【数学】2020届一轮复习人教A版不等式选讲（理）学案
专题37 不等式选讲
一．【学习目标】
1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
①|a＋b|≤|a|＋|b|；
②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.
2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
3．会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最(极)值．
4．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．
二．【知识要点】
1．绝对值的概念和几何意义
代数：|a|＝
几何意义：|a|表示数轴上坐标为±a的点A到原点的距离．
2．绝对值不等式性质
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时取等号；
(2)|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时取等号．
3．绝对值不等式的解法
原则是转化为不含绝对值的不等式求解．
基本型：a＞0，|x|＜a⇔-a
a ．
(1)c＞0，|ax＋b|≤c⇔，|ax＋b|≥c⇔．
(2)c＞0，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.
三种解法：图解法(数形结合)、零点分区法(定义)、绝对值的几何意义(数轴)．
4．比较法证明不等式
(1)作差比较法：
知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明ａ－ｂ＞０
即可，这种方法称为作差比较法．
(2)作商比较法：
由a＞b＞0⇔＞1且a>0，b＞0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明即可，这种方法称为作商比较法．
5．综合法证明不等式
从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，即“由因导果”的方法．这种证明不等式的方法称为综合法或顺推法．
6．分析法证明不等式
证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它 成立的充分条件
，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理、性质、或已证明的定理
等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．
7．反证法证明不等式
先假设要证的命题不成立
，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾的结论，以说明假设不正确
，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．
8．放缩法证明不等式
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小
，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
三．方法总结
1.含绝对值不等式的求解策略
(1)解含有绝对值的不等式的指导思想是设法去掉绝对值符号.常用的方法是：①由定义分段讨论(简称零点分区间法)；②利用绝对值不等式的性质(题型法)；③平方法；④数形结合法等.
(2)解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论.注意：①要考虑参数的总取值范围.②用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏.
(3)含绝对值不等式的证明，要善于应用分析转化法.
(4)灵活运用绝对值不等式的两个重要性质定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，特别注意等号成立的条件.
2.作差比较法是证明不等式最基本、最重要的方法，其关键是变形，通常通过因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断.
3.综合法证明不等式时，主要利用基本不等式、函数的单调性以及不等式的性质，在严密的推理下推导出结论，综合法往往是分析法的逆过程，所以在实际证明时，用分析法分析，用综合法表述证明推理过程.
4.某些不等式的条件与结论，或不等式的左右两边联系不明显，用作差法又难以对差进行变形，难以运用综合法直接证明，这时常用分析法，以便发现联系.分析的过程中，综合条件、定理等因素进行探索，把分析与综合结合起来，形成分析综合法.
5.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法，凡是含有“至少”“唯一”或者含有其他否定词的命题，适宜用反证法.
6.放缩法是一种常用的证题技巧，放缩必须有目标，而目标可以从求证的结论中和中间结果中寻找.常用的放缩技巧有添舍放缩，拆项对比放缩，利用函数的单调性和重要不等式放缩等.
四.典例分析
（一）解绝对值不等式
例1．设函数．
（1）若，解不等式；
（2）求证：．
【答案】（1）;（2）详见解析.
【解析】（1）因为，所以，
即或
故不等式的解集为
（2）由已知得：
所以在上递减，在递增
即
所以
练习1已知函数，.
（Ⅰ）若恒成立，求的最小值；
（Ⅱ）若，求不等式的解集.
【答案】（1）2（2）
练习2．已知函数．
（I）当时，求不等式的解集；
（II）求证：．
【答案】（I）；（II）详见解析.
【解析】（Ⅰ） 当时，，
由，
得
解得
的解集为；
（Ⅱ）
，当且仅当时等号成立.
练习3．已知，其中。
（1）当＝1时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为｛x｜x≤－1｝，求的值。
【答案】(1)；(2) 或.
【解析】当时，
由..
.
所以不等式的解集为
由或
当时，不等式的解集为，由
当时，解集为，不符合题意
当时，不等式的解集为，由
综上所述，或.
（二）不等式恒成立求范围
例2．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，由，得，，
，解得或，所以的解集为
（2）对恒成立，即，
即，对恒成立，
显然，
令，则，在单调递增，，
．
【点睛】绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
④转化为一元二次不等式求解，体现了转化思想.
练习1．已知函数，
（1）当时，解不等式；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
（三）存在性问题求参数范围
例3．已知函数，
当时，解不等式；
若存在，使得不等式的解集非空，求b的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】当时，函数，
解不等式化为，
即，
，
解得，
不等式的解集为；
由，
得，
设，
则不等式的解集非空，等价于；
由，
；
由题意知存在，使得上式成立；
而函数在上的最大值为，
；
即b的取值范围是
练习1．设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围。
【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）由得：，
∴或， 解得：或．………4分
∴不等式的解集是．
（2），当时显然不成立，
所以成立即
令，
即，
所以实数的取值范围是。
练习2．已知函数．
当时，求不等式的解集；
若，，，使得成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】时，函数，
；
当时，不等式化为，解得，即；
当时，不等式化为恒成立，；
当时，不等式化为，解得，即；
综上所述，不等式的解集为；
函数，
函数在上的最小值为，
又，，使得成立，
所以，即，
解得或，
实数k的取值范围是．
练习3.设函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，若存在，使关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）①当，实数的范围是.
②当，实数的范围是.
③当，实数的范围是.
