2017-2018学年四川省成都外国语学校高二上学期10月月考数学试题(理科)(解析版)

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2017-2018学年四川省成都外国语学校高二上学期10月月考数学试题(理科)(解析版)

‎2017-2018学年四川省成都外国语学校高二(上)10月月考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一.选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的).‎ ‎1.(5分)圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为(  )‎ A.(x﹣2)2+y2=5 B.x2+(y﹣2)2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5‎ ‎2.(5分)设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.(5分)椭圆的左右焦点为F1,F2,一直线过F1交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为(  )‎ A.32 B.16 C.8 D.4‎ ‎4.(5分)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.p∧¬q C.¬p∧q D.¬p∧¬q ‎5.(5分)已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在直线,直线l的方程为ax+by=r2,那么(  )‎ A.m∥l,且l与圆相交 B.m⊥l,且l与圆相切 C.m∥l,且l与圆相离 D.m⊥l,且l与圆相离 ‎6.(5分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(5分)已知P为椭圆上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x﹣3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(  )‎ A.5 B.7 C.13 D.15‎ ‎8.(5分)平面内到点(1,1)的距离为1且到点(1,4)的距离为2的直线有(  )条.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎9.(5分)若关于x的方程﹣kx﹣3+2k=0有且只有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(5分)已知椭圆T:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与T相交于A,B两点,若=3,则k=(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎11.(5分)已知椭圆 C:=1,点 M1,M2…M5为其长轴 AB 的 6 等分点,分别过这五点作斜率为 k(k≠0)的一组平行线,交椭圆 C于 P1,P2…P10,则10条直线 AP1,AP2…AP10的斜率乘积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.(5分)关于下列命题,正确的个数是(  )‎ ‎(1)若点(2,1)在圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0外,则k>2或k<﹣4‎ ‎(2)已知圆M:(x+cosθ)2+(y﹣sinθ)2=1,直线y=kx,则直线与圆恒相切 ‎(3)已知点P是直线2x+y+4=0上一动点,PA、PB是圆C:x2+y2﹣2y=0的两条切线,A、B是切点,则四边形PACB的最小面积是为2‎ ‎(4)设直线系M:xcosθ+ysinθ=2+2cosθ,M中的直线所能围成的正三角形面积都等于12.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎ ‎ 二、填空题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷上的相应位置).‎ ‎13.(5分)若P(2,1)为圆(x﹣1)2+y2‎ ‎=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为   .‎ ‎14.(5分)若命题“∃x∈R,使x2+(a﹣1)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围为   .‎ ‎15.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(﹣3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆上,则=   .‎ ‎16.(5分)已知以T=4为周期的函数f(x)=,其中m>0.若方程3f(x)=x恰有5个实数解,则m的取值范围为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题:(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤).‎ ‎17.(10分)已知 m>0,p:(x+1)(x﹣5)≤0,q:1﹣m≤x≤1+m.‎ ‎(1)若p是q 的充分条件,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)若m=5,“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数x的取值范围.‎ ‎18.(12分)已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0.