福建省永春第一中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

福建省永春第一中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

福建省永春第一中学2018~2019学年 ‎ 高一年下学期期末考试（数学）（2019.07）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。‎ ‎2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。‎ 一、选择题（每小题5分，共60分。1～10题每小题所给选项只有一项符合题意，11、12题为多选题，选对一个得3分，错选、多选得0分，请将正确答案按序号填涂在答题卡上，）‎ 已知直线l的方程为y＝x＋1，则直线l的倾斜角为（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．135°‎ 若，是异面直线，直线∥，则与的位置关系是（ ）‎ A． 相交 B． 异面 C．异面或相交 D．平行 如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（ ）‎ A．12　　　 B．‎6 C．6　　　 D．3 若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y－1＝0平行，则实数a＝（ ）‎ A．　　　 B．－‎1 C．2 D．－1或2‎ 已知 a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(　　)‎ A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b C．若a⊥b，b⊥α，则a∥α D．若α∥β，a⊂α，则a∥β 若直线与圆交于两点，关于直线对称，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（ ）‎ A． 　 　B．　　　 　C． D． ‎ 在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）‎ ‎ A． 　　B．　 　C． D． ‎ 四边形，∥，，，则的外接圆与的内切圆的公共弦长（ ）‎ A． 　　 B．　　　　 C． D．‎ 在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，是上一动点，则的最小值是（　　）‎ A． 　　 　B．　　　 　C． D．‎ 以下四个命题表述正确的是（ ）‎ A．直线恒过定点；‎ B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1；‎ C．曲线与曲线恰有三条公切线，则；‎ D．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点．‎ 正方体的棱长为1，为线段，上的动点，过点的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的是（ ）‎ A．当且时，S为等腰梯形；‎ B．当,分别为，的中点时，几何体的体积为；‎ C．当M为中点且时，S为五边形；‎ D．当M为中点且时，S与的交点为R，满足．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）‎ 已知空间中的三个顶点的坐标分别为，，，则BC边上的中线的长度为__________．‎ 已知点，,若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是____________．‎ 直线与圆交于,两点，若为等边三角形，则______． ‎ 已知球的一个内接四面体中，，过球心，若该四面体的体积为，且，则球的表面积的最小值为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）‎ （本题满分10分）‎ 已知直线l的方程为．‎ ‎（Ⅰ）求过点且与直线l垂直的直线方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线与的交点，且求这个点到直线l的距离．‎ （本题满分12分）‎ 已知长方体中，，点N是AB的中点，点M是B‎1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）写出点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求线段的长度；‎ ‎（Ⅲ）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．‎ （本题满分12分）‎ 如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC，PA⊥PC．点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：FG∥平面EBO；‎ ‎（Ⅱ）求证：PA⊥BE．‎ （本题满分12分）‎ 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，为的中点，且所在的直线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求顶点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求过点且在轴、轴上的截距相等的直线的方程．‎ （本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）求二面角F–AE–P的余弦值．‎ （本题满分12分）‎ 已知点，，均在圆上.