【数学】2020届北京一轮复习通用版4-2三角恒等变换

【数学】2020届北京一轮复习通用版4-2三角恒等变换

‎4.2　三角恒等变换 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 三角恒等变换 ‎1.两角和与差的三角函数公式 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式;能利用两角差的余弦公式推导出两角和、二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系 ‎2.简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)‎ ‎2013北京文,15‎ 辅助角公式、二倍角公式 三角函数的图象与性质 ‎★★★‎ 分析解读　　两角和与差的三角函数公式及二倍角公式一直是高考数学的热点内容之一,主要考查两角和与差及二倍角公式的综合应用.1.以两角和与差的三角函数公式为基础,求三角函数的值或化简三角函数式;2.二倍角公式是热点和难点,要理解“倍角”的含义,注意“倍角”的相对性,并能灵活应用;3.解决与两角和与差的三角函数公式及二倍角公式有关的综合问题时,一般先把函数式化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再讨论三角函数的性质.本节内容常以解答题的形式出现,与解三角形问题结合在一起,属于中档题目.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点　三角恒等变换 ‎1.“sin α+cos α=0”是“cos 2α=0”的(　　)‎ A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件　　　　C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 答案　A　‎ ‎2.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°·sin 10°=(　　)‎ A.-‎3‎‎2‎　　　　B.‎3‎‎2‎　　　　C.-‎1‎‎2‎　　　　D.‎‎1‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎3.若tan α=2tan π‎5‎,则cosα-‎‎3π‎10‎sinα-‎π‎5‎=(　　)‎ A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4‎ 答案　C　‎ ‎4.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　. ‎ 答案　-‎‎1‎‎2‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　三角函数的化简与求值问题 ‎1.(2013课标Ⅱ,6,5分)已知sin 2α=‎2‎‎3‎,则cos2α+‎π‎4‎=(　　)‎ A.‎1‎‎6‎　　　　B.‎1‎‎3‎　　　　C.‎1‎‎2‎　　　　D.‎‎2‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎2.已知tan α=2.‎ ‎(1)求tanα+‎π‎4‎的值;‎ ‎(2)求sin2αsin‎2‎α+sinαcosα-cos2α-1‎的值.‎ 解析　(1)因为tan α=2,‎ 所以tanα+‎π‎4‎=tanα+tanπ‎4‎‎1-tanα·tanπ‎4‎=‎2+1‎‎1-2×1‎=-3.‎ ‎(2)因为tan α=2,所以sin2αsin‎2‎α+sinαcosα-cos2α-1‎ ‎=‎‎2sinαcosαsin‎2‎α+sinαcosα-(cos‎2‎α-sin‎2‎α)-(sin‎2‎α+cos‎2‎α)‎ ‎=‎2sinαcosαsin‎2‎α+sinαcosα-2cos‎2‎α=‎2tanαtan‎2‎α+tanα-2‎=‎2×2‎‎2‎‎2‎‎+2-2‎=1.‎ 方法2　利用辅助角公式解决问题的方法 ‎3.已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　,b=　　　　. ‎ 答案　‎2‎;1‎ ‎4.已知函数f(x)=(1+tan x)sin 2x.‎ ‎(1)求f(x)的定义域;‎ ‎(2)若α∈(0,π),且f(α)=2,求α的值.