数学卷·2018届安徽省宣城市郎溪中学高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届安徽省宣城市郎溪中学高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年安徽省宣城市郎溪中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知函数f（x）=2ln3x+8x，则的值为（　　）‎ A．﹣20 B．﹣10 C．10 D．20‎ ‎2．若曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎3．定积分（2x+ex）dx的值为（　　）‎ A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1‎ ‎4．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（　　）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 ‎5．设点P是曲线y=ex﹣x+上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）‎ A．[） B．[0，）∪（） C．[0，）∪[，π） D．[，）‎ ‎6．下列推理正确的是（　　）‎ A．由a（b+c）=ab+ac类比得到loga（x+y）=logax+logay B．由a（b+c）=ab+ac类比得到sin（x+y）=sinx+siny C．由（a+b）+c=a+（b+c）类比得到（xy）z=x（yz）‎ D．由（ab）n=anbn类比得到（x+y）n=xn+yn ‎7．函数f（x）=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是（　　）‎ A．12，﹣15 B．﹣4，﹣15 C．12，﹣4 D．5，﹣15‎ ‎8．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．若函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞）‎ ‎10．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2‎ ‎11．已知函数y=f（x）（x∈R）导函数为f′（x），f（0）=2，且f（x）+f′（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex+1的解集为（　　）‎ A．{x|x＞0} B．{x|x＜0} C．{x|x＜﹣1或0＜x＜1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}‎ ‎12．已知，f（x）在x=x0处取得最大值，以下各式中正确的序号为（　　）‎ ‎①f（x0）＜x0；‎ ‎②f（x0）=x0；‎ ‎③f（x0）＞x0；‎ ‎④；‎ ‎⑤．‎ A．①④ B．②④ C．②⑤ D．③⑤‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．观察下列等式：‎ ‎1=1‎ ‎3+5=8‎ ‎5+7+9=21‎ ‎7+9+11+13=40‎ ‎9+11+13+15+17=65‎ ‎…‎ 按此规律，第7个等式右边等于　　．‎ ‎14．若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y=f（x）在I 上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为　　．‎ ‎15．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是　　．‎ ‎16．已知f（x）=lgx，函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：‎ ‎①0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）；‎ ‎②0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）；‎ ‎③＞0；‎ ‎④f（）＜．‎ 上述结论中正确结论的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（1）如果a，b都是正数，且a≠b，求证：‎ ‎（2）数列{an}中，已知an＞0且（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3，求出a1，a2，a3，并猜想an．‎ ‎18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1在x=﹣与x=1时都取得极值 ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）求过点（0，1）的f（x）的切线方程．‎ ‎19．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售100件．通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x2．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）‎ ‎（1）写出y与x的函数关系式；‎ ‎（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．‎ ‎20．已知函数f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x在点（2，f（2））的切线与直线3x﹣2y﹣1=0垂直．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（3）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．‎ ‎21．已知函数f（x）=ex﹣ax2+1的定义域为R，其导函数为f'（x）‎ ‎（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若a=1，证明：＞2﹣2ln2，其中x1≠x2．‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调增区间；‎ ‎（2）设函数．