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若直线与圆相交于,两点，求的长；‎ ‎（3）设过点的直线与圆相交于、两点，试问：是否存在直线，使得恰好平分的外接圆？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ 福建省永春第一中学2018-2019学年 高一下学期期末考试（数学）参考答案 一、选择题 ‎1.B 2.C 3. A 4.D 5.D 6.A ‎ ‎7.C 8.D 9. C 10.B 11.B、C、D 12.A、B 二、填空题 ‎13. 14. 15. 或 16. ‎ 三、解答题 17． 解：‎ ‎（Ⅰ）设与直线垂直的直线方程为,‎ 把代入，得，解得,‎ ‎∴所求直线方程为.………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）解方程组 解得…………………………………………………………………………6分 ‎∴直线与的交点为,……………………………7分 ‎∴点到直线的距离 .…………10分 ‎18.解：‎ ‎（Ⅰ）点错误！未找到引用源。的坐标分别为错误！未找到引用源。；………………… …………3分 ‎（Ⅱ）错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。；…………………………………………………………7分 ‎（Ⅲ）因为， ………………………………………………………8分 ‎，且， …………………………10分 所以不是直角三角形, ‎ 所以直线与直线不互相垂直.…………………………………………12分 ‎19. 解：‎ 证明：（Ⅰ）证法一：连AF交BE于Q，连QO．‎ 因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，‎ 所以＝2．‎ 又Q是△PAB的重心．‎ 于是＝2＝，‎ 所以FG∥QO．‎ 因为FG∥平面EBO，QO⊂平面EBO，‎ 所以FG∥平面EBO．………………………………………………………………………6分 证法二：取中点，连接.‎ 因为F为边PB的中点，点G是线段CO的中点，‎ 所以∥，∥.‎ 又E、O分别为边PA、PC的中点，‎ 所以∥，‎ 所以∥.‎ 又因为平面，平面， ‎ 所以∥平面，∥平面.‎ 又，‎ 所以平面∥平面.‎ 因为平面，‎ 所以∥平面.………………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由AB＝BC，得△ACB为等腰三角形，‎ 因为O为边AC的中点，‎ 所以BO⊥AC，‎ 因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO⊂平面ABC，‎ 所以BO⊥面PAC．‎ 因为PA⊂平面PAC，‎ 故 BO⊥PA．‎ 在△PAC内，O，E为所在边的中点，‎ 故 OE∥PC，‎ 且PA⊥PC，‎ ‎∴OE⊥PA，‎ 又BO∩OE＝O，‎ 所以PA⊥平面EBO，EB⊂平面EBO，‎ 所以PA⊥BE. .………………………………………………………………………………12分 注：第（2）若通过勾股定理计算得到“”，给予相对应的分值。‎ ‎20.解：‎ ‎（Ⅰ）由已知得：‎ 直线的方程为：，即：‎ 由，解得：‎ 的坐标为.…………………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）设，则 则，解得：‎ 直线在轴、轴上的截距相等 当直线经过原点时，设直线的方程为 把点代入，得：，解得：‎ 此时直线的方程为：…………………………………………………………8分 当直线不经过原点时，设直线的方程为 把点代入，得：，解得：‎ 此时直线的方程为 直线的方程为：或………………………………………12分 ‎21.解：‎ ‎（Ⅰ）由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，‎ 由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，‎ 由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD. ……………………………………………4分 ‎(Ⅱ) 取的中点，连接，则点为的中点，‎ 又点为的中点，‎ 所以∥.‎ 又，‎ 所以∥，且 又∥，且 所以∥，且.‎ 所以四边形为平行四边形.‎ 所以∥‎ 所以∥‎ 故直线AG在平面AEF内. …………………………………………………………………8分 ‎(Ⅲ) 在平面上，过点作，垂足为，‎ 因为， ‎ 所以 又CD⊥平面PAD 所以⊥平面PAD 又为等腰直角三角形，是的中点，‎ 所以.‎ 因此是二面角F-AE-P的平面角.‎ 因为，所以.‎ 又PA=AD =2，为等腰直角三角形，‎ 所以 由勾股定理可得 故二面角F-AE-P的余弦值为.…………………………………………………………12分 ‎22. 解：（1）依题意可知，圆心在，的中垂线直线上，‎ 设圆心的坐标为，则，‎ 两边平方，解得，即圆心，‎ ‎∴半径，‎ ‎∴圆的方程为.…………………………………………………4分 ‎（2）圆心 到直线的距离为，‎ ‎ .…………………………………………………6分 ‎（3）设，，‎ 依题意知：，且，的斜率均存在，‎ 即，，‎ ‎……………………………………………………………………………8分 ‎①当直线的斜率不存在时，：，‎ 则，‎ 满足，‎ 故直线：满足题意. …………………………………………………………………10分 ‎②当直线的斜率存在时，‎ 可设直线的方程为，‎ 由消去得，‎ ‎ ，‎ 则，‎ 由得， ，‎ 即 ，解得，‎ 直线的方程为.‎ 综上可知，存在满足条件的直线和.…………………………………12分 注：第（2）若通过圆系方程求解的，给予相对应的分值。‎