‎ 解析　(1)因为函数y=tan x的定义域是x∈Rx≠kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 所以f(x)的定义域为x∈Rx≠kπ+π‎2‎,k∈Z.‎ ‎(2)f(x)=(1+tan x)sin 2x ‎=‎1+‎sinxcosx·sin 2x=sin 2x+2sin2x ‎=sin 2x-cos 2x+1=‎2‎sin‎2x-‎π‎4‎+1.‎ 由f(α)=2,得sin‎2α-‎π‎4‎=‎2‎‎2‎.‎ 因为0<α<π,‎ 所以-π‎4‎<2α-π‎4‎<‎7π‎4‎,‎ 所以2α-π‎4‎=π‎4‎或2α-π‎4‎=‎3π‎4‎,‎ 解得α=π‎4‎或α=π‎2‎(舍去).‎ 所以α=π‎4‎.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·北京卷题组 ‎　(2013北京文,15,13分)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+‎1‎‎2‎cos 4x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期及最大值;‎ ‎(2)若α∈π‎2‎‎,π,且f(α)=‎2‎‎2‎,求α的值.‎ 解析　(1)因为f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+‎1‎‎2‎cos 4x ‎=cos 2xsin 2x+‎1‎‎2‎cos 4x=‎1‎‎2‎(sin 4x+cos 4x)‎ ‎=‎2‎‎2‎sin‎4x+‎π‎4‎,‎ 所以f(x)的最小正周期为π‎2‎,最大值为‎2‎‎2‎.‎ ‎(2)因为f(α)=‎2‎‎2‎,所以sin‎4α+‎π‎4‎=1.‎ 因为α∈π‎2‎‎,π,所以4α+π‎4‎∈‎9π‎4‎‎,‎‎17π‎4‎.‎ 所以4α+π‎4‎=‎5π‎2‎.故α=‎9π‎16‎.‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 ‎1.(2018课标Ⅲ,4,5分)若sin α=‎1‎‎3‎,则cos 2α=(　　)‎ A.‎8‎‎9‎　　　　B.‎7‎‎9‎　　　　C.-‎7‎‎9‎　　　　D.-‎‎8‎‎9‎ 答案　B　‎ ‎2.(2014课标Ⅰ,8,5分)设α∈‎0,‎π‎2‎,β∈‎0,‎π‎2‎,且tan α=‎1+sinβcosβ,则(　　)‎ A.3α-β=π‎2‎　　　　B.3α+β=π‎2‎　　　　C.2α-β=π‎2‎　　　　D.2α+β=‎π‎2‎ 答案　C　‎ ‎3.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知tanα-‎‎5π‎4‎=‎1‎‎5‎,则tan α=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎2‎ ‎4.(2017江苏,5,5分)若tanα-‎π‎4‎=‎1‎‎6‎,则tan α=　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎‎5‎ ‎5.(2017课标Ⅰ,15,5分)已知α∈‎0,‎π‎2‎,tan α=2,则cosα-‎π‎4‎=　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎10‎‎10‎ ‎6.(2015四川,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是　　　　. ‎ 答案　‎‎6‎‎2‎ ‎7.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tan α=‎4‎‎3‎,cos(α+β)=-‎5‎‎5‎.‎ ‎(1)求cos 2α的值;‎ ‎(2)求tan(α-β)的值.‎ 解析　(1)因为tan α=‎4‎‎3‎,tan α=sinαcosα,所以sin α=‎4‎‎3‎cos α.‎ 因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=‎9‎‎25‎,‎ 所以cos 2α=2cos2α-1=-‎7‎‎25‎.‎ ‎(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).