2021版高考数学一轮复习核心素养测评四十五利用空间向量求二面角与空间距离苏教版
核心素养测评四十五 利用空间向量求二面角与空间距离
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于 ( )
A.4 B.2 C.3 D.1
【解析】选B.P点到平面OAB的距离为d===2.
2.三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若
=,则二面角A-BD-C的大小为 ( )
A. B. C.或 D.或
【解析】选C.如图所示,当二面角A-BD-C为锐角时,它就等于=;当二面角A-BD-C为钝角时,它应等于π-=π-=.
3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为 ( )
A.2 B. C. D.1
【解析】选D.以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(0,2,),易知AC1∥平面BDE.
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设n=(x,y,z)是平面BDE的法向量.
则
取y=1,则n=(-1,1,-)为平面BDE的一个法向量.
又=(2,0,0),
所以点A到平面BDE的距离是
d===1.
故直线AC1到平面BED的距离为1.
4.如图,点C在圆锥PO的底面圆O上,AB是直径,AB=8,∠BAC=30°,圆锥的母线与底面成的角为60°,则点A到平面PBC的距离为 ( )
A. B.2
C. D.
【解析】选C.如图,过点O作AB的垂线Ox,以Ox,OB,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
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由题意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),
C(-2,2,0),P(0,0,4).
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),
则所以
所以y=z=-x,所以取m=(-1,,1),
因为=(0,4,4),
所以d===,所以点A到平面PBC的距离为.
5.(多选)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4,AC,BD交于点E,则 ( )
A.M为PB的中点
B.二面角B-PD-A的大小为
C.若O为AD的中点,则OP⊥OE
D.直线MC与平面BDP所成的角为
【解析】选ABC.如图①,连接ME,
因为PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,所以PD∥ME.
因为四边形ABCD是正方形,所以E为BD的中点,所以M为PB的中点.
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如图②,取AD的中点O,连接OP,OE.因为PA=PD,所以OP⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,且OP⊂平面PAD,所以OP⊥平面ABCD.
因为OE⊂平面ABCD,所以OP⊥OE.
因为四边形ABCD是正方形,所以OE⊥AD.
如图②,建立空间直角坐标系O-xyz,则P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).
设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),则即
令x=1,则y=1,z=.于是n=(1,1,).
平面PAD的法向量为p=(0,1,0),
所以cos==.由题意知二面角B-PD-A为锐角,所以它的大小为.
由题意知M,C(2,4,0),
=.
设直线MC与平面BDP所成角为α,则sin α=|cos|==,
所以直线MC与平面BDP所成角不为.
二、填空题(每小题5分,共15分)
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6.如图所示,P是二面角α-AB-β棱上一点,分别在α,β内引射线PM,PN,若
∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,则二面角α-AB-β大小为________.
【解析】如图,过M在α内作MF⊥AB,过F在β内作FN⊥AB交PN于点N,连接MN.
因为∠MPB=∠NPB=45°,所以△PMF≌△PNF.
设PM=1,则MF=NF=,PM=PN=1,
又因为∠MPN=60°,所以MN=PM=PN=1,
所以MN2=MF2+NF2,所以∠MFN=90°.
答案:90°
7.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为________.
【解析】根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).
过点P作PH⊥平面ABC,交平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离.
因为PA=PB=PC,所以H为△ABC的外心.
又因为△ABC为正三角形,所以H为△ABC的重心,
可得H点的坐标为,,.
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所以PH==a.所以点P到平面ABC的距离为a.
答案:a
8.如图,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,点M是线段DC1上的动点,则点M到直线AD1距离的最小值为________.
【解析】设M(0,m,m)(0≤m≤a),=
(-a,0,a),直线AD1的一个单位方向向量
s 0=-,0,,
由=(0,-m,a-m),故点M到直线AD1的距离d=
=
=,根式内的二次函数当m=-=时取最小值2-a×+a2=a2,故d的最小值为a.
答案:a
三、解答题(每小题10分,共20分)
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9.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1.
(1)求证:CD=C1D.
(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值.
(3)求点C到平面B1DP的距离.
【解析】(1)连接AB1,交BA1于点O,连接OD.
因为B1P∥平面BDA1,B1P⊂平面AB1P,平面AB1P∩平面BA1D=OD,所以B1P∥OD.
又因为O为B1A的中点,所以D为AP的中点.
因为C1D∥AA1,所以C1为A1P的中点.
所以DC1=AA1=CC1,所以C1D=CD.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系A1-xyz,
则B1(1,0,0),B(1,0,1),D0,1,,
所以=(1,0,0),=(1,0,1),
=0,1,.
设平面BA1D的一个法向量为n=(x1,y1,z1).
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由得
令z1=2,则x1=-2,y1=-1,
所以n=(-2,-1,2).
又=(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量,
所以cos===-.
由图形可知二面角A-A1D-B为锐角,
所以二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为.
(3)因为C(0,1,1),D0,1,,B1(1,0,0),
P(0,2,0),
所以=0,0,-,=1,-1,-,=0,1,-.
设平面B1DP的一个法向量为m=(x2,y2,z2).
由得
令z2=2,则x2=2,y2=1,所以m=(2,1,2).
所以点C到平面B1DP的距离d==.
10.(2018·全国卷Ⅲ)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.
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(1)证明:平面AMD⊥平面BMC.
(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
【解析】(1)由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.
因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.
因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,
所以 DM⊥CM.
又 BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.
而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
当三棱锥M-ABC体积最大时,M为的中点.
由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),
=(-2,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0),
设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量,
则即
可取n=(1,0,2).
是平面MCD的法向量,因此cos==,sin=,
所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.
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