2019届惠州一调数学（理科）试题 (解析版)

2019届惠州一调数学（理科）试题 (解析版)

‎ 惠州市2019届高三第一次调研考试 ‎ 理科数学 ‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分..‎ ‎（1）复数的共轭复数是（　　）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎（2）已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（3）函数的最小正周期为，则（ ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎（4）下列有关命题的说法错误的是（ ）‎ ‎(A)若“”为假命题，则与均为假命题；‎ ‎(B)“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎(C)若命题，则命题；‎ ‎(D)“”的必要不充分条件是“”.‎ ‎（5）已知各项均为正数的等比数列中，，，，成等差数列，则数列的前项和（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎（6）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的 一个和谐优美的几何体。它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）。其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线。当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（　　）‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ 数学试题（理科） 第 14 页，共 14 页 输出S 结束 输入 i=1‎ 是 开始 i= i +1‎ S=0‎ i ≥ 8 ?‎ 否 S = S / 8‎ ‎（7）若函数，（，且），且，则函数，在同一坐标系中的大致图象是（　　）‎ ‎ ‎ ‎(A) (B) ‎ ‎ ‎ ‎(C) (D)‎ ‎（8）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如 下表所示的数据.‎ 观测次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 观测数据 ‎40‎ ‎41‎ ‎43‎ ‎43‎ ‎44‎ ‎46‎ ‎47‎ ‎48‎ 在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程 图(其中是这8个数据的平均数)，则输出的的值是（　　）‎ ‎(A) 6 (B) 7 ( C) 8 (D) 9　‎ ‎（9）已知和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则该双曲线的离心率为 ( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（10）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥外接球的表面积为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（11）已知函数，若且对任意恒成立，则的最大值为（ ）‎ ‎(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6‎ ‎（12）设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，与抛物线准线交于点，若，则（　　）‎ 数学试题（理科） 第 14 页，共 14 页 ‎(A) (B) 4 (C) 3 (D) 2‎ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）若实数x，y满足的约束条件，则函数的最大值是　　　　．‎ ‎（14）已知向量，且与共线，则的值为　　　．‎ ‎（15）某公司招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是 ． ‎ ‎（16）已知数列是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数，记集合的元素个数为，把的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为___________．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………‎ 三．解答题：共70分.‎ ‎（17）（本小题满分12分）在中，锐角满足.（1）求角的大小；‎ ‎（2）点在边上，，，，求的面积。‎ 数学试题（理科） 第 14 页，共 14 页 ‎（18）（本小题满分12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，侧面是正方形，，是棱的延长线上一点，经过点、、的平面交棱于点，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．‎ ‎（19）（本小题满分12分）如图，椭圆E：经过点，且离心率为．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；（2）经过点，且斜率为的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A），‎ 证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．‎ 数学试题（理科） 第 14 页，共 14 页 ‎（20）（本小题满分12分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元．假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：‎ 甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ ‎ 天数 ‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎10‎ 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ ‎ 天数 ‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎（1）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；‎ ‎（2）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资为(单位：元), 求的分布列和数学期望； （ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.‎ ‎（21）（本小题满分12分）已知函数，（1）试确定函数的零点个数；‎ ‎（2）设，是函数的两个零点，证明：．‎ 数学试题（理科） 第 14 页，共 14 页 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆C于A、B两点，求弦长的取值范围．‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）当时，解不等式：．‎ 数学试题（理科） 第 14 页，共 14 页 惠州市2019届高三第一次调研考理科数学参考答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C D A B A B C C B D ‎（1）【解析】B；，其共轭复数为；‎ ‎（2）【解析】D；注意当时，，也满足，故选D；‎ ‎（3）【解析】C；，，；‎ ‎（4）【解析】D；由题可知：时， 成立，所以满足充分条件；但时，不一定为，所以 必要条件不成立，故D错；‎ ‎（5）【解析】A；设的公比为，则，，，或 （舍），；‎ ‎（6）【解析】B；因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合在一起的方形伞，所以其正视图和侧视图是一个圆。俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选B；‎ ‎（7）【解析】A；由题意是指数型的，是对数型的且是一个偶函数，由，可得出，故，故，由此特征可以确定C、D两选项不正确，且是一个减函数，由此知B不对，A选项是正确答案，故选A；‎ ‎（8）【解析】B；，‎ ‎ .故选B；‎ ‎（9）【解析】C；设，是等边三角形，，，，‎ 因此.故选C；‎ ‎（10）【解析】C；可求出正四棱锥的高为3．设其外接球的半径为，则由两者的位置关系可得，‎ 解得，所以．故选C.‎ 数学试题（理科） 第 14 页，共 14 页 ‎（11）【解析】B；考虑直线与曲线相切时的情形。‎ 设切点为，此时，‎ 即，化简得：，‎ 设，由于，。‎ 故，所以切线斜率的取值范围是，又，，选B；‎ ‎（12）【解析】D；设直线，，将直线方程代入抛物线方程得：，由韦达定理得： ①，分别过点作准线的垂线，垂足分别为点，，即 ②，解得，，故选D。‎ 二、填空题：‎ ‎（13） （14） （15） （16） ‎ ‎（13）【解析】画出不等式组表示的平面区域，在点处取得最大值，∴．‎ ‎（14）【解析】向量，，，又与共线，可得，解得．‎ ‎（15）【解析】由题意可得，有2种分配方案：‎ ‎①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；两名英语翻译人员的分配有2种可能；根据分步计数原理，共有3×2=6种分配方案．‎ ‎②甲部门要1个电脑编程人员，则有3种情况电脑特长学生，则方法有3种；两名英语翻译人员的分配方法有2种；共3×2=6种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有6+6=12种。‎ ‎（16）【解析】设，则，由题意，当，时， 取最小值1，当，时，取最大值，易知可取遍，即.数阵中前16行共有个数，所以第17行左数第10个数为 ‎。‎ 三、解答题：‎ 数学试题（理科） 第 14 页，共 14 页 ‎（17）解析：（1）， …………2分 ‎，， …………4分 ‎ 又，. …………6分 ‎（2）由（1）可知为等边三角形，且，‎ 在中，，即，， …………9分 ‎，即， ‎ ‎，故， …………11分 ‎ …………12分 ‎（18）（1）设四棱柱的棱长为 ‎∵，∽，∴ ‎ 由，，得， …………2分 ‎∵，∴， …………3分 是直四棱柱，，又，∴，‎ ‎∵，∴平面 …………‎ 数学试题（理科） 第 14 页，共 14 页 ‎4分 ‎∵平面，∴平面平面 …………5分 ‎（2）（方法一）过作于，于，连接 …………6分 由平面平面，平面平面，平面 …………7分 ‎∴，又，，∴平面，，‎ 是二面角的平面角 …………9分 在中，，，，，在中，，，，（、（求得任何一个给2分，两个全对给3分） ‎ ‎， …………12分 ‎（方法二）以为原点，、所在直线为轴、轴，平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，则，， …………7分 设平面的一个法向量为，则即，不妨取， ‎ ‎…………9分 数学试题（理科） 第 14 页，共 14 页 由（1）知，，平面的一个法向量为 …………11分 二面角的平面角的余弦值 …………12分 ‎（19）解：（1）由题意知， …………2分 所以椭圆E的方程为． …………4分 ‎（2）证明：设直线的方程为，代入，‎ 得，由题意知，‎ 设，且 ，则，， …………6分 所以 …………9分 ‎ ‎ 故直线AP与AQ的斜率之和为定值2． …………12分 ‎（20）解：（1） 记“抽取的两天送餐单数都大于‎40”‎为事件，则； …………4分 ‎（2）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为，则 当时，； 当时，； ‎ 当时，；当时，；‎ 数学试题（理科） 第 14 页，共 14 页 当时，． ‎ 所以的所有可能取值为152，156，160，166，172． …………6分 故的分布列为：‎ ‎152‎ ‎156‎ ‎160‎ ‎166‎ ‎172‎ ‎． …………8分 ‎（ⅱ）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为 ‎． …………10分 所以甲公司送餐员日平均工资为元． …………11分 由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为元．‎ 因为，故推荐小明去乙公司应聘． …………12分 ‎（21）解：（1）由得，令，‎ 函数的零点个数即直线与曲线的交点个数，‎ ‎ ……1分 如图，由得，∴函数在单调递增，‎ 由得，∴函数在单调递减。‎ ‎∴当时，函数有最大值， …………3分 又当时，，，当时，‎ ‎∴当时，函数没有零点；当或时，函数有一个零点；‎ 当时，函数有两个零点。 …………6分 ‎（2）证明：‎ 证法一：‎ 函数的零点即直线与曲线的交点横坐标，‎ 由（1）知，不妨设，得，‎ ‎∵函数在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴函数在单调递减，在上单调递增；‎ 数学试题（理科） 第 14 页，共 14 页 要证，只需证，∴只需证， …………8分 又，即要证 ‎ ‎∵由得 ‎ 构造函数，则， …………10分 当时，，，即函数在上单调递减，∴，‎ 即当时，，即. …………12分 证法二：‎ 由（1）知，不妨设，设，‎ ‎， …………8分 由，易知是减函数，当，，‎ 又，得，所以在递增，，‎ 即 ……10分 由得，又，，‎ 由在上单调递增，得在单调递减，‎ 又，，即. …………12分 ‎（22）解：（1）∵点C的直角坐标为， …………1分 ‎∴圆C的直角坐标方程为． …………2分 化为极坐标方程是 …………4分 ‎（2）将代入圆C的直角坐标方程， ‎ 得，即． …………6分 数学试题（理科） 第 14 页，共 14 页 ‎∴，． …………7分 ‎∴． …………9分 ‎∵，∴，∴．即弦长|AB|的取值范围是 …10分 ‎（23）解：（1）由题意，得，对∀x∈R恒成立，即，‎ 又，∴，解得； …………4分 ‎（2）当时，不等式可化为，‎ 当时，变形为，解得，此时不等式解集为；‎ 当时，变形为，解得：，此时不等式解集为；‎ 当时，不等式解得：，此时不等式解集为，‎ 综上，原不等式的解集为． …………10分 数学试题（理科） 第 14 页，共 14 页