求:‎ ‎(1)顶点C的坐标;‎ ‎(2)直线BC的方程.‎ ‎19.(12分)椭圆ax2+by2=1与直线x+y﹣1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,OC的斜率为,求椭圆的方程.‎ ‎20.(12分)平面上两点A(﹣1,0),B(1,0),在圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4上取一点P,‎ ‎(Ⅰ)x﹣y+c≥0恒成立,求c的范围 ‎(Ⅱ)从x+y+1=0上的点向圆引切线,求切线长的最小值 ‎(Ⅲ)求|PA|2+|PB|2的最值及此时点P的坐标.‎ ‎21.(12分)已知椭圆,四点中恰有三点在椭圆上.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点,若直线P1A与P2B直线的斜率的和为﹣1,证明:l过定点.‎ ‎22.(12分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.‎ ‎(i)求||的值;‎ ‎(ii)求△ABQ面积的最大值.‎ ‎ ‎ ‎2017-2018学年四川省成都外国语学校高二(上)10月月考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的).‎ ‎1.(5分)圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为(  )‎ A.(x﹣2)2+y2=5 B.x2+(y﹣2)2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5‎ ‎【分析】求出对称圆的圆心坐标即可求得结果.‎ ‎【解答】解:圆(x+2)2+y2=5的圆心(﹣2,0),关于(0,0)对称的圆心坐标(2,0)所求圆的方程是(x﹣2)2+y2=5.‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查圆和圆的位置关系,对称问题,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可证明充分性;由满足“x2+y2≥4”可举出反例推翻“x≥2且y≥2”,则证明不必要性,综合可得答案.‎ ‎【解答】解:若x≥2且y≥2,则x2≥4,y2≥4,所以x2+y2≥8,即x2+y2≥4;‎ 若x2+y2≥4,则如(﹣2,﹣2)满足条件,但不满足x≥2且y≥2.‎ 所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件.‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)椭圆的左右焦点为F1,F2,一直线过F1‎ 交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为(  )‎ A.32 B.16 C.8 D.4‎ ‎【分析】先由椭圆方程求得长半轴,而△ABF2的周长为AB+BF2+AF2,由椭圆的定义求解即可.‎ ‎【解答】解:∵椭圆 ‎∴a=4,b=,c=3‎ 根据椭圆的定义 ‎∴AF1+AF2=2a=8‎ ‎∴BF1+BF2=2a=8‎ ‎∵AF1+BF1=AB ‎∴△ABF2的周长为4a=16‎ 故选B ‎【点评】本题主要考查椭圆的定义的应用,应用的定义的基本特征,是与焦点有关.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧q B.p∧¬q C.¬p∧q D.¬p∧¬q ‎【分析】由对数函数的性质可知命题p为真命题,则¬p为假命题,命题q是假命题,则¬q是真命题.因此p∧¬q为真命题.‎ ‎【解答】解:命题p:∀x>0,ln(x+1)>0,则命题p为真命题,则¬p为假命题;‎ 取a=﹣1,b=﹣2,a>b,但a2<b2,则命题q是假命题,则¬q是真命题.‎ ‎∴p∧q是假命题,p∧¬q是真命题,¬p∧q是假命题,¬p∧¬q是假命题.‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查命题真假性的判断,复合命题的真假性,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2‎ 内的一点,直线m是以P为中点的弦所在直线,直线l的方程为ax+by=r2,那么(  )‎ A.m∥l,且l与圆相交 B.m⊥l,且l与圆相切 C.m∥l,且l与圆相离 D.m⊥l,且l与圆相离 ‎【分析】由P在圆内,得到P到圆心距离小于半径,利用两点间的距离公式列出不等式a2+b2<r2,由直线m是以P为中点的弦所在直线,利用垂径定理得到直线OP与直线m垂直,根据直线OP的斜率求出直线m的斜率,再表示出直线l的斜率,发现直线m与l斜率相同,可得出两直线平行,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离,利用得出的不等式变形判断出d大于r,即可确定出直线l与圆相离.‎ ‎【解答】解:∵点P(a,b)(ab≠0)在圆内,‎ ‎∴a2+b2<r2,‎ ‎∵kOP=,直线OP⊥直线m,‎ ‎∴km=﹣,‎ ‎∵直线l的斜率kl=﹣=km,‎ ‎∴m∥l,‎ ‎∵圆心O到直线l的距离d=>=r,‎ ‎∴l与圆相离.‎ 故选C.‎ ‎【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间的距离公式,点到直线的距离公式,两直线垂直、平行时直线斜率满足的关系,直线与圆的位置关系由d与r的大小来判断,当d>r时,直线与圆相离;当d<r时,直线与圆相交;当d=r时,直线与圆相切(其中d为圆心到直线的距离,r为圆的半径).‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,可得原点到直线的距离=a,化简即可得出.‎ ‎【解答】解:以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,‎ ‎∴原点到直线的距离=a,化为:a2=3b2.