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年安徽省宣城市郎溪中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知函数f（x）=2ln3x+8x，则的值为（　　）‎ A．﹣20 B．﹣10 C．10 D．20‎ ‎【考点】极限及其运算．‎ ‎【分析】利用导数的定义与运算法则即可得出．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=2ln3x+8x，‎ ‎∴f′（x）=+8，∴f′（1）=10．‎ ‎∴=2=2f′（1）=20．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．若曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：y=ax﹣ln（x+1），y′=a﹣，‎ ‎∴=a﹣1，‎ 而直线2x﹣y﹣6=0的斜率是2，‎ 故a﹣1=2，解得：a=3，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．定积分（2x+ex）dx的值为（　　）‎ A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】根据微积分基本定理计算即可．‎ ‎【解答】解：（2x+ex）dx=（x2+ex）|=（1+e）﹣（0+e0）=e．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（　　）‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 ‎【考点】演绎推理的基本方法．‎ ‎【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．‎ ‎【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，‎ 因为对于可导函数f（x），如果f'（x0）=0，且满足当x=x0附近的导函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，‎ ‎∴大前提错误，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．设点P是曲线y=ex﹣x+上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）‎ A．[） B．[0，）∪（） C．[0，‎ ‎）∪[，π） D．[，）‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义结合三角函数的图象和性质进行求解即可．‎ ‎【解答】解：函数的导数f′（x）=ex﹣＞﹣，‎ 即切线的斜率满足k=tanα＞﹣，‎ 则α∈[0，）∪（），‎ 故选：B ‎　‎ ‎6．下列推理正确的是（　　）‎ A．由a（b+c）=ab+ac类比得到loga（x+y）=logax+logay B．由a（b+c）=ab+ac类比得到sin（x+y）=sinx+siny C．由（a+b）+c=a+（b+c）类比得到（xy）z=x（yz）‎ D．由（ab）n=anbn类比得到（x+y）n=xn+yn ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】分别利用运算的法则：A利用对数的运算法则；B利用三角函数的运算法则；C利用乘法的运算法则；C利用乘方的运算法则逐个进行验证，判断每个小题的正误．‎ ‎【解答】解：根据对数的运算法则知：loga（x+y）≠logax+logay，A不正确；‎ 根据三角函数的运算法则知：sin（x+y）≠sinx+siny，B不正确；‎ 根据乘法的运算法则知：（xy）z=x（yz），C正确；‎ 根据幂的运算法则知：（x+y）n≠xn+yn，D不正确；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．函数f（x）=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是（　　）‎ A．12，﹣15 B．﹣4，﹣15 C．12，﹣4 D．5，﹣15‎ ‎【考点】函数的值域．‎ ‎【分析】先对函数f（x）求导，然后令导数为0，求出x的值，分别求出f（x）在拐点及x=0和x=3时的值，通过比较即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵f′（x）=6x2﹣6x﹣12，令f′（x）=0，得x=﹣1或x=2，‎ ‎∴f（﹣1）=12，f（2）=﹣15，‎ ‎∵f（0）=5，f（3）=﹣4，‎ ‎∴f（x）max=5，f（x）min=﹣15，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．‎ ‎【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，‎ 根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．若函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[3，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质．‎ ‎【分析】求出函数f（x）的导函数，由导函数在（，+∞）大于等于0恒成立解答案 ‎【解答】解：由f（x）=x2+ax+，得f′（x）=2x+a﹣=‎ ‎，‎ 令g（x）=2x3+ax2﹣1，‎ 要使函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）是增函数，‎ 则g（x）=2x3+ax2﹣1在x∈（，+∞）大于等于0恒成立，‎ g′（x）=6x2+2ax=2x（3x+a），‎ 当a=0时，g′（x）≥0，g（x）在R上为增函数，则有g（）≥0，解得+﹣1≥0，a≥3（舍）；‎ 当a＞0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（）≥0，解得+﹣1≥0，a≥3；‎ 