2018-2019学年贵州省铜仁市第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年贵州省铜仁市第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年贵州省铜仁市第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．针对我校某次考试有关的命题P：所有理科学生都会做第1题，那么命题P的否定是（　 　）‎ A．所有理科学生都不会做第1题 B．存在一个理科学生不会做第1题 C．存在一个理科学生会做第1题 D．至少有一个理科学生会做第1题 ‎【答案】B ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题，写出命题p的否定命题￢p即可．‎ ‎【详解】‎ 根据全称命题的否定是特称命题，‎ 命题p：所有理科学生都会做第1题，那么命题p的否定是：存在理科学生不会做第1题．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．‎ ‎2．集合的关系如图所示，则 “”是“”的 （　 　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】由图得到集合A，B满足A真含于B，由“x∈A”可得“x∈B”，反之不成立，即可判断出结论．‎ ‎【详解】‎ 由图得到集合A，B满足A真含于B，由“x∈A”可得“x∈B”，反之不成立，因此“”是“”的必要不充分条件．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合与集合之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与识图能力，属于基础题．‎ ‎3．双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据双曲线的方程得到焦点为，渐近线为： ，根据点到直线的距离得到焦点到渐近线的距离为 ‎ 故答案为：A。‎ ‎4．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米两斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=4（单位：升），则输入k的值为（　 　）‎ A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎【答案】D ‎【解析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n＝4时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，即可解得k的值．‎ ‎【详解】‎ 模拟程序的运行，可得 n＝1，S＝k，‎ 满足条件n＜4，执行循环体，n＝2，S＝k，‎ 满足条件n＜4，执行循环体，n＝3，S，‎ 满足条件n＜4，执行循环体，n＝4，S，‎ 此时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，‎ 由题意可得：4，解得：k＝16．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了循环型程序框图问题，属于基础题．‎ ‎5．书架上有三本数学书和两本语文书，某同学一共取了两次书，每次取一本，取后不放回，若第一次从书架取出一本语文书记为事件A，第二次从书架取出一本数学书记为事件B，那么第一次取得语文书的条件下第二次取得数学书的概率的值是（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别求出P（A）及P（AB），利用条件概率公式求得P（B|A）．‎ ‎【详解】‎ 事件A发生的概率P（A），‎ 事件B发生的概率为P（B），‎ 事件AB同时发生的概率P（AB），‎ ‎∴P（B|A），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查条件概率公式，考查学生对公式的运用，属于基础题．‎ ‎6．我校2018年高考再创佳绩，共有13人被清华北大录取.现需要他们13人站成一排合影留恋，那么甲乙两人相邻的概率为（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】13人排成一排，所有的站法共计种，其中甲乙相邻的有种，由此能求出甲乙相邻的概率．‎ ‎【详解】‎ ‎13人排成一排，所有的站法共计种，‎ 其中甲乙相邻，先把甲乙捆绑，有种，‎ 再将这个捆视为一个整体，与其他11人再排列，共有种，‎ 所以甲乙相邻的共有种，‎ ‎∴甲乙相邻的概率为P．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查了排列的实际应用，相邻问题用捆绑法是处理本题的关键，属于基础题.‎ ‎7．随机变量服从正态分布，若，，则（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接根据正态曲线的对称性求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正态分布与正态曲线的性质，属于中档题. 正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；（2）边越小图象越“痩长”，边越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于对称，‎ ‎8．现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词（如图）涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为（　 　）‎ A．27 B．54 C．108 D．144‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先给最左边一块涂色，有4种结果，再给左边第二块涂色有3种结果，以此类推第三块也有3种结果，第四块也有3种结果，根据分步计数原理得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意知本题是一个分步计数问题，‎ 首先给最左边一块涂色，有4种结果，‎ 再给左边第二块涂色有3种结果，‎ 以此类推第三块有3种结果，第四块有3种结果，‎ ‎∴根据分步计数原理知共有4×3×3×3＝108．