2019届二轮复习小题专练数列的基本运算及性质课件（50张）

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第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 12 练　数列的基本运算及性质 [ 小题提速练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：考查等差数列、等比数列基本量的计算，考查数列的通项及求和 . 2 . 题目难度：中档难度或较难难度 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　等差数列与等比数列 要点重组 　 (1) 在等差数列中，若 m ＋ n ＝ p ＋ q ( m ， n ， p ， q ∈ N * ) ，则 a m ＋ a n ＝ a p ＋ a q . (2) 若 { a n } 是等差数列， 则 也 是等差数列 . (3) 在等差数列 { a n } 中， S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 也成等差数列 . (4) 在等比数列中，若 m ＋ n ＝ p ＋ q ( m ， n ， p ， q ∈ N * ) ，则 a m · a n ＝ a p · a q . (5) 在等比数列中， S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 也成等比数列 ( 当 q ＝－ 1 时， n 不能为偶数 ). 核心考点突破练 1.(2018· 全国 Ⅰ ) 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和，若 3 S 3 ＝ S 2 ＋ S 4 ， a 1 ＝ 2 ，则 a 5 等于 A. － 12 B . － 10 C.10 D.12 √ 解析　 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，由 3 S 3 ＝ S 2 ＋ S 4 ， 答案 解析 将 a 1 ＝ 2 代入上式，解得 d ＝－ 3 ， 故 a 5 ＝ a 1 ＋ (5 － 1) d ＝ 2 ＋ 4 × ( － 3) ＝－ 10. 故选 B. 2. 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 9 ＝ 1 ， S 18 ＝ 0 ，当 S n 取最大值时 n 的值为 A.7 B.8 C.9 D.10 答案 解析 √ 解析　 方法一　设公差为 d ， 解得 a 1 ＝ 17 ， d ＝－ 2 ， 所以 S n ＝ 17 n － n ( n － 1) ＝－ n 2 ＋ 18 n ， 当 n ＝ 9 时， S n 取得最大值，故选 C. 所以 a 1 ＋ a 18 ＝ a 9 ＋ a 10 ＝ 0 ，所以 a 10 ＝－ 1 ， 即数列 { a n } 中前 9 项为正值，从第 10 项开始为负值 ， 故 其前 9 项之和最大 . 故选 C. 3. 已知 S n 是各项均为正数的等比数列 { a n } 的前 n 项和， a 7 ＝ 64 ， a 1 a 5 ＋ a 3 ＝ 20 ，则 S 5 等于 A.31 B.63 C.16 D.127 √ 解析　 设公比为 q ( q >0) ，因为 a 1 a 5 ＋ a 3 ＝ 20 ， 答案 解析 ∵ a 3 >0 ， ∴ a 3 ＝ 4 ， ∵ a 7 ＝ a 3 q 4 ＝ 64 ， ∴ q ＝ 2 ， a 1 ＝ 1. 4. 设 { a n } 是公比为 q 的等比数列， | q |>1 ，令 b n ＝ a n ＋ 1( n ＝ 1,2 ， … ) ，若数列 { b n } 有连续四项在集合 { － 53 ，－ 23,19,37,82} 中，则 6 q ＝ ____. 解析　 由题意知，数列 { b n } 有连续四项在集合 { － 53 ，－ 23 ， 19,37,82} 中 ， 说明 { a n } 有连续四项在集合 { － 54 ，－ 24 ， 18,36,81} 中 ， 由于 { a n } 中连续四项至少有一项为负， ∴ q <0 ， 又 ∵ | q |>1 ， ∴ { a n } 的连续四项为－ 24 ， 36 ， － 54 ， 81 ， 答案 解析 － 9 考点二　数列的通项与求和 方法技巧 　 (1) 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解 . √ 答案 解析 √ 答案 解析 解析　 ∵ 数列 { a n } 满足 a 1 a 2 a 3 … a n ＝ ( n ∈ N * ) ， ∴ 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 2 ； 当 n ≥ 2 时， a 1 a 2 a 3 … a n － 1 ＝ ， 可得 a n ＝ 2 2 n － 1 ， n ≥ 2 ， 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 2 满足上式 ， 7.(2018· 全国 Ⅰ ) 记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和 . 若 S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，则 S 6 ＝ ______. 