当a＜0时，同理分析可知，满足函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）是增函数的a的取值范围是a≥3（舍）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则=（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据函数导数和极值之间的关系，求出对应a，b，c的关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，‎ 即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，‎ ‎∵f（x）=ax3+bx2+cx+d，‎ ‎∴f′（x）=3ax2+2bx+c，‎ 由f′（x）=3ax2+2bx+c=0，‎ 得2+（﹣1）=﹣=1，‎ ‎﹣1×2==﹣2，‎ 即c=﹣6a，2b=﹣3a，‎ 即f′（x）=3ax2+2bx+c=3ax2﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），‎ 则f′（﹣2）=3a（﹣2﹣2）（﹣2+1）=12a，‎ f′（1）=3a（1﹣2）（1+1）=﹣6a，‎ ‎∴==﹣2，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数y=f（x）（x∈R）导函数为f′（x），f（0）=2，且f（x）+f′（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex+1的解集为（　　）‎ A．{x|x＞0} B．{x|x＜0} C．{x|x＜﹣1或0＜x＜1} D．{x|x＜﹣1或x＞1}‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】令g（x）=exf（x）﹣ex﹣1，利用导数可判断函数g（x）的单调性，由已知条件可得函数g（x）的零点，由此可解得不等式．‎ ‎【解答】解：令g（x）=exf（x）﹣ex﹣1，则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，‎ ‎∵f（x）+f′（x）＞1，‎ ‎∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，‎ ‎∴g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，‎ 又f（0）=2，∴g（0）=e0f（0）﹣e0﹣1=2﹣1﹣1=0，‎ 故当x＞0时，g（x）＞g（0），即exf（x）﹣ex﹣1＞0，整理得exf（x）＞ex+1，‎ ‎∴exf（x）＞ex+1的解集为{x|x＞0}．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．已知，f（x）在x=x0‎ 处取得最大值，以下各式中正确的序号为（　　）‎ ‎①f（x0）＜x0；‎ ‎②f（x0）=x0；‎ ‎③f（x0）＞x0；‎ ‎④；‎ ‎⑤．‎ A．①④ B．②④ C．②⑤ D．③⑤‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】求导函数，可得令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x0，代入验证，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：求导函数，可得令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x0，‎ ‎∴﹣x0﹣1=lnx0‎ ‎∴f（x0）==x0，即②正确 ‎ ‎=‎ ‎∵﹣x0﹣1=lnx0，‎ ‎∴=‎ x=时，f′（）=﹣＜0=f′（x0）‎ ‎∴x0在x=左侧 ‎∴x0＜‎ ‎∴1﹣2x0＞0‎ ‎∴＜0‎ ‎∴‎ ‎∴④正确 综上知，②④正确 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．观察下列等式：‎ ‎1=1‎ ‎3+5=8‎ ‎5+7+9=21‎ ‎7+9+11+13=40‎ ‎9+11+13+15+17=65‎ ‎…‎ 按此规律，第7个等式右边等于　133　．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】根据前四个式子的规律，归纳出规律，进而可得第7个等式．‎ ‎【解答】解：由题意，第7个式子的第一个数为13，后面是连续7个奇数的和．‎ 所以等式的左边为13+15+17+19+21+23+25=133．‎ 故答案为：133．‎ ‎　‎ ‎14．若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y=f（x）在I 上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为　1　．‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】由“弱增函数”的定义知h（x）在（0，1）上递增，在（0，1）上递减，分别根据二次函数、“对勾函数”的单调性求出b的取值范围，二者取交集即可求得b值．‎ ‎【解答】解：因为h（x）在（0，1]上是“弱增函数”，所以h（x）在（0，1）上递增，在（0，1）上递减．‎ ‎（1）由h（x）在（0，1）上递增，得≤0，解得b≤1；‎ ‎（2）由=x+﹣（b﹣1）在（0，1）上递减，得 ‎①若b≤0， =x+﹣（b﹣1）在（0，+∞）上递增，不合题意；‎ ‎②若b＞0，由=x+﹣（b﹣1）在（0，1）上递减，得≥1，解得b≥1，‎ 综上，得b≥1，‎ 由（1）（2），得b=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎15．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】利用定积分计算公式，算出曲线y=sinx与y=cosx围成的区域包含在区域D内的图形面积为S=2π，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率 ‎【解答】解：根据题意，可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域，‎ 其面积为=（﹣cosx﹣sinx）|‎ ‎=1﹣（﹣﹣）=1+；‎ 又矩形ABCD的面积为2π，‎ 由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是；‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知f（x）=lgx，函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：‎ ‎①0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）；‎ ‎②0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）；‎ ‎③＞0；‎ ‎④f（）＜．