‎ 又因为cos(α+β)=-‎5‎‎5‎,‎ 所以sin(α+β)=‎1-cos‎2‎(α+β)‎=‎2‎‎5‎‎5‎,‎ 因此tan(α+β)=-2.‎ 因为tan α=‎4‎‎3‎,所以tan 2α=‎2tanα‎1-tan‎2‎α=-‎24‎‎7‎.‎ 因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)‎‎1+tan2αtan(α+β)‎=-‎2‎‎11‎.‎ 评析本小题主要考查同角三角函数基本关系、两角差的正切公式及二倍角公式,考查运算求解能力.‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2017山东,4,5分)已知cos x=‎3‎‎4‎,则cos 2x=(　　)‎ A.-‎1‎‎4‎　　　　B.‎1‎‎4‎　　　　C.-‎1‎‎8‎　　　　D.‎‎1‎‎8‎ 答案　D　‎ ‎2.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cosπ‎4‎‎-α=‎3‎‎5‎,则sin 2α=(　　)‎ A.‎7‎‎25‎　　　　B.‎1‎‎5‎　　　　C.-‎1‎‎5‎　　　　D.-‎‎7‎‎25‎ 答案　D　‎ ‎3.(2015重庆,6,5分)若tan α=‎1‎‎3‎,tan(α+β)=‎1‎‎2‎,则tan β=(　　)‎ A.‎1‎‎7‎　　　　B.‎1‎‎6‎　　　　C.‎5‎‎7‎　　　　D.‎‎5‎‎6‎ 答案　A　‎ ‎4.(2013江西,3,5分)若sinα‎2‎=‎3‎‎3‎,则cos α=(　　)‎ A.-‎2‎‎3‎　　　　B.-‎1‎‎3‎　　　　C.‎1‎‎3‎　　　　D.‎‎2‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎5.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎6.(2013课标Ⅱ,15,5分)设θ为第二象限角,若tanθ+‎π‎4‎=‎1‎‎2‎,则sin θ+cos θ=　　　　. ‎ 答案　-‎‎10‎‎5‎ ‎7.(2014广东,16,12分)已知函数f(x)=Asinx+‎π‎4‎,x∈R,且f‎5π‎12‎=‎3‎‎2‎.‎ ‎(1)求A的值;‎ ‎(2)若f(θ)+f(-θ)=‎3‎‎2‎,θ∈‎0,‎π‎2‎,求f‎3π‎4‎‎-θ.‎ 解析　(1)f‎5π‎12‎=Asin‎5π‎12‎‎+‎π‎4‎=‎3‎‎2‎,∴A·‎3‎‎2‎=‎3‎‎2‎,A=‎3‎.‎ ‎(2)f(θ)+f(-θ)=‎3‎sinθ+‎π‎4‎+‎3‎sin‎-θ+‎π‎4‎=‎3‎‎2‎,‎ ‎∴‎3‎‎2‎‎2‎‎(sinθ+cosθ)+‎2‎‎2‎(-sinθ+cosθ)‎=‎3‎‎2‎,‎ ‎∴‎6‎cos θ=‎3‎‎2‎,cos θ=‎6‎‎4‎,‎ 又 θ∈‎0,‎π‎2‎,∴sin θ=‎1-cos‎2‎θ=‎10‎‎4‎,‎ ‎∴f‎3π‎4‎‎-θ=‎3‎sin(π-θ)=‎3‎sin θ=‎30‎‎4‎.‎ ‎8.(2014江西,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈‎-π‎2‎,‎π‎2‎.‎ ‎(1)当a=‎2‎,θ=π‎4‎时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;‎ ‎(2)若fπ‎2‎=0, f(π)=1,求a,θ的值.‎ 解析　(1)当a=‎2‎,θ=π‎4‎时, f(x)=sinx+‎π‎4‎+‎ ‎2‎cosx+‎π‎2‎ ‎=‎2‎‎2‎(sin x+cos x)-‎2‎sin x=‎2‎‎2‎cos x-‎2‎‎2‎sin x=sinπ‎4‎‎-x,‎ 由x∈[0,π],知π‎4‎-x∈‎-‎3π‎4‎,‎π‎4‎.‎ 故f(x)在[0,π]上的最大值为‎2‎‎2‎,最小值为-1.‎ ‎(2)由fπ‎2‎=0,‎f(π)=1,‎得cosθ(1-2asinθ)=0,‎‎2asin‎2‎θ-sinθ-a=1,‎ 由θ∈‎-π‎2‎,‎π‎2‎知cos θ≠0,解得a=-1,‎θ=-π‎6‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共20分)‎ ‎1.(2019届北京潞河中学10月月考,3)已知sin α=‎2‎‎2‎,则cos 2α=　(　　)‎ A.1　　　　B.