解析　 ∵ S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，当 n ≥ 2 时， S n － 1 ＝ 2 a n － 1 ＋ 1 ， ∴ a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 a n － 2 a n － 1 ( n ≥ 2) ， 即 a n ＝ 2 a n － 1 ( n ≥ 2). 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 2 a 1 ＋ 1 ，得 a 1 ＝－ 1. ∴ 数列 { a n } 是首项 a 1 ＝－ 1 ，公比 q ＝ 2 的等比数列 ， 答案 解析 － 63 ∴ S 6 ＝ 1 － 2 6 ＝－ 63. 8. 在已知数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，且当 n ≥ 2 时， 有 ＝ 1 成立，则 S 2 017 ＝ ________. 答案 解析 考点三　数列的综合应用 方法技巧 　 (1) 以函数为背景的数列问题、可以利用函数的性质等确定数列的通项 a n 、前 n 项和 S n 的关系 . (2) 和不等式有关的数列问题，可以利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性等求最值来解决 . 9. 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax 的图象在点 A (0 ， f (0)) 处的切线 l 与直线 2 x － y ＋ 2 ＝ 0 平行，若 数列 的 前 n 项和为 S n ，则 S 20 的值为 √ 答案 解析 解析　 因为 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ，所以 f ′ ( x ) ＝ 2 x ＋ a ， 又 函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax 的图象在点 A (0 ， f (0)) 处的切线 l 与直线 2 x － y ＋ 2 ＝ 0 平行 ， 所以 f ′ (0) ＝ a ＝ 2 ，所以 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x ， 10. 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2 ＋ bn ＋ c ，等比数列 { b n } 的前 n 项和 T n ＝ 3 n ＋ d ，则向量 a ＝ ( c ， d ) 的模为 A.1 B . C. D . 无法确定 解析　 由等差数列与等比数列的前 n 项和公式 知， c ＝ 0 ， d ＝－ 1 ， 所以 向量 a ＝ ( c ， d ) 的模为 1. √ 答案 解析 11. 设等比数列 { a n } 满足 a 1 ＋ a 3 ＝ 10 ， a 2 ＋ a 4 ＝ 5 ，则 a 1 a 2 … a n 的最大值为 _____. 答案 解析 64 解析　 由已知 a 1 ＋ a 3 ＝ 10 ， a 2 ＋ a 4 ＝ a 1 q ＋ a 3 q ＝ 5 ， 又 n ∈ N * ，所以当 n ＝ 3 或 4 时， a 1 a 2 … a n 取最大值为 2 6 ＝ 64. 12. 已知函数 f ( x ) ＝ 3| x ＋ 5| － 2| x ＋ 2| ，数列 { a n } 满足 a 1 < － 2 ， a n ＋ 1 ＝ f ( a n ) ， n ∈ N * . 若要使数列 { a n } 成等差数列，则 a 1 的取值集合为 ___________________. 答案 解析 所以若数列 { a n } 成等差数列 ， 则 当 a 1 为直线 y ＝ x ＋ 11 与直线 y ＝－ x － 11 的交点的横坐标 ， 即 a 1 ＝－ 11 时，数列 { a n } 是以－ 11 为首项， 11 为公差的等差数列 ； 当 f ( a 1 ) ＝ a 1 ，即 5 a 1 ＋ 19 ＝ a 1 或－ a 1 － 11 ＝ a 1 ， 1. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ，当整数 n ＞ 1 时， S n ＋ 1 ＋ S n － 1 ＝ 2( S n ＋ S 1 ) 都成立，则 S 15 等于 A.210 B.211 C.224 D.225 易错易混专项练 解析 　 当 n ＞ 1 时， S n ＋ 1 － S n ＝ S n － S n － 1 ＋ 2 ， ∴ a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 2 ， n ≥ 2 ， ∴ a n ＋ 1 － a n ＝ 2 ， n ≥ 2. ∴ 数列 { a n } 从第二项开始组成公差为 2 的等差数列， √ 答案 解析 2. 已知数列 { a n } 满足： a n ＋ 1 ＝ a n (1 － 2 a n ＋ 1 ) ， a 1 ＝ 1 ，数列 { b n } 满足： b n ＝ a n · a n ＋ 1 ，则数列 { b n } 的前 2 017 项的和 S 2 017 ＝ ______. 答案 解析 3. 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 33 ， a n ＋ 1 － a n ＝ 2 n ， 则 的 最小值为 ____. 