‎ 上述结论中正确结论的序号是　①③　．‎ ‎【考点】导数的运算；对数函数的单调性与特殊点．‎ ‎【分析】据导数的几何意义及对数函数的图象特点，判断出①对②错；利用对数函数的图象其任意两点连线的斜率都大于0判断出③对；利用对数函数的图象上凸得到④错．‎ ‎【解答】解：对于①②，由于f′（3），f′（2）分别表示f（x）在x=3，x=2处的切线斜率，f（3）﹣f（2）表示（2，f（2））与 ‎（3，f（3））两点连线的斜率，画出f（x）的图象，数学结合判断出①对 对于③，表示y=lgx上任两个点的连线的斜率，由于y=lgx是增函数，故有 成立，故③正确 对于④，由于f（x）的图象时上凸性质，所以有，故④不正确 故答案为：①③‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（1）如果a，b都是正数，且a≠b，求证：‎ ‎（2）数列{an}中，已知an＞0且（a1+a2+…+an）2=a13+a23+…+an3，求出a1，a2，a3，并猜想an．‎ ‎【考点】不等式的证明．‎ ‎【分析】（1）利用基本不等式，即可证明结论；‎ ‎（2）直接代入a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2计算即可求出a1，a2，a3，通过a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2与a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2作差、整理可知an+12=2（a1+a2+…+an）+an+1，将上述等式与an2=2（a1+a2++an﹣1）+an（n≥2）作差、整理可知数列{an}是首项为1、公差为1的等差数列，计算即得结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵a，b都是正数，且a≠b，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎（2）解：依题意，a13=a12，‎ 解得：a1=1或a1=0（舍）；‎ 又∵a13+a23=（a1+a2）2，即1+a23=（1+a2）2，‎ ‎∴1+a23=1+2a2+a22，‎ 解得：a2=2或a2=﹣1（舍）；‎ ‎∴a1、a2的值分别为1、2；‎ ‎∵a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2，①‎ ‎∴a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2．②‎ ‎②﹣①，得an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2﹣（a1+a2+…+an）2，‎ 整理得：an+13=[2（a1+a2+…+an）+an+1）]an+1，‎ 又∵an＞0，‎ ‎∴an+12=2（a1+a2+…+an）+an+1．③‎ 同样有an2=2（a1+a2++an﹣1）+an（n≥2），④‎ ‎③﹣④，得an+12﹣an2=an+1+an．‎ ‎∴an+1﹣an=1．‎ 由于a2﹣a1=1，即当n≥1时都有an+1﹣an=1，‎ ‎∴数列{an}是首项为1、公差为1的等差数列，‎ 故数列{an}的通项公式an=n．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1在x=﹣与x=1时都取得极值 ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）求过点（0，1）的f（x）的切线方程．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）由题意可知x1=﹣与x2=1是方程3x2+2ax+b=0的两个根，利用韦达定理即可求得a，b的值；‎ ‎（2）设的切点坐标，则切线的斜率k=3t2﹣t﹣2，将（0，1）代入点斜式方程，即可求得t的值，代入点斜式方程，即可求得过点（0，1）的f（x）的切线方程．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+1，求导f′（x）=3x2+2ax+b，‎ 由f（x）在x1=﹣与x2=1时都取得极值，‎ 则x1+x2=﹣，x1x2=，‎ 即﹣+1=﹣，﹣×1=，解得：a=﹣，b=﹣2，‎ a，b的值﹣，﹣2；‎ ‎（2）则f（x）=x3﹣x2﹣2x+1，f′（x）=3x2﹣x﹣2，‎ 设切点为（t，t3﹣t2﹣2t+1），切线斜率k=3t2﹣t﹣2，‎ 则切线方程为y﹣（t3﹣t2﹣2t+1）=（3t2﹣t﹣2）（x﹣t），‎ 由直线方程过（0，1），代入切线方程，解得：t=0或t=，‎ 当t=0时则f（x）在（0，1）切线方程的斜率k=f′（0）=﹣2，‎ 则在（0，1）处的切线方程y﹣1=﹣2（x﹣0），整理得：2x+y﹣1=0，‎ 当t=，则切点为（，），切线斜率k=﹣，‎ 则切线方程为：y﹣=﹣（x﹣），整理得：33x+16y﹣16=0，‎ 综上可知：切线方程为：2x+y﹣1=0或33x+16y﹣16=0．‎ ‎　‎ ‎19．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售100件．通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x2．记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）‎ ‎（1）写出y与x的函数关系式；‎ ‎（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）由题易知每件产品的销售价为20（1+x），则月平均销售量为100（1﹣x2）件，利润则是二者的积去掉成本即可．‎ ‎（2）由（1）可知，利润函数是一元三次函数关系，可以对其求导解出其最值．‎ ‎【解答】解：（1）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x），月平均销售量为100（1﹣x2）件，‎ 则月平均利润y=100（1﹣x2）•[20（1+x）﹣15]，‎ ‎∴y与x的函数关系式为y=500（1+4x﹣x2﹣4x3）．