数学理卷·2018届河南省商丘市高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届河南省商丘市高三上学期期末考试（2018

商丘市2017-2018学年度第一学期期末考试 高三数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知非零向量的夹角为，且，则（ ）‎ A． 1 B．2 C． D．‎ ‎3.《九章算术》上有这样一道题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”假设墙厚16尺，现用程序框图描述该问题，则输出（ ）‎ A． 2 B． 4 C． 6 D． 8‎ ‎4.以为焦点的抛物线的准线与双曲线相交于两点，若为正三角形，则抛物线的标准方程为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.定义在上的偶函数满足，当时，，则的零点个数为（ ）‎ A． 4 B．8 C. 5 D．10‎ ‎6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.下列命题中的假命题是（ ）‎ A．，使 ‎ B．，函数都不是偶函数 ‎ C. ，使（且未常数） ‎ D．，函数有零点 ‎8.如图，在由，，，及围成区域内任取一点，则该点落在，及围成的区域内（阴影部分）的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.正项等比数列中，，若，则的最小值等于（ ）‎ A．1 B． C. D．‎ ‎10.函数的部分图像如图所示，且，对不同的，若，有，则（ ）‎ A．在上是减函数 ‎ B．在上是减函数 ‎ C. 在上是增函数 ‎ D．在上是增函数 ‎11.设双曲线的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，已知，，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若点是不等式组，表示的平面区域内的一动点，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎14.已知的展开式中第五项与第七项的系数之和为0，其中为虚数单位，则展开式中常数项为 ．‎ ‎15.在三棱锥中，侧棱两两垂直，的面积分别为，则三棱锥的外接球的体积为 ．‎ ‎16.设点是函数的图像上的任意一点，点，则的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列的前项和， ，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎18. 已知的外接圆半径为，三个内角的对边分别为，且 ‎.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎19. 心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学，给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，统计情况如下表：（单位：人）‎ 几何题 代数题 总计 男 同学 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 女同学 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？‎ ‎（2）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对他们的答题进行研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.‎ 附表及公式：‎ ‎0.15‎ ‎0．10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，和均为等边三角形，且平面平面，点为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎21. 已知圆，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若为曲线上的两点，记，，且，试问的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.‎ ‎22.函数，其中.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）已知当（其中是自然对数）时，在上至少存在一点，使成立，求的取值范围；‎ ‎（3）求证：当时，对任意，，有.‎ 商丘市2017—2018学年度第一学期期末考试 高三数学（理科）参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎（1）B （2）A （3）D （4）C （5）C （6）A ‎（7）B （8）D （9）B （10）C （11）B （12）D 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎（13） （14） （15） （16）‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎（17）解：（Ⅰ）由得，‎ 由，‎ 做差得， ‎ 又成等差数列，所以，‎ 即，解得，‎ 所以数列是以3为首项公比为3的等比数列，即. ‎ ‎（Ⅱ）由， ‎ 得，‎ 于是. ‎ ‎（18）解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴两边同乘以得，‎ 由正弦定理得，即，‎ 由余弦定理得，∴. ‎ ‎（Ⅱ）由得，即，‎ 解得，‎ 当时，， ‎ 当时，. ‎ ‎（19）解：（Ⅰ）由表中数据得的观测值，‎ 所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关. ‎ ‎（Ⅱ）由题可知可能取值为0，1，2， ‎ ‎，，， ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 故的分布列为：‎ ‎∴. ‎ ‎（20）解：（Ⅰ）过点作∥交于点，连接；‎ 取的中点，连接，∵是等边底边的中线，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴四边形是矩形，‎ ‎∴，∥， ‎ ‎∵是底边的中位线，∴，∥，‎ ‎∴，∥， ‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴∥，‎ ‎∵平面，∴∥平面. ‎ ‎（Ⅱ）以点为坐标原点，为轴正方向，为单位长度建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 各个点的坐标分别为，，，，‎ ‎∴，，， ‎ 设平面和平面的法向量分别为，‎ 则，得，不妨令，解得，‎ 同理得.‎ 设平面和平面所成的锐二面角为，‎ 则. ‎ ‎（21）解：（Ⅰ）取，连结，设动圆的圆心为，∵两圆相内切，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴， ‎ ‎∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中，∴，‎ ‎∴，∴的轨迹方程为. ‎ ‎（Ⅱ）当轴时，有，，由，得，又，∴，，‎ ‎∴. ‎ 当与轴不垂直时，设直线的方程为，‎ 由得，7分 则，， ‎ 由，得，∴，‎ 整理得， ‎ ‎∴， ‎ ‎∴，‎ 综上所述，的面积为定值. ‎ ‎（22）解：（Ⅰ）易知的定义域为． ‎ ‎． ‎ 由 得： 或 ．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴时，为增函数；‎ 时，为减函数；‎ 时，为增函数，‎ ‎∴函数的递增区间为和，‎ 递减区间为． ‎ ‎（Ⅱ）在上至少存在一点，使成立，等价于当 时，．‎ ‎∵，∴．‎ 由（Ⅰ）知， 时，为增函数，时，为减函数．‎ ‎∴在时，． ‎ ‎∴ ．‎ 检验，上式满足，所以是所求范围． 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅲ）当时，函数．构造辅助函数 ‎， ‎ 并求导得．‎ 显然当时，，为减函数．‎ ‎∴ 对任意，都有成立，即．‎ 即．又∵，‎ ‎∴ ． ‎