答案 解析 解析　 由题意，得 a 2 － a 1 ＝ 2 ， a 3 － a 2 ＝ 4 ， … ， a n － a n － 1 ＝ 2( n － 1) ， n ≥ 2 ， 累加整理可得 a n ＝ n 2 － n ＋ 33 ， n ≥ 2 ， 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 33 也满足， 解题秘籍 　 (1) 利用 a n ＝ S n － S n － 1 寻找数列的关系，一定要注意 n ≥ 2 这个条件 . (2) 数列的最值问题可以利用基本不等式或函数的性质求解，但要考虑最值取到的条件 . 1. 等差数列 { a n } 的首项为 1 ，公差不为 0. 若 a 2 ， a 3 ， a 6 成等比数列，则 { a n } 的前 6 项和为 A. － 24 B . － 3 C.3 D.8 √ 解析　 由已知条件可得 a 1 ＝ 1 ， d ≠ 0 ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考押题冲刺练 解得 d ＝－ 2. 2.(2017· 浙江 ) 已知等差数列 { a n } 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，则 “ d ＞ 0 ” 是 “ S 4 ＋ S 6 ＞ 2 S 5 ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 方法一　 ∵ 数列 { a n } 是公差为 d 的等差数列， ∴ S 4 ＝ 4 a 1 ＋ 6 d ， S 5 ＝ 5 a 1 ＋ 10 d ， S 6 ＝ 6 a 1 ＋ 15 d ， ∴ S 4 ＋ S 6 ＝ 10 a 1 ＋ 21 d ， 2 S 5 ＝ 10 a 1 ＋ 20 d . 若 d ＞ 0 ，则 21 d ＞ 20 d ， 10 a 1 ＋ 21 d ＞ 10 a 1 ＋ 20 d ， 即 S 4 ＋ S 6 ＞ 2 S 5 . 若 S 4 ＋ S 6 ＞ 2 S 5 ，则 10 a 1 ＋ 21 d ＞ 10 a 1 ＋ 20 d ， 即 21 d ＞ 20 d ， ∴ d ＞ 0. ∴“ d ＞ 0 ” 是 “ S 4 ＋ S 6 ＞ 2 S 5 ” 的充要条件 . 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法二　 ∵ S 4 ＋ S 6 ＞ 2 S 5 ⇔ S 4 ＋ S 4 ＋ a 5 ＋ a 6 ＞ 2( S 4 ＋ a 5 ) ⇔ a 6 ＞ a 5 ⇔ a 5 ＋ d ＞ a 5 ⇔ d ＞ 0. ∴“ d ＞ 0 ” 是 “ S 4 ＋ S 6 ＞ 2 S 5 ” 的充要条件 . 故选 C . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 已知数列 { a n } 满足 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 ， a 1 ＝－ 5 ，则 | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 6 | 等于 A.9 B.15 C.18 D.30 √ 解析　 由 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 可得数列 { a n } 是等差数列，公差 d ＝ 2 ， 又 a 1 ＝－ 5 ，所以 a n ＝ 2 n － 7 ， 所以 | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ | a 3 | ＋ | a 4 | ＋ | a 5 | ＋ | a 6 | ＝ 5 ＋ 3 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 18 . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 已知两个等差数列 { a n } 和 { b n } 的前 n 项和分别为 A n 和 B n ，且 则使得 为整数的正整数 n 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析　 设 S n 为 { a n } 的前 n 项和， S n ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n ＝ 2 n － 1 ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析　 设 S 2 ＝ k ，则 S 4 ＝ 3 k ， 由数列 { a n } 为等比数列 ( 易知数列 { a n } 的公比 q ≠ － 1) ， 得 S 2 ， S 4 － S 2 ， S 6 － S 4 为等比数列， 又 S 2 ＝ k ， S 4 － S 2 ＝ 2 k ， ∴ S 6 － S 4 ＝ 4 k ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 设 { a n } 是任意等差数列，它的前 n 项和、前 2 n 项和与前 4 n 项和分别为 X ， Y ， Z ，则下列等式中恒成立的是 A.2 X ＋ Z ＝ 3 Y B.4 X ＋ Z ＝ 4 Y C.2 X ＋ 3 Z ＝ 7 Y D.8 X ＋ Z ＝ 6 Y √ 解析　 根据等差数列的性质 X ， Y － X ， S 3 n － Y ， Z － S 3 n 成等差数列 ， ∴ S 3 n ＝ 3 Y － 3 X ， 又 2( S 3 n － Y ) ＝ ( Y － X ) ＋ ( Z － S 3 n ) ， ∴ 4 Y － 6 X ＝ Y － X ＋ Z － 3 Y ＋ 3 X ， ∴ 8 X ＋ Z ＝ 6 Y . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 由 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ n ＋ 1 ，得 a n ＋ 1 － a n ＝ n ＋ 1 ， 则 a 2 － a 1 ＝ 1 ＋ 1 ， a 3 － a 2 ＝ 2 ＋ 1 ， a 4 － a 3 ＝ 3 ＋ 1 ， … ， a n － a n － 1 ＝ ( n － 1) ＋ 1 ， n ≥ 2. 以上等式相加，得 a n － a 1 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ ( n － 1) ＋ n － 1 ， n ≥ 2 ，把 a 1 ＝ 1 代入上式得， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 1 也满足， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 已知数列 { a n } 的前 m ( m ≥ 4) 项是公差为 2 的等差数列，从第 m － 1 项起， a m － 1 ， a m ， a m ＋ 1 ， … 成公比为 2 的等比数列 . 若 a 1 ＝－ 2 ，则 m ＝ ____ ， { a n } 的前 6 项和 S 6 ＝ ____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 4 28 解析　 由题意，得 a m － 1 ＝ a 1 ＋ ( m － 2) d ＝ 2 m － 6 ， 所以数列 { a n } 的前 6 项依次为－ 2,0,2,4,8,16 ， 所以 S 6 ＝ 28. 10. 若 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，且 2 S n ＝ a n ＋ 1 a n ， a 1 ＝ 4 ，则数列 { a n } 的 通项 公式 为 a n ＝ ________________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 因为 2 S n ＝ a n ＋ 1 a n ， a 1 ＝ 4 ， 所以 n ＝ 1 时， 2 × 4 ＝ 4 a 2 ，解得 a 2 ＝ 2. n ≥ 2 时， 2 S n － 1 ＝ a n a n － 1 ， 可得 2 a n ＝ a n ＋ 1 a n － a n a n － 1 ， 所以 a n ＝ 0( 舍去 ) 或 a n ＋ 1 － a n － 1 ＝ 2. n ≥ 2 时， a n ＋ 1 － a n － 1 ＝ 2 ，可得数列 { a n } 的奇数项与偶数项分别为等差数列 . 所以 a 2 k － 1 ＝ 4 ＋ 2( k － 1) ＝ 2 k ＋ 2 ， k ∈ N * ， a 2 k ＝ 2 ＋ 2( k － 1) ＝ 2 k ， k ∈ N * . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， S n ＝ n 2 ＋ 2 n ， b n ＝ a n a n ＋ 1 cos [( n ＋ 1)π] ，数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ，若 T n ≥ tn 2 对 n ∈ N * 恒成立，则实数 t 的取值范围是 ____________. ( － ∞ ，－ 5] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 3 . n ≥ 2 ， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ n 2 ＋ 2 n － [ ( n － 1) 2 ＋ 2( n － 1) ] ＝ 2 n ＋ 1. n ＝ 1 时也成立， 所以 a n ＝ 2 n ＋ 1. 所以 b n ＝ a n a n ＋ 1 cos [( n ＋ 1)π ] ＝ (2 n ＋ 1)(2 n ＋ 3)cos [ ( n ＋ 1)π ] ， n 为奇数时， cos [ ( n ＋ 1)π ] ＝ 1 ， n 为偶数时， cos [ ( n ＋ 1)π ] ＝－ 1 . 因此当 n 为奇数时 ， T n ＝ 3 × 5 － 5 × 7 ＋ 7 × 9 － 9 × 11 ＋ … ＋ (2 n ＋ 1)(2 n ＋ 3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为 T n ≥ tn 2 对 n ∈ N * 恒成立， 所以 t ≤ 2. 当 n 为偶数时， T n ＝ 3 × 5 － 5 × 7 ＋ 7 × 9 － 9 × 11 ＋ … － (2 n ＋ 1)(2 n ＋ 3) ＝－ 4 × (5 ＋ 9 ＋ 13 ＋ … ＋ 2 n ＋ 1) ＝－ 2 n 2 － 6 n . 因为 T n ≥ tn 2 对 n ∈ N * 恒成立， 所以 t ≤ － 5. 综上可得 t ≤ － 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本课结束