‎1‎‎2‎　　　　C.0　　　　D.-‎‎1‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎2.(2019届中央民大附中10月月考,1)计算sin 5°cos 55°-cos 175°sin 55°的结果是(　　)‎ A.-‎1‎‎2‎　　　　B.‎1‎‎2‎　　　　C.-‎3‎‎2‎　　　　D.‎‎3‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎3.(2018北京一七一中学期中,4)已知△ABC中,cosA-‎π‎4‎=‎2‎‎10‎,则sin 2A=(　　)‎ A.-‎24‎‎25‎　　　　B.‎24‎‎25‎　　　　C.‎7‎‎25‎　　　　D.-‎‎7‎‎25‎ 答案　A　‎ ‎4.(2018北京通州期中,2)已知cos α=‎3‎‎5‎,0<α<π,则tanα+‎π‎4‎=(　　)‎ A.‎1‎‎5‎　　　　B.-1　　　　C.‎1‎‎7‎　　　　D.-7‎ 答案　D　‎ 二、填空题(每小题5分,共5分)‎ ‎5.(2017北京西城一模,12)函数f(x)=sin4x‎1+cos4x的最小正周期是　　　　. ‎ 答案　‎π‎2‎ 三、解答题(共30分)‎ ‎6.(2019届北京海淀期中文,15)已知函数f(x)=cos2xcosx-sinx.‎ ‎(1)求f(0)的值;‎ ‎(2)求函数f(x)的单调递增区间.‎ 解析　(1)f(0)=cos0‎cos0-sin0‎=1.‎ ‎(2)因为cos x-sin x≠0,‎ 所以x≠kπ+π‎4‎,k∈Z,‎ 即定义域为x|x≠kπ+π‎4‎,k∈Z,‎ f(x)=‎cos2xcosx-sinx ‎=‎cos‎2‎x-sin‎2‎xcosx-sinx ‎=cos x+sin x ‎=‎2‎sinx+‎π‎4‎,‎ 令2kπ-π‎2‎≤x+π‎4‎≤2kπ+π‎2‎,得2kπ-‎3π‎4‎≤x≤2kπ+π‎4‎,k∈Z,‎ 因为x≠kπ+π‎4‎,k∈Z,‎ 所以函数的单调递增区间为‎2kπ-‎3π‎4‎,2kπ+‎π‎4‎,k∈Z.‎ ‎7.(2019届北京四中期中,17)已知函数f(x)=cos x(cos x+‎3‎sin x).‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)当x∈‎0,‎π‎2‎时,求函数f(x)的单调递减区间.‎ 解析　(1)∵f(x)=‎3‎sin xcos x+cos2x=‎3‎‎2‎sin 2x+‎1+cos2x‎2‎=‎3‎‎2‎sin 2x+‎1‎‎2‎cos 2x+‎1‎‎2‎=sin‎2x+‎π‎6‎+‎1‎‎2‎,‎ ‎∴T=‎2π‎|ω|‎=‎2π‎2‎=π.‎ 即f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)令2kπ+π‎2‎≤2x+π‎6‎≤2kπ+‎3π‎2‎,k∈Z得kπ+π‎6‎≤x≤kπ+‎2π‎3‎,k∈Z,‎ 即f(x)的单调递减区间为kπ+π‎6‎,kπ+‎‎2π‎3‎,k∈Z,‎ 由‎0,‎π‎2‎∩kπ+π‎6‎,kπ+‎‎2π‎3‎=π‎6‎‎,‎π‎2‎,k∈Z,‎ 所以f(x)在‎0,‎π‎2‎上的单调递减区间为π‎6‎‎,‎π‎2‎.‎ ‎8.(2019届北京朝阳期中,16)已知函数f(x)=2‎3‎sin xcos x+sin2x-cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;‎ ‎(2)若对任意x∈‎0,‎π‎2‎, f(x)≤m(m为实数)恒成立,求m的最小值.‎ 解析　(1)由已知可得f(x)=‎3‎sin 2x-cos 2x ‎=2‎‎3‎‎2‎sin2x-‎1‎‎2‎cos2x ‎=2sin‎2x-‎π‎6‎.‎ 所以f(x)的最小正周期为T=‎2π‎2‎=π.‎ 令-π‎2‎+2kπ≤2x-π‎6‎≤π‎2‎+2kπ,k∈Z,‎ 所以-π‎6‎+kπ≤x≤π‎3‎+kπ,k∈Z,‎ 即f(x)的单调递增区间为‎-π‎6‎+kπ,π‎3‎+kπ,k∈Z.‎ ‎(2)因为x∈‎0,‎π‎2‎,‎ 所以2x-π‎6‎∈‎-π‎6‎,‎‎5π‎6‎,‎ 则此时sin‎2x-‎π‎6‎∈‎-‎1‎‎2‎,1‎,‎ 所以f(x)∈[-1,2],‎ 当2x-π‎6‎=π‎2‎,‎ 即x=π‎3‎时, f(x)max=2.‎ 因为f(x)≤m恒成立,‎ 所以m≥2,所以m的最小值为2.‎