‎ ‎∴椭圆C的离心率e===.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)已知P为椭圆上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x﹣3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(  )‎ A.5 B.7 C.13 D.15‎ ‎【分析】由题意可得:椭圆的焦点分别是两圆(x+3)2+y2=1和(x﹣3)2+y2=4的圆心,再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案.‎ ‎【解答】解:依题意可得,椭圆的焦点分别是两圆(x+3)2+y2=1和(x﹣3)2+y2=4的圆心,‎ 所以根据椭圆的定义可得:(|PM|+|PN|)min=2×5﹣1﹣2=7,‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查圆的性质及其应用,以及椭圆的定义,解题时要认真审题,仔细解答,注意公式的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)平面内到点(1,1)的距离为1且到点(1,4)的距离为2的直线有(  )条.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【分析】在坐标平面内,与点A(1,1)距离为1的直线为圆(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的切线,同理可得在坐标平面内,与点B(1,4)距离为2的直线为圆(x﹣1)2+(y﹣4)2=4的切线,故所求直线为两圆的公切线.‎ ‎【解答】解:在坐标平面内,与点A(1,1)距离为1的直线为圆(x﹣1)2+(y﹣1)2=1的切线,‎ 同理可得在坐标平面内,与点B(1,4)距离为2的直线为圆(x﹣1)2+(y﹣4)2=4的切线,‎ 故所求直线为两圆的公切线,‎ ‎∵|AB|==3=1+2,‎ ‎∴两圆外切,公切线由3条,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了圆的标准方程及其位置关系、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)若关于x的方程﹣kx﹣3+2k=0有且只有两个不同的实数根,则实数k的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况,再用数形结合,先求出相切时的斜率,再得到有两个交点的情况.‎ ‎【解答】解:将方程转化为:‎ 半圆,与直线y=kx+3﹣2k有两个不同交点.‎ 当直线与半圆相切时,有 k=‎ ‎∴半圆与直线y=kx+3﹣2k有两个不同交点时.‎ 直线y=kx+3﹣2k=k(x﹣2)+3,一定过(2,3),由图象知直线过(﹣2,0)时直线的斜率k取最大值为 k∈‎ 故选D ‎【点评】本题主要考查用解析几何法来解决方程根的情况,关键是能够转化为一些特定的曲线才能用数形结合求解.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)已知椭圆T:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与T相交于A,B两点,若=3,则k=(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),根据求得y1和y2关系根据离心率设,b=t,代入椭圆方程与直线方程联立,消去x,根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2,进而根据y1和y2关系求得k.‎ ‎【解答】解:A(x1,y1),B(x2,y2),‎ ‎∵,∴y1=﹣3y2,‎ ‎∵,设,b=t,‎ ‎∴x2+4y2﹣4t2=0①,‎ 设直线AB方程为,代入①中消去x,可得,‎ ‎∴,,‎ 解得,‎ 故选B ‎【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.此类题问题综合性强,要求考生有较高地转化数学思想的运用能力,能将已知条件转化到基本知识的运用.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)已知椭圆 C:=1,点 M1,M2…M5为其长轴 AB 的 6 等分点,分别过这五点作斜率为 k(k≠0)的一组平行线,交椭圆 C于 P1,P2…P10,则10条直线 AP1,AP2…AP10的斜率乘积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】解法一:设直线 P1P2 的方程为 x=my+t,代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式,当 t 分别取 、、0、、 时,代入即可求得10条直线 AP1,AP2…AP10的斜率乘积;‎ 解法二:利用椭圆的性质可得得•=•=﹣=﹣.及其椭圆的对称性可得=,=,进而得出答案.‎ ‎【解答】解(法一):设其中的任一等分点为 M(t,0),过 M(t,0)的直线交椭圆于点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),‎ 不妨设直线 P1P2 的方程为 x=my+t,则与椭圆方程联立可得:,整理后可得 (m2+2)y2+2mty+t2﹣2=0.‎ 从中可以得到 ,所以 .‎ 当 t 分别取 、、0、、 时,算出斜率的乘积为=(﹣)5=﹣.‎ 故选D.‎ 解法二::如图所示,‎ 由椭圆的性质可得•=•=﹣=﹣.‎ 由椭圆的对称性可得=,=,‎ ‎∴•=﹣,‎ 同理可得kAP3•=•=•=•=﹣.‎ ‎∴直线AP1,AP2,…,AP10这10条直线的斜率乘积=(﹣)5=﹣.