‎ 故函数关系式为：y=500（1+4x﹣x2﹣4x3）（0＜x＜1）；‎ ‎（2）由y'=500（4﹣2x﹣12x2）=0得x=或x=﹣（舍）‎ 当0时，y'＞0；时 y'＜0，‎ ‎∴函数y=500（1+4x﹣x2﹣4x3）（0＜x＜1）在x=取得最大值，最大值是11125元．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x在点（2，f（2））的切线与直线3x﹣2y﹣1=0垂直．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（3）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，从而得到f′（2）=﹣，解出即可；‎ ‎（2）由（1）确定函数f（x）的解析式，再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得单调区间；‎ ‎（3）由（2）得到函数的极值点，求得极小值和极大值得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x在点（2，f（2））的切线与直线3x﹣2y﹣1=0垂直，‎ ‎∴f（x）=aln（1+x）+x2﹣10x在点（2，f（2））的切线斜率为：k=…‎ 又∵…‎ ‎∴，解得a=16，‎ ‎（2）由（1）知，f（x）=16ln（1+x）+x2﹣10x，x∈（﹣1，+∞），‎ ‎，‎ 当x∈（﹣1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0‎ 当x∈（1，3）时，f′（x）＜0‎ 所以f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（3，+∞）f（x）的单调减区间是（1，3）‎ ‎（3）由（2）知，f（x）的极大值为f（1）=16ln2﹣9，极小值为f（3）=32ln2﹣21．‎ 且当x从右侧无限接近于﹣1时，f（x）趋于﹣∞，当x无限大时，f（x）趋于+∞，‎ ‎∴若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，则b的取值范围是（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ex﹣ax2+1的定义域为R，其导函数为f'（x）‎ ‎（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若a=1，证明：＞2﹣2ln2，其中x1≠x2．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤在（0，+∞）恒成立，令g（x）=，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；‎ ‎（2）求出函数f（x）的导数，问题转化为f′（x）＞2﹣2ln2，求出f′（x）的导数，根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=ex﹣2ax，‎ 若f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 则a≤在（0，+∞）恒成立，‎ 令g（x）=，（x＞0），‎ 则g′（x）=，‎ 令g′（x）＞0，解得：x＞1，‎ 令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，‎ 故g（x）min=g（1）=，‎ 故a≤；‎ ‎（2）a=1时，f（x）=ex﹣x2+1，‎ f′（x）=ex﹣2x，f″（x）=ex﹣2，‎ 令f″（x）＞0，解得：x＞ln2，‎ 令f″（x）＜0，解得：x＜ln2，‎ 故f′（x）在（﹣∞，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，‎ 故f′（x）min=f（ln2）=2﹣2ln2，‎ 即＞2﹣2ln2，其中x1≠x2．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调增区间；‎ ‎（2）设函数．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论①当a≤0时②当0＜a＜1时③当a≥1时，从而得出函数的单调区间；‎ ‎（2）将问题至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，转化为否定是∀x∈[1，e]，有f（x）≤g（x）成立，从而求出a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx，其定义域为x＞0‎ ‎∴f′（x）=a（1+）﹣=，‎ 令a（1+x2）﹣2x=ax2﹣2x+a=0，‎ ‎∴△=4﹣4a2≥0，解得：﹣1≤a≤1‎ ‎∵x＞0，∴0＜a≤1时f′（x）=0有解，‎ ‎①当a≤0时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在定义域内单调递减；‎ ‎②当0＜a＜1时，令a（1+x2）﹣2x=0，解得：x=，‎ x∈（0，）时，f′（x）＞0，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，‎ ‎③当a≥1时，f′（x）≥0，函数f（x）在定义域内单调增，‎ 综上：当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在定义域内单调递减，‎ 当0＜a＜1时，x∈（0，）时，函数f（x）单调递增；，x∈（，+∞）时，函数f（x）单调递减；‎ 当a≥1时，函数f（x）在定义域内单调增．‎ ‎（2）至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，‎ 否定是∀x∈[1，e]，有f（x）≤g（x）成立，‎ ‎∵f（x）﹣g（x）=ax﹣2lnx，令ax﹣lnx≤0，解得：a≤，‎ 令h（x）=（x∈[1，e]），‎ ‎∴h′（x）=＞0，‎ ‎∴h（x）在[1，e]递增，‎ ‎∴h（x）min=h（1）=0，‎ ‎∴a≤0，‎ 故若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则只需a＞0即可 实数a的取值范围为（0，+∞）．‎