【数学】山东省济宁市第一中学2020届高三下学期二轮质量检测试题
山东省济宁市第一中学2020届
高三下学期二轮质量检测试题
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知集合M＝{x|－4
b，则( )
A.ln(a－b)>0 B.3a<3b C.a3－b3>0 D.|a|>|b|
4.已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos(－α)，sin(－α))，那么“a·b＝0”是“α＝kπ＋(k∈Z)”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点.若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( )
A. B. C.2 D.3
6.已知正项等比数列{an}满足：a2a8＝16a5，a3＋a5＝20，若存在两项am，an使得＝32，则＋的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知四棱锥M－ABCD，MA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD＋∠BAD＝180°，MA＝2，BC＝2，∠ABM＝30°.若四面体MACD的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A.20π B.22π C.40π D.44π
8.如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2，则|AP|的最小值为( )
A. B. C.3 D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
10.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007～2018年，某企业连续12年累计研发投入达4 100亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入(单位：十亿元)用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下列结论正确的有( )
A.2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年研发投入占营收比增量大
B.2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年研发投入增量小
C.该企业连续12年来研发投入逐年增加
D.该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加
11.将函数f(x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是( )
A.最大值为，图象关于直线x＝对称
B.图象关于y轴对称
C.最小正周期为π
D.图象关于点对称
12.已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是( )
A.函数y＝f(x)在区间内单调递增
B.当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值
C.函数y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增
D.当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为________.
14.已知(2－x2)(1＋ax)3的展开式的所有项系数之和为27，则实数a＝________，展开式中含x2的项的系数是________.
15. “中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有________种.
16.若函数f(x)＝aln x(a∈R)与函数g(x)＝在公共点处有共同的切线，则实数a的值为________.
四、 解答题（本题共6小题，共70分）
17.（10分）已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋n－1.
(1)设bn＝an＋n，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.
18.（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b2＋3c2－4bc＝3a2.
(1)求sin A；
(2)若3csin A＝asin B，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
19.（12分）已知如图1直角梯形ABCD，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，E
为AB的中点，沿EC将梯形ABCD折起(如图2)，使平面BED⊥平面AECD.
(1)证明：BE⊥平面AECD；
(2)在线段CD上是否存在点F，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由.
20.（12分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且与圆：x2＋y2＝2交于E，F两点，求|AB|·|EF|2的取值范围.
21.（12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]，(20，25]，(25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示.
(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；
男
女
总计
网购迷
20
非网购迷
45
总计
100
(3)调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：
网购总次数
支付宝支付次数
银行卡支付次数
微信支付次数
甲
80
40
16
24
乙
90
60
18
12
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的期望.
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
P(K2≥k0)
0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
22.（12分）已知函数f(x)＝x－1＋aex.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝－1时，设－10且f(x1)＋f(x2)＝－5，证明：x1－2x2>－4＋.
参考答案
一、单选
1.答案 C
解析 ∵N＝{x|－2b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b0，n>0)，
当且仅当n＝2m，即m＝4，n＝8时“＝”成立，
所以＋的最小值为.
又tan∠POF＝＝，所以等腰△POF的高h＝×＝，所以S△PFO＝××＝.
7.答案 C
解析 因为∠BCD＋∠BAD＝180°，
所以A，B，C，D四点共圆，∠ADC＝∠ABC＝90°.
由tan 30°＝，得AB＝2，所以AC＝＝6.
设AC的中点为E，MC的中点为O，则OE∥MA，
因为MA⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.
点O到M，A，C，D四点距离相等，
易知点O为四面体MACD外接球的球心，
所以OC＝＝，
所以该球的表面积S＝4π·OC2＝40π.
8.答案 B
解析 设||＝3a，||＝b，
则△ABC的面积为×3absin ＝2，
解得ab＝，
由＝m＋＝m＋，
且C，P，D三点共线，可知m＋＝1，即m＝，
故＝＋.
以AB所在直线为x轴，以A为坐标原点，过A作AB的垂线为y
轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，D(2a，0)，B(3a，0)，C，
则＝，＝(2a，0)，＝，
则||2＝2＋2＝b2＋a2＋ab＋b2＝b2＋a2＋1
≥2＋1＝ab＋1＝3.