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置,椭圆的性质,直线的斜率公式,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)关于下列命题,正确的个数是(  )‎ ‎(1)若点(2,1)在圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0外,则k>2或k<﹣4‎ ‎(2)已知圆M:(x+cosθ)2+(y﹣sinθ)2=1,直线y=kx,则直线与圆恒相切 ‎(3)已知点P是直线2x+y+4=0上一动点,PA、PB是圆C:x2+y2﹣2y=0的两条切线,A、B是切点,则四边形PACB的最小面积是为2‎ ‎(4)设直线系M:xcosθ+ysinθ=2+2cosθ,M中的直线所能围成的正三角形面积都等于12.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【分析】点(2,1)在圆外,则k2+2k﹣8>0,解得k<﹣4,或k>2,故(1)正确;利用点到直线的距离公式,得到d=,再利用辅助角公式化简得d=|sin(θ+φ)|,从而d≤r,则直线与圆相交或相切,故(2)错误;因为S四边形PACB=2SRt△PAC=PA,而PA=,所以当PC取得最小值时,四边形PACB的面积最小.又因为PC的最小值就是圆心C到直线的距离d,利用点到直线的距离公式即可算出d=,所以四边形PACB的面积为2,故(3)正确;由直线系M的方程可知,所以直线都是定圆(x﹣2)2+y2=4的切线,利用圆的半径即可算出正三角形的面积,故(4)正确.‎ ‎【解答】解:对于(1):∵点(2,1)在圆外,∴k2+2k﹣8>0,解得k<﹣4,或k>2,故(1)正确;‎ 对于(2):圆心M到直线的距离d==|sin(θ+φ)|,其中sinφ=,cosφ=,‎ ‎∵|sin(θ+φ)|≤1,∴直线与圆相交或相切.故(2)错误;‎ 对于(3):圆C:x2+y2﹣2y=0,即x2+(y﹣1)2=1,故圆心C(0,1),半径r=1,‎ 圆心C到直线2x+y+4=0的距离d=,即PCmin=,‎ ‎∵,∴PAmin=2,‎ ‎∵,∴(S四边形PACB)min=2,故(3)正确;‎ 对于(4):直线系M:xcosθ+ysinθ=2+2cosθ,即(x﹣2)cosθ+ysinθ=2‎ ‎∵点(2,0)到直线的距离d=,‎ ‎∴直线系M都是圆C:(x﹣2)2+y2=4的切线.‎ 设△ABC是M中的直线所能围成的一个正三角形,则AC=2r=4,AB=2AD=2‎ ‎∴S=,故(4)正确.‎ 综上可知,正确的是(1),(3),(4),共有3个.‎ 故选:C ‎【点评】本题考查了点与圆的位置关系,直线系的应用以及直线与圆的位置关系,考查了转化和数形结合等数学思想方法,属于中档题 ‎ ‎ 二、填空题:(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷上的相应位置).‎ ‎13.(5分)若P(2,1)为圆(x﹣1)2+y2‎ ‎=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为 x+y﹣3=0 .‎ ‎【分析】由圆的方程找出圆心C的坐标,连接CP,由P为弦AB的中点,根据垂径定理的逆定理得到CP垂直于AB,根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1,由P与C的坐标求出直线PC的斜率,进而确定出弦AB所在直线的斜率,由P的坐标及求出的斜率,写出直线AB的方程即可.‎ ‎【解答】解:由圆(x﹣1)2+y2=25,得到圆心C坐标为(1,0),‎ 又P(2,1),∴kPC==1,‎ ‎∴弦AB所在的直线方程斜率为﹣1,又P为AB的中点,‎ 则直线AB的方程为y﹣1=﹣(x﹣2),即x+y﹣3=0.‎ 故答案为:x+y﹣3=0‎ ‎【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,垂径定理,两直线垂直时斜率满足的关系,以及直线的点斜式方程,根据题意得出直线PC与直线AB垂直是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)若命题“∃x∈R,使x2+(a﹣1)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围为 ﹣1≤a≤3 .‎ ‎【分析】先求出命题的否定,再用恒成立来求解 ‎【解答】解:命题“∃x∈R,使x2+(a﹣1)x+1<0”的否定是:““∀x∈R,使x2+(a﹣1)x+1≥0”‎ 即:△=(a﹣1)2﹣4≤0,‎ ‎∴﹣1≤a≤3‎ 故答案是﹣1≤a≤3‎ ‎【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知△‎ ABC顶点A(﹣3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆上,则=  .‎ ‎【分析】由正弦定理和椭圆的定义可知=,即可.‎ ‎【解答】解:由椭圆方程得:a=5,b=4,c=3.‎ ‎∵三角形ABC顶点A(﹣3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆上,‎ ‎∴BC+AB=2a=10,‎ ‎∴由正弦定理可知=‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查正弦定理和椭圆的定义,考查学生分析解决问题的能力,正确运用正弦定理和椭圆的定义是关键.属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)已知以T=4为周期的函数f(x)=,其中m>0.若方程3f(x)=x恰有5个实数解,则m的取值范围为  .‎ ‎【分析】根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈(﹣1,1],[3,5],[7,9]上时,f(x)的图象为半个椭圆.