来.‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 跟踪训练 一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(　　)‎ 答案　A 解析　在空间直角坐标系中，易知O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1，1,0)，C(0,1,1)恰为单位正方体的四个顶点，棱BC在zOx平面的投影是看得见的，而OA的投影即它本身，在投影面中是看不见的．故选A.‎ 板块四　模拟演练·提能增分　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎[A级　基础达标]‎ ‎1.[2018·银川模拟]三视图如图的几何体是(　　)‎ A．三棱锥 B．四棱锥 C．四棱台 D．三棱台 答案　B 解析　几何体底面为四边形，侧面是三角形．故选B.‎ ‎2.如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？(　　)‎ 答案　D 解析　由三视图知该几何体是一个组合体，上部是圆锥，下部是圆柱．故选D.‎ ‎3.某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是(　　)‎ 答案　D 解析　几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．故选D.‎ ‎4.[2018·云南玉溪模拟]将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ 答案　D 解析　根据几何体的结构特征进行分析即可．故选D.‎ ‎5.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是(　　)‎ 答案　A 解析　该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为选项A中的图．故选A.‎ ‎6.[2017·北京高考]某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)‎ A．3 B．‎2 C．2 D．2‎ 答案　B 解析　在正方体中还原该四棱锥，如图所示，‎ 可知SD为该四棱锥的最长棱．‎ 由三视图可知正方体的棱长为2，故SD＝＝2.故选B.‎ ‎7.[2018·河北石家庄质检]一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为(　　)‎ 答案　D 解析　由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD.故选D.‎ ‎ ‎ ‎8.如图，正方形OABC的边长为‎1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为________．‎ 答案　‎‎8 cm 解析　将直观图还原为平面图形，如图．‎ 可知还原后的图形中，‎ OB＝2，AB＝＝3，‎ 于是周长为2×3＋2×1＝8(cm).‎ ‎9.[2018·济宁模拟]已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中面积的最大值是________．‎ 答案　6‎ 解析　四棱锥如图所示，作PN⊥平面ABCD，交DC于点N，PC＝PD＝3，DN＝2，则PN＝＝，AB＝4，BC＝2，BC⊥CD，故BC⊥平面PDC，即BC⊥PC，同理AD⊥PD.设M为AB的中点，连接PM，MN，则PM＝3，S△PDC＝×4×＝2，S△PBC＝S△PAD＝×2×3＝3，S△PAB＝×4×3＝6，所以四棱锥P－ABCD的四个侧面中面积的最大值是6.‎ ‎10.[2016·浙江高考]某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.‎ 答案　80　40‎ 解析　几何体的直观图如图：‎ ‎∴S表＝42×2＋4×2×4＋22×4＝80(cm2)，‎ V＝23＋4×4×2＝40(cm3).‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1.如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD‎1A1上的投影为(　　)‎ 答案　A 解析　点D在平面ADD‎1A1上的正投影为点D，点M在平面ADD‎1A1上的正投影为AA1的中点，点N在平面ADD‎1A1上的投影为DA的中点，连接三点可知A正确．故选A.‎ ‎2.[2018·湖南模拟]正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为(　　)‎ 答案　C 解析　过点A，E，C1的截面为AEC‎1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C.‎ ‎3．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为‎2 cm2，则原平面图形的面积为________．‎ 答案　‎8 cm2‎ 解析　解法一：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为‎8 cm2.‎ 解法二：依题意可知，S直观图＝‎2 cm2，‎ 故S原图形＝2S直观图＝‎8 cm2.‎ ‎4．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．‎ ‎(1)求该几何体的体积V；‎ ‎(2)求该几何体的侧面积S.‎ 解　本题考查由三视图求几何体的侧面积和体积，由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．‎ ‎(1)V＝×(8×6)×4＝64.‎ ‎(2)四棱锥的两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，取BC的中点E，连接OE，VE，则△VOE为直角三角形，VE为△VBC边上的高，VE＝＝4.‎ 同理侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h＝ ＝5.‎ ‎∴S侧＝2×＝40＋24.‎ ‎5．[2018·合肥模拟]一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．‎ ‎(1)求该几何体的体积V；‎ ‎(2)求该几何体的表面积S.‎ 解　(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为.‎ 所以V＝1×1×＝.‎ ‎(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB‎1A1，CDD‎1C1均为矩形．S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2.‎