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是看清条件中对于涂色的限制，属于中档题．‎ ‎9．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由算得，‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎ ‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ 参照附表，得到的正确结论是 （　 　）‎ A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据所给的2×2列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，求出观测值，同所给的临界值表进行比较，即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由观测值K27.8＞6.635，结合临界值表可知：在犯错误的概率不超过1%的前提下（有99%以上的把握），认为“爱好该项运动与性别有关”，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，属于基础题．‎ ‎10．若在区间中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据几何概型的概率公式求出在区间[0，2]中随机地取两个数，这两个数中较小的数大于，利用几何概型求出面积比即可．‎ ‎【详解】‎ 如图所示，‎ 在区间[0，2]中随机地取两个数x、y，‎ 这两个数中较小的数大于，‎ 则；‎ ‎∴所求的概率为 P．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何概型的概率计算问题，属于基础题．‎ ‎11．样本（）的平均数为，样本（）的平均数为，若样本（，）的平均数，其中，则的大小关系为 A． B． C． D．不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：依题意 ‎ ‎【考点】众数、中位数、平均数 ‎12．下列五个判断：‎ ‎①某校高二一班和高二二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别为a，b，则这两个班的数学平均分为；‎ ‎②10名工人生产同一种零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c>a>b；‎ ‎③设m,命题“若a>b，则”的逆否命题为假命题；‎ ‎④命题p“方程表示椭圆”，命题q“的取值范围为1<<4”，则p是q的充要条件；‎ ‎⑤线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；‎ 其中正确的个数有（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】①根据加权平均数的定义，计算即可；‎ ‎②计算平均数、中位数、众数即可；‎ ‎③根据原命题和它的逆否命题真假性相同，判断即可；‎ ‎④命题p等价于，即命题p：1<<4且k，结合q判断即可；‎ ‎⑤根据线性相关系数|r|越接近1，两个变量的线性相关性越强，‎ ‎|r|越接近0，两个变量的线性相关性越弱判断．‎ ‎【详解】‎ 对于①，根据高二一班和高二二班的人数分别是m，n，平均分分别是a，b，‎ 则这两个班的平均分为，∴①错误；‎ 对于②，平均数为a（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）＝14.7，‎ 中位数为b＝15，众数为c＝17，则有c＞b＞a，∴②错误；‎ 对于③，m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”是假命题，‎ 则它的逆否命题为假命题，③正确；‎ 对于④，命题p等价于，即命题p：1<<4且k；‎ 又命题q“的取值范围为1<<4”，所以 p是q的充分不必要条件，∴④错误；‎ 对于⑤，线性相关系数|r|越接近1，两个变量的线性相关性越强，‎ ‎|r|越接近0，两个变量的线性相关性越弱，∴⑤错误；‎ 综上，正确的命题为③，有1个．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平均数、中位数和众数以及回归分析的应用问题，考查了椭圆的标准方程，是基础题．‎ 二、填空题 ‎13．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为_______石（精确到小数点后一位数字）．‎ ‎【答案】169.1‎ ‎【解析】设这批米内夹谷约为石，由题意结合古典概型计算公式可得：‎ ‎，则：.‎ ‎14．随机变量的值为____________.‎ ‎【答案】0.432‎ ‎【解析】根据二项分布x～B（）表示3次独立重复试验，每次实验成功概率为0.6，计算P（x＝2）表示3次试验中恰有两次成功的概率．‎ ‎【详解】‎ 随机变量X服从二项分布x～B（），‎ 则P（X＝2）••．‎ 故答案为：0.432．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了独立重复试验中事件的概率及二项分布的应用问题，属于基础题．‎ ‎15．若，，则的值为____________.‎ ‎【答案】175‎ ‎【解析】先利用二项式系数的性质求得n＝4，再令x＝﹣1可得 a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）‎ nan的值，再令x＝0可得a0=81，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由C233n+1＝C23n+6（n∈N）可得 3n+1+（n+6）＝23，或 3n+1＝n+6，解得 n＝4 或n（舍去）．