根据图象推断要使方程恰有5个实数解,则需直线y=与第二个椭圆相交,而与第三个椭圆不公共点.把直线分别代入椭圆方程,根据△可求得m的范围.‎ ‎【解答】解:∵当x∈(﹣1,1]时,将函数化为方程x2+=1(y≥0),‎ ‎∴实质上为一个半椭圆,其图象如图所示,‎ 同时在坐标系中作出当x∈(1,3]得图象,再根据周期性作出函数其它部分的图象,‎ 由图易知直线 y=与第二个椭圆(x﹣4)2+=1(y≥0)相交,‎ 而与第三个半椭圆(x﹣8)2+=1 (y≥0)无公共点时,方程恰有5个实数解,‎ 将 y=代入(x﹣4)2+=1 (y≥0)得,(9m2+1)x2﹣72m2x+135m2=0,令t=9m2(t>0),‎ 则(t+1)x2﹣8tx+15t=0,由△=(8t)2﹣4×15t (t+1)>0,得t>15,由9m2>15,且m>0得 m,‎ 同样由 y=与第三个椭圆(x﹣8)2+=1 (y≥0)由△<0可计算得 m<,‎ 综上可知m∈(,)‎ 故答案为:(,)‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的周期性.采用了数形结合的方法,很直观.‎ ‎ ‎ 三、解答题:(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤).‎ ‎17.(10分)已知 m>0,p:(x+1)(x﹣5)≤0,q:1﹣m≤x≤1+m.‎ ‎(1)若p是q 的充分条件,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)若m=5,“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数x的取值范围.‎ ‎【分析】(1)求出p的范围,根据集合的包含关系得到关于m的不等式组,求出m的范围即可;‎ ‎(2)求出q为真时的x的范围,通过讨论p,q的真假,得到关于x的不等式组,解出即可.‎ ‎【解答】解:(1)由题知 p:﹣1≤x≤5.‎ 因为 p 是 q 的充分条件,所以[﹣1,5]是[1﹣m,1+m]的子集,‎ 所以 解得 m≥4.所以实数 m 的取值范围是[4,+∞).‎ ‎(2)当 m=5 时,q:﹣4≤x≤6,依题意得,p 与 q 一真一假.‎ 当 p 真 q 假时,有 无解;‎ 当 p 假 q 真时,有 解得﹣4≤x<﹣1 或 5<x≤6.‎ 所以实数 x 的取值范围为[﹣4,﹣1)∪(5,6].‎ ‎【点评】本题考查了集合的包含关系,考查充分必要条件以及分类讨论思想,是一道中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0.求:‎ ‎(1)顶点C的坐标;‎ ‎(2)直线BC的方程.‎ ‎【分析】(1)设C(m,n),利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出;‎ ‎(2)利用中点坐标公式、点斜式即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)设C(m,n),‎ ‎∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0.‎ ‎∴,解得.‎ ‎∴C(4,3).‎ ‎(2)设B(a,b),则,解得.‎ ‎∴B(﹣1,﹣3).‎ ‎∴kBC==‎ ‎∴直线BC的方程为y﹣3=(x﹣4),化为6x﹣5y﹣9=0.‎ ‎【点评】本题考查了点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、点斜式,考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)椭圆ax2+by2=1与直线x+y﹣1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,OC的斜率为,求椭圆的方程.‎ ‎【分析】方法一:利用点差法,求得=kOC=,代入b=a.利用弦长公式求得()2﹣4•=4.则a=,∴b=;‎ 方法二:将直线方程代入椭圆方程利用弦长公式=1.①OC的斜率为,∴=.代入①,即可求得a和b的值,求得椭圆方程.‎ ‎【解答】解:方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程并作差,得 a(x1+x2)(x1﹣x2)+b(y1+y2)(y1﹣y2)=0.而=﹣1,=kOC=,‎ 代入上式可得b=a.‎ 再由|AB|=|x2﹣x1|=|x2﹣x1|=2,‎ 其中x1,x2是方程(a+b)x2﹣2bx+b﹣1=0的两根.‎ 故()2﹣4•=4.将b=a代入,得a=,∴b=.‎ ‎∴所求椭圆的方程是;‎ 方法二:由,整理得(a+b)x2﹣2bx+b﹣1=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|==•.‎ ‎∵|AB|=2,∴=1.①‎ 设C(x,y),则x==,y=1﹣x=.‎ ‎∵OC的斜率为,∴=.代入①,得a=,b=.‎ ‎∴椭圆方程为.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法,直线与椭圆的位置关系,弦长公式,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)平面上两点A(﹣1,0),B(1,0),在圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4上取一点P,‎ ‎(Ⅰ)x﹣y+c≥0恒成立,求c的范围 ‎(Ⅱ)从x+y+1=0上的点向圆引切线,求切线长的最小值 ‎(Ⅲ)求|PA|2+|PB|2的最值及此时点P的坐标.