【数学】2020届一轮复习人教B版12-8　离散型随机变量及其分布列学案

【数学】2020届一轮复习人教B版12-8　离散型随机变量及其分布列学案

‎12.8　离散型随机变量及其分布列 典例精析 题型一　离散型随机变量的分布列 ‎【例1】设离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ 求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列.‎ ‎【解析】首先列表如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2X＋1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎|X－1|‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 从而由上表得两个分布列如下：‎ ‎2X＋1的分布列：‎ ‎2X＋1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎|X－1|的分布列：‎ ‎|X－1|‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎【点拨】由于X的不同的值，Y＝f(X)会取到相同的值，这时要考虑所有使f(X)＝Y成立的X1，X2，…，Xi的值，则P (Y)＝P(f(X))＝P(X1)＋P(X2)＋…＋P(Xi)，在第(2)小题中充分体现了这一点.‎ ‎【变式训练1】 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过渡区，B肯定是受A感染的，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是，同样也假定D受A、B、C感染的概率都为，在这种假定之下，B、C、D中受A感染的人数X就是一个随机变量，写出X分布列，并求均值.‎ ‎【解析】依题知X可取1、2、3，‎ P(X＝1)＝1×(1－)×(1－)＝，‎ P(X＝2)＝1×(1－)×＋1××(1－)＝，‎ P(X＝3)＝1××＝，‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 均值E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ 题型二　两点分布 ‎【例2】在掷一枚图钉的随机试验中，令ξ＝如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量ξ的分布列.‎ ‎【解析】根据分布列的性质，针尖向下的概率是1－p.于是，随机变量的分布列是 ξ ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－p p ‎【点拨】本题将两点分布与概率分布列的性质相结合，加深了两点分布的概念的理解.‎ ‎【变式训练2】 若离散型随机变量ξ＝的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ P ‎9c‎2－c ‎3－‎‎8c ‎(1)求出c；‎ ‎(2)ξ是否服从两点分布？若是，成功概率是多少？‎ ‎【解析】(1)由(‎9c2－c)＋(3－‎8c)＝1，解得c＝或.‎ 又‎9c2－c≥0,3－‎8c≥0，所以c＝.‎ ‎(2)是两点分布.成功概率为3－‎8c＝.‎ 题型三　超几何分布 ‎【例3】 有10件产品，其中3件次品，7件正品，现从中抽取5件，求抽得次品数 X 的分布列.‎ ‎【解析】X的所有可能取值为 0,1,2,3，X＝0表示取出的5件产品全是正品，‎ P(X＝0)＝＝＝；‎ X＝1表示取出的5件产品有1件次品4件正品，‎ P(X＝1)＝＝＝；‎ X＝2表示取出的5件产品有2件次品3件正品，‎ P(X＝2)＝＝＝；‎ X＝3表示取出的5件产品有3件次品2件正品，‎ P(X＝3)＝＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎【点拨】在取出的5件产品中，次品数X服从超几何分布，只要代入公式就可求出相应的概率，关键是明确随机变量的所有取值.超几何分布是一个重要分布，要掌握它的特点.‎ ‎【变式训练3】一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为(　　)‎ A.　 　　 B. C. D. ‎【解析】由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝.选C.‎ 总结提高 ‎1.求离散型随机变量分布列的问题，需要综合运用排列、组合、概率等知识和方法.‎ ‎2.求离散型随机变量ξ的分布列的步骤：‎ ‎(1)求出随机变量ξ的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…)；‎ ‎(2)求出各取值的概率P(ξ＝xi)＝pi；‎ ‎(3)列出表格. ‎