‎ 故（3﹣x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a4 x4，令x＝﹣1可得 a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）nan＝44＝256，‎ 再令x＝0可得a0=81，﹣a1+a2﹣…+（﹣1）nan＝256-81=175，‎ 故答案为 175．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和问题，属于中档题．‎ ‎16．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2=，，则该双曲线的离心率为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设P（m，n），可得1，F1（﹣c，0），F2（c，0），运用直线的斜率公式，解方程可得m，n，再由b2＝c2﹣a2，e，可得e的方程，解方程即可得到所求离心率．‎ ‎【详解】‎ 设P（m，n），可得1，‎ F1（﹣c，0），F2（c，0）为其左右焦点，‎ 可得直线PF1的斜率k1，直线PF2的斜率k2，‎ k2＝﹣2，k1，‎ 即为，2，‎ 解得mc，nc，‎ 则1，‎ 由b2＝c2﹣a2，e可得 ‎9e225，‎ 化为9e4﹣50e2+25＝0，‎ 即为e2＝5（1舍去），‎ 可得e．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和点满足双曲线的方程，考查运算能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知p：x2﹣2x﹣8≤0，q：x2+mx﹣2m2≤0，m＞0．‎ ‎（1）若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围；‎ ‎（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）分别求出p，q为真时的x的范围，根据充分必要条件的定义得到关于m的不等式组，解出即可；‎ ‎（2）根据q是p的充分不必要条件，得到关于m的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ ‎.‎ ‎（1）若q是p的必要不充分条件，则p真含于q,‎ ‎ ，‎ 解得：经检验，m=4时也满足必要不充分条件，‎ 所以.‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件，‎ ‎，又，‎ 解得：, 经检验，m=1时也满足是的充分不必要条件，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道中档题．‎ ‎18．如图所示，某桥是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．‎ ‎（1）水位下降1 m后，计算水面宽多少米？ ‎ ‎（2）已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点，求A、B两点间的距离．‎ ‎【答案】（1）（2）10‎ ‎【解析】（1）先建立直角坐标系，设抛物线方程为,将点（-2，-2）代入抛物线方程求得p，得到抛物线方程，再把y＝﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．‎ ‎（2）先由焦点坐标及斜率为2得到直线方程，联立方程,‎ 得，有,代入弦长公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）以拱顶为坐标原点建立直角坐标系，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向.设抛物线方程为,‎ 将点（-2，-2）代入解得=,‎ ‎,‎ 代入得,‎ 水面宽为m.‎ ‎（2）抛物线方程为，焦点（）,‎ 即直线方程为,‎ 联立方程,‎ 得，‎ 有,‎ 焦点在y轴负半轴，由焦点弦公式得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的应用、抛物线的标准方程及其性质，考查了直线与抛物线相交的弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎19．网约车的兴起丰富了民众出行的选择，为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题，据某著名网约车公司“滴滴打车”官网显示，截止目前，该公司已经累计解决退伍军人转业为兼职或专职司机三百多万人次，梁某即为此类网约车司机，据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、，它们出现的概率依次是、、、、t、．‎ ‎（1）求这一天中梁某一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；‎ ‎（2）网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过时，租车费为5元，若行驶路程超过，则按每超出（不足也按计程）收费3元计费．依据以上条件，计算梁某一天中出车一次收入的均值和方差．‎ ‎【答案】（1）分布列见解析，；（2）设梁某一天出车一次的收入为Y元，。‎ ‎【解析】（1）根据各个概率的和为1，求出t的值，进而列出分布列。根据均值与方差的计算公式求解。‎ ‎（2）先求得收费Y与行使路程X间的函数关系，进而根据 求得均值，根据a2可求得方差。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由概率分布的性质有，‎ 所以．‎ ‎∴X的分布列为 X ‎20‎ ‎22‎ ‎24‎ ‎26‎ ‎28‎ ‎30‎ P ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎（写出分布列得4分）‎ ‎∴‎ ‎． ‎ ‎（2）由已知设梁某一天出车一次的收入为Y元，‎ 则， ‎ ‎∴（元），‎ ‎32．