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由x﹣y+c≥0,得c≥y﹣x,由圆的参数方程得c≥4+2sinθ﹣3﹣2cosθ,即可求c的范围;‎ ‎(Ⅱ)求出圆心C到直线x+y+1=0的距离为,利用勾股定理求切线长的最小值;‎ ‎(Ⅲ)设出的是PP(a,b),使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题,利用数形结合法求最值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由x﹣y+c≥0,得c≥y﹣x,由圆的参数方程得c≥4+2sinθ﹣3﹣2cosθ,所以 ‎(Ⅱ)圆心C到直线x+y+1=0的距离为,切线长的最小值为 ‎(Ⅲ)设P(a,b),则|PA|2+|PB|2=2a2+2b2+2,a2+b2为圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4上的点到原点的距离平方,所以最小值为20,;最大值为100,.‎ ‎【点评】本题考查圆的参数方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)已知椭圆,四点中恰有三点在椭圆上.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点,若直线P1A与P2B直线的斜率的和为﹣1,证明:l过定点.‎ ‎【分析】(1)根据椭圆的对称性,得到P2,P3,P4三点在椭圆C上.把P2,P3代入椭圆C,求出a2=4,b2=1,由此能求出椭圆C的方程.‎ ‎(2)当斜率不存在时,不满足;当斜率存在时,设l:y=kx+b,(b≠1),与椭圆方程联立,得(1+4k2)x2+8kbx+4b2﹣4=0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程,结合已知条件能证明直线l过定点(2,﹣1).‎ ‎【解答】解:(1)根据椭圆的对称性,得到P2,P3,P4三点在椭圆C上.把P2,P3代入椭圆C,‎ 得,‎ 得出a2=4,b2=1,由此椭圆C的方程为.‎ 证明:(2)①当斜率不存在时,设l:x=m,A(m,yA),B(m,﹣yA),‎ ‎∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1,=﹣1‎ ‎ 解得m=2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.‎ ‎②当斜率存在时,设l:y=kx+b,(b≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立,整理,得(1+4k2)x2+8kbx+4b2﹣4=0,‎ ‎…①‎ ‎∵直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1,‎ ‎∴==…②‎ ‎①代入②得:‎ ‎ 又b≠1,∴b=﹣2k﹣1,此时△=﹣64k,存在k,使得△>0成立,‎ ‎∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1,‎ 当x=2时,y=﹣1,‎ ‎∴l过定点(2,﹣1).‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.‎ ‎(i)求||的值;‎ ‎(ii)求△ABQ面积的最大值.‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和a,b,c的关系,计算即可得到b,进而得到椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)求得椭圆E的方程,(i)设P(x0,y0),||=λ,求得Q的坐标,分别代入椭圆C,E的方程,化简整理,即可得到所求值;‎ ‎(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=kx+m代入椭圆E的方程,运用韦达定理,三角形的面积公式,将直线y=kx+m代入椭圆C的方程,由判别式大于0,可得t的范围,结合二次函数的最值,又△ABQ的面积为3S,即可得到所求的最大值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,PF1+PF2=2a=4,可得a=2,‎ 又=,a2﹣c2=b2,‎ 可得b=1,即有椭圆C的方程为+y2=1;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆E的方程为+=1,‎ ‎(i)设P(x0,y0),||=λ,由题意可知,‎ Q(﹣λx0,﹣λy0),由于+y02=1,‎ 又+=1,即(+y02)=1,‎ 所以λ=2,即||=2;‎ ‎(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=kx+m代入椭圆E的方程,可得 ‎(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,由△>0,可得m2<4+16k2,①‎ 则有x1+x2=﹣,x1x2=,所以|x1﹣x2|=,‎ 由直线y=kx+m与y轴交于(0,m),‎ 则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•‎ ‎=2,设=t,则S=2,‎ 将直线y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,‎ 由△≥0可得m2≤1+4k2,②‎ 由①②可得0<t≤1,则S=2在(0,1]递增,即有t=1取得最大值,‎ 即有S,即m2=1+4k2,取得最大值2,‎ 由(i)知,△ABQ的面积为3S,‎ 即△ABQ面积的最大值为6.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理,同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值,属于中档题.‎ ‎ ‎
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