【数学】2018届一轮复习人教A版 集合的概念与运算 学案

【数学】2018届一轮复习人教A版 集合的概念与运算 学案

专题01 集合的概念与运算（教学案）‎ ‎ 1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；‎ ‎2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；‎ ‎3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；‎ ‎4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；‎ ‎5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．‎ ‎ ‎ ‎1．元素与集合 ‎(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．‎ ‎(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．‎ ‎(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．‎ ‎2．集合间的基本关系 表示 关系　　　‎ 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 AB 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ‎3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 语言 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}‎ A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}‎ ‎∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}‎ ‎4.集合的运算性质 并集的性质：‎ A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．‎ 交集的性质：‎ A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．‎ 补集的性质： ‎ A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A．‎ 高频考点一　集合的含义 例1、(1)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________．‎ ‎(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．‎ ‎【感悟提升】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．‎ ‎【变式探究】(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为(　　)‎ A．3B．4C．5D．6‎ ‎(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.‎ 答案　(1)B　(2)2‎ 解析　(1)因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4时，a＝1,2,3，此时x＝5,6,7.‎ 当b＝5时，a＝1,2,3，此时x＝6,7,8.‎ 所以根据集合元素的互异性可知，x＝5,6,7,8.‎ 即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．‎ ‎(2)因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，‎ 所以a＋b＝0，得＝－1，‎ 所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.‎ 高频考点二　集合间的基本关系 例2、(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|00}，且B⊆A，则集合B可能是(　　)‎ A．{1，2} B．{x|x≤1} C．{－1，0，1} D．R ‎(2)已知集合A＝{x|＝，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为(　　)‎ A．2 B．－1 C．－1或2 D.或2‎ 解析　(1)因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A正确．‎ ‎(2)由＝，得x＝2，则A＝{2}．‎ 因为B＝{1，m}且A⊆B，‎ 所以m＝2.‎ 答案　(1)A　(2)A 高频考点三　集合的基本运算 例3、(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎(2)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝(　　)‎ A．[2，3] B．(－2，3]‎ C．[1，2) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)‎ ‎【方法规律】(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．‎ ‎(2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． ‎ ‎【举一反三】 (1)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是(　　)‎ A．N⊆M B．N∩M＝∅ C．M⊆N D．M∩N＝R ‎(2)(2016·山东卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U (A∪B)＝(　　)‎ A．{2，6} B．{3，6} ‎ C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}‎ 解析　(1)易知N＝(－2，3)，且M＝{－1，1}，∴M⊆N.‎ ‎(2)∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，‎ 又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U (A∪B)＝{2，6}．‎ 答案　(1)C　(2)A 高频考点四　集合的新定义问题 例4、若集合A具有以下性质：‎ ‎(Ⅰ)0∈A,1∈A；‎ ‎(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.‎ 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　)‎ ‎(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；‎ ‎(2)有理数集Q是“好集”；‎ ‎(3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.‎ A．0B．1C．2D．3‎ 答案　C 解析　(1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B,1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．(2)有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．(3)因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.‎ ‎【感悟提升】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．‎ ‎【变式探究】　(2015·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为(　　)‎ A．77B．49C．45D．30‎ 答案　C 解析　如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合AB显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故AB中元素的个数为45.故选C.‎ ‎1.【2016高考新课标1理数】设集合 ,,则 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为所以故选D.‎ ‎2.【2016高考新课标3理数】设集合 ，则（ ）‎ ‎(A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+） (C) [3,+ ） (D)（0，2] [3,+）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由解得或，所以，所以，故选D．‎ ‎3.【2016年高考四川理数】设集合，Z为整数集，则 中元素的个数是（ ）‎ ‎（A）3 （B）4 （C）5 （D）6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，，故其中的元素个数为5，选C.‎ ‎4.【2016高考山东理数】设集合 则=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，则，选C.‎ ‎5.【2016高考新课标2理数】已知集合，，则（ ）（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合，而，所以，故选C.‎ ‎6.【2016年高考北京理数】已知集合，，则（ ）‎ A.B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得，故选C.‎ ‎7.【2016高考浙江理数】已知集合 则（ ）‎ A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据补集的运算得．故选B．‎ ‎【2015高考四川，理1】设集合，集合，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，选A.