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了离散型分布列的求法，均值与方差的简单应用，属于基础题。‎ ‎20．已知椭圆： 的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为.‎ ‎（1）求该椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与椭圆相交于， 两点，且点恰为弦的中点，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知条件求出的值，得出椭圆的方程；（2）由“点差法”求出直线的斜率，由直线的点斜式求出直线方程。‎ 试题解析：（1）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1， ‎ ‎∴a2﹣b2=1 ①，‎ 又椭圆截抛物线的准线x=﹣1所得弦长为3， ‎ ‎∴可得上面的交点为（﹣1， ），∴ ②‎ 由①代入②得4b4﹣9b2﹣9=0，解得b2=3或b2= （舍去），‎ 从而a2=b2+1=4，∴该椭圆的方程为 ‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得， ‎ ‎3x12+4y12=12，3x22+4y22=12， ‎ 相减可得3（x1﹣x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）=0， ‎ 由x1+x2=2，y1+y2=1，可得直线AB的斜率为，‎ 即直线AB的方程为 ，即为3x+2y﹣4=0．‎ ‎21．一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：‎ 温度x/°C ‎21‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎29‎ ‎32‎ 产卵数y/个 ‎6‎ ‎11‎ ‎20‎ ‎27‎ ‎57‎ ‎77‎ 经计算得： ， ， ， ，‎ ‎，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中xi, yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1, 2, 3, 4, 5, 6.‎ ‎(Ⅰ)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；‎ ‎(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522.‎ ‎( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好.‎ ‎( ii )用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. ‎ 附：一组数据(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为 ‎ =−；相关指数R2=．‎ ‎【答案】(Ⅰ) =6.6x−138.6．(Ⅱ)(i)答案见解析；(2)190.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)根据所给公式及数据求得，从而可得线性回归方程．(Ⅱ) ( i )根据所给数据求出相关指数为R2，通过比较可得回归方程为=0.06e0.2303x的拟合效果好．( ii )当x=35时，求出=0.06e0.2303x的值即为预测值．‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)由题意得， ‎ ‎∴33−6.6´26=−138.6， ‎ ‎∴y关于x的线性回归方程为=6.6x−138.6． ‎ ‎(Ⅱ) ( i )由所给数据求得的线性回归方程为=6.6x−138.6，相关指数为 R2=‎ 因为0.9398＜0.9522，‎ 所以回归方程=0.06e0.2303x比线性回归方程=6.6x−138.6拟合效果更好．‎ ‎( ii )由( i )得当温度x=35°C时， =0.06e0.2303´35=0.06´e8.0605．‎ 又∵e8.0605≈3167， ‎ ‎∴≈0.06´3167≈190（个）．‎ 即当温度x=35°C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个． ‎ 点睛：‎ ‎（1）回归分析问题中的计算比较复杂，因此在解题时要充分利用条件中所给的已知数据和公式．‎ ‎（2）回归分析方程刻画了变量之间相关关系的相关程度，回归方程的不同，其反映的拟合效果也不一样，对此可用相关指数R2来刻画回归方程的拟合效果．‎ 对同一组变量得到的不同的回归方程，当相关指数R2越大时，其拟合效果越好．‎ ‎22．已知椭圆左右焦点为，左顶点为A（-2.0），上顶点为B,且∠=.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）探究轴上是否存在一定点P，过点P的任意直线与椭圆交于M、N不同的两点，M、N不与点A重合，使得 为定值，若存在，求出点P；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在点使得为定值 ‎【解析】（1）由题意知a，结合∠=可得c，．再利用a2＝b2+c2，得b2即可．‎ ‎（2）直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用数量积为定值，得到k与m的关系，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知：又∠=，所以为正三角形，‎ ‎,,‎ 椭圆C的方程为；‎ ‎（2）设直线MN的为,M,N,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎，消去y得,‎ ‎,‎ 由韦达定理,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 得,‎ 为定值，则，即,‎ 得 即存在点使得为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