【解析】（1）当时，，
所以不等式等价于或或
解得或或，
综上可得，原不等式的解集为.
（2）当时，存在，使关于的不等式有解，即等价于.
①当，且时，，由解得实数的范围是.
②当，且时，，由解得实数的范围是.
③当，且时，，由解得实数的范围是.
（四）基本不等式证明
例4．已知函数f（x）＝|x＋1|．
（1）若不等式f（x）≥|2x＋1|－1的解集为A，且，求实数t的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若，证明：f（ab）＞f（a）－f（－b）．
【答案】（1）（，2] （2）详见解析
【解析】（1）不等式f（x）≥|2x＋1|－1，即|x＋1|－|2x＋1|＋1≥0．
当x＜－1时，不等式可化为－x－1＋（2x＋1）＋1≥0，解得x≥－1，这时原不等式无解；
当，不等式可化为x＋1＋（2x＋1）＋1≥0，解得x≥－1，这时不等式的解为；
当时，不等式可化为x＋1－（2x＋1）＋1≥0，解得x≤1，这时不等式的解为．
所以不等式f（x）≥|2x＋1|－1的解集为{x|－1≤x≤1}．
因为[1－t，t－2]A，
所以－1≤1－t＜t－2≤1，解得．
即实数t的取值范围是（，2]．
（2）证明：因为f（a）－f（b）＝|a＋1|－|－b＋1|≤a＋1－（－b＋1）＝|a＋b|，
所以要证f（ab）＞f（a）－f（－b）成立，
只需证|ab＋1|＞|a＋b|，即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，
也就是证明a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2成立，
即证a2b2－a2－b2＋1＞0，即证（a2－1）（b2－1）＞0．
因为A＝{x|－1≤x≤1}，，
所以|a|＞1，|b|＞1，a2＞1，b2＞1．
所以（a2－1）（b2－1）＞0成立．
从而对于任意的，都有f（ab）＞f（a）－f（－b）成立．
练习1．（1）解不等式：；
（2）若，，，证明：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）不等式：
或或
或或
解集为.
（2）假设：则
，
，
，故假设与已知矛盾！
故假设不成立，原结论成立.
法1
证明：，
又，
，
，
，
“=”号成立当且仅当“”
法2
证明：
，
，，
，，，
“=”号成立当且仅当“”
练习2.已知正实数，函数.
（1）若，，解关于的不等式；
（2）已知，求证：.
【答案】（1），或，或（2）见证明
（五）柯西不等式的应用
例5．已知实数满足，求证：．
【答案】见解析
【解析】得
，
所以．
练习1．已知，，，设函数，
Ⅰ若，求不等式的解集；
Ⅱ若函数的最小值为1，证明：
【答案】（1）（2）见证明
【解析】（I），不等式，即
当时，
当时，
当时，
解集为
（II）
练习2.已知x，y，z均为正数，且，求证：.
【答案】见证明
【解析】因为x，y，z均为正数，所以均为正数，
由柯西不等式得
，
当且仅当时，等式成立.
因为，
所以，
所以.
练习3. 设a，b，c都是正数，求证：
【答案】见解析
【解析】证：因为
所以.
练习4．若正数，，满足，求的最小值.
【答案】.
【解析】因为正数，，满足，所以，
所以，
即.
当且仅当，，时，取最小值.
（六）排序不等式
例6.（提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准）
（1）设， ， ，且
求证：
（2）设（）求证：
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）证：左式=
=
=
（2）证：由排序不等式，得：
，
两式相加：，从而
，即证.
（七）证明不等式综合
例7.已知函数，，且的解集为.
（1）求的值；
（2）若，，，且，求证：.
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
练习1．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）设，集合中的最小元素为，若，求证：.
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【解析】（1）原不等式等价于，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得.
综上解集.
（2），故，且，
则待证不等式等价于（*）
又，
同理，，，
三式累加得（*）式.
点睛：绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
练习2．已知均为正实数.
（I）求证：；
（II）求证：.
【答案】（I）见解析；（II）见解析.
【解析】（I），
∴．
同理②
③
由①+②+③得：，
当且仅当时各个等号同时成立．
∴．
（II）∵
，
当且仅当时各个等号同时成立．
∴．
（八）不等式的应用
例8. 设，若的解集为.
（1）求实数的值；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）1（2）3
【解析】（1）,
当时，，
当时，，此时无解，
当时，也无解.
（2）由，
则，
所以，此时.
练习1.．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对任意恒成立，求的最小值.
【答案】（1）（2）
练习2．如图，某生态园将一块三角形地的一角开辟为水果园，已知角为， 的长度均大于200米，现在边界处建围墙，在处围竹篱笆.
（1）若围墙、总长度为200米，如何可使得三角形地块面积最大？
（2）已知竹篱笆长为米， 段围墙高1米， 段围墙高2米，造价均为每平方米100元，若，求围墙总造价的取值范围.学_科网
【答案】（1）(米)， (米2)；（2）.
【解析】(1)设 ，利用题意列出面积的表达式，最后利用均值不等式求解最值即可，注意讨论等号成立的条件和实际问题的定义域；
(2)利用题意结合正弦定理求得围墙造价的函数解析式，利用三角形的性质求得 的范围即可求得造价的取值范围.
试题解析：
设 (米)，则,所以(米2)
当且仅当时，取等号。即(米)， (米2)
(2)由正弦定理， 得
故围墙总造价
因为， 所以，
所以围墙总造价的取值范围为(元)