‎ ‎【2015高考广东，理1】若集合，，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】因为，，所以，故选．‎ ‎【2015高考陕西，理1】设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，所以，故选A．‎ ‎【2015高考重庆，理1】已知集合A=,B=，则（　　）‎ A、A=B B、AB= C、AB D、BA ‎【答案】D ‎【解析】由于，故A、B、C均错，D是正确的，选D.‎ ‎【2015高考福建，理1】若集合 （ 是虚数单位）， ，则 ‎ 等于 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知得，故，故选C．‎ ‎【2015高考山东，理1】已知集合，,则（ ）‎ ‎（A）（1，3） （B）（1，4） （C）（2，3） （D）（2，4）‎ ‎【答案】C ‎【2015高考浙江，理1】已知集合，，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】由题意得，，∴，故选C.‎ ‎【2015高考江苏，1】已知集合，，则集合中元素的个数为_______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】,，则集合中元素的个数为5个.‎ ‎【2015高考上海，理1】设全集．若集合，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以 ‎（2014·北京卷） 已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　)‎ A．{0} B．{0，1} ‎ C．{0，2} D．{0，1，2}‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】∵A＝{0，2}，∴A∩B＝{0，2}∩{0，1，2}＝{0，2}．‎ ‎（2014·福建卷） 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：‎ ‎①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．‎ ‎【答案】6　‎ ‎（2014·广东卷） 已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2，}，则M∪N＝(　　)‎ A．{0，1} B．{－1，0，2} ‎ C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】本题考查集合的运算．因为M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{－1，0，1，2}．‎ ‎（2014·湖北卷） U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 ‎ B．必要而不充分条件 C．充要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C　‎ ‎【解析】若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由维思图可知，一定存在C＝A，满足A⊆C，B⊆∁UC，故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．故选C.‎ ‎（2014·辽宁卷） 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(　　)‎ A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} ‎ C．{x|0≤x≤1} D．{x|04} D．{x|04}，可得答案为C.‎ ‎（2013·江西卷） 已知集合M＝{1，2，zi}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z＝(　　)‎ A．－2i B．2i C．－4i D．4i ‎【答案】C　‎ ‎【解析】zi＝4z＝－4i，故选C.‎ ‎22．（2013·辽宁卷） 已知集合A＝，B＝，则A∩B＝(　　)‎ A．(0，1) B．(0，2] ‎ C．(1，2) D．(1，2]‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】∵A＝{x|1－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝(　　)‎ A．(－2，1] B．(－∞，－4]‎ C．(－∞，1] D．[1，＋∞)‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】∁RS＝{x|x≤－2}，T＝{x|(x＋4)(x－1)≤0}＝{x|－4≤x≤1}，所以(∁RS)∪T＝(－∞，1]．故选择C.‎ ‎（2013·江苏卷） 集合{－1，0，1}共有________个子集．‎ ‎【答案】8　‎ ‎【解析】集合{－1，0，1}共有3个元素，故子集的个数为8.‎ ‎1．下列集合中表示同一集合的是(　　)‎ A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}‎ B．M＝{2,3}，N＝{3,2}‎ C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}‎ D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}‎ 答案　B ‎2．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为(　　)‎ A．4B．5C．6D．7‎ 答案　C 解析　∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8.‎ ‎∴B中共有6个元素．‎ ‎3．已知集合A＝，则集合A中的元素个数为(　　)‎ A．2B．3C．4D．5‎ 答案　C 解析　∵∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3，‎ 又∵x∈Z，∴x的值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4，故选C.‎ ‎4．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B等于(　　)‎ A．{－1,0} B．{0,1}‎ C．{－1,0,1} D．{0,1,2}‎ 答案　A 解析　由A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}＝{x|－2＜x＜1}，得A∩B＝{－1,0}，故选A.‎ ‎5．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)等于 (　　)‎ A．{3} B．{4}‎ C．{3,4} D．∅‎ 答案　A 解析　∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，‎ ‎∴A∪B＝{1,2,3}．‎ 又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}，‎ 又∁UB＝{3,4}，∴A∩(∁UB)＝{3}．‎ ‎6．已知全集U＝R，集合A＝{x|lg(x＋1)≤0}，B＝{x|3x≤1}，则∁U(A∩B)等于(　　)‎ A．(－∞，0)∪(0，＋∞) B．(0，＋∞)‎ C．(－∞，－1]∪(0，＋∞) D．(－1，＋∞)‎ 答案　C 解析　lg(x＋1)≤0⇒00}，B＝{x|x≤1}，则(　　)‎ A．A∩B≠∅ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B 解析　由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.‎ 答案　B ‎10．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1] B．[1，＋∞) ‎ C．[－1，1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)‎ 解析　因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，‎ 得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1]．‎ 答案　C ‎11．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是(　　)‎ A．1 B．3‎ C．7 D．31‎ 解析　具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.‎ 答案　B ‎12．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝(　　)‎ A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}‎ C．{x|0≤x≤1} D．{x|00}，则(∁RS)∩T＝(　　)‎ A．[2，3] B．(－∞，－2)∪[3，＋∞)‎ C．(2，3) D．(0，＋∞)‎ 解析　易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁RS＝(2，3)，‎ 因此(∁RS)∩T＝(2，3)．‎ 答案　C ‎14．集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)‎ A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2} C．{x|00，得x<－1或x>0，‎ ‎∴B＝(－∞，－ 1)∪(0，＋∞)，‎ ‎∴A－B＝[－1，0)．‎ 答案　[－1，0)‎ ‎18．已知集合A＝{x|x2－2 016x－2 017≤0}，B＝{x|x2 017，则m>2 016.‎ 答案　(2 016，＋∞)‎ ‎19．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，‎ ‎∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，‎ 即1－2＋a≤0，∴a≤1.‎ 答案　(－∞，1]‎ ‎ ‎