故的最小值为.
二、 多选
9.答案 BD
解析 在A中，AB与CE的夹角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直，故A不符合；
在B中，AB⊥CE，AB⊥DE，CE∩DE＝E，所以AB⊥平面CDE，故B符合；
在C中，AB与EC的夹角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直，故C不符合；
在D中，AB⊥DE，AB⊥CE，DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE，故D符合.
10.答案 ABC
解析 对于选项A,2012年至2013年研发投入占营收比增量为2%,2017年至2018年研发投入占营收比增量为0.3%，所以该选项正确；
对于选项B,2013年至2014年研发投入增量为2,2015年至2016年研发投入增量为19，所以该选项正确；
对于选项C，该企业连续12年来研发投入逐年增加，所以该选项是正确的；
对于选项D，该企业连续12年来研发投入占营收比不是逐年增加，如2009年就比2008年的研发投入占营收比下降了.所以该选项是错误的.
11.答案 BCD
解析 将函数f(x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，
得到y＝cos－1＝cos(2x＋π)－1＝－cos 2x－1的图象；
再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－cos 2x的图象，对于函数g(x)，它的最大值为
，由于当x＝时，g(x)＝－，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x＝对称，故A错误；
由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确；
它的最小正周期为＝π，故C正确；
当x＝时，g(x)＝0，故函数g(x)的图象关于点对称，故D正确.
12.答案 BC
解析 对于A，函数y＝f(x)在区间内有增有减，故A不正确；
对于B，当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值，故B正确；
对于C，当x∈(－2,2)时，恒有f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(－2,2)上单调递增，故C正确；
对于D，当x＝3时，f′(x)≠0，故D不正确.
三、 填空
13.答案 1 200
解析 由题意知高三年级抽取了100－24－26＝50(人)，
所以该校学生总人数为600÷＝1 200.
14.答案 2 23
解析 由已知可得，(2－12)(1＋a)3＝27，则a＝2.
所以(2－x2)(1＋ax)3＝(2－x2)(1＋2x)3＝(2－x2)(1＋6x＋12x2＋8x3)，
所以展开式中含x2的项的系数是2×12－1＝23.
15.答案 600
解析 根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有C＝5(种)选法，再将“ea”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A＝120(种)情况，则不同的排列有5×120＝600(种).
16.答案
解析 函数f(x)＝aln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，g′(x)＝，
设曲线f(x)＝aln x与曲线g(x)＝的公共点为(x0，y0)，
由于在公共点处有共同的切线，
∴＝，解得x0＝4a2，a>0.
由f(x0)＝g(x0)，可得aln x0＝.
联立解得a＝.
三、 解答题
17.(1)证明 数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an＋n－1.
由bn＝an＋n，那么bn＋1＝an＋1＋n＋1，
∴＝＝＝2；
即公比q＝2，b1＝a1＋1＝2，
∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)解 由(1)可得bn＝2n，
∴an＋n＝2n，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－n，
∴数列{an}的前n项和为
Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n
＝(21＋22＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)
＝2n＋1－2－－.
18.解 (1)因为3b2＋3c2－4bc＝3a2，
所以b2＋c2－a2＝bc，
在△ABC中，由余弦定理得，
cos A＝＝，
所以sin A＝＝＝.
(2)因为3csin A＝asin B，
所以3ac＝ab，即b＝.
因为△ABC的面积为，所以bcsin A＝，
即××＝，解得c＝2.
所以b＝3，
在△ABC中，由余弦定理得，
a2＝b2＋c2－2bccos A＝6，
所以a＝，
所以△ABC的周长为2＋3＋.
19.(1)证明 连接AC，则AC⊥DE，
又平面BDE⊥平面AECD，平面BDE∩平面AECD＝DE，AC⊂平面AECD，
所以AC⊥平面BDE，
所以AC⊥BE.
又BE⊥CE，AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面AECD，
所以BE⊥平面AECD.
(2)解 如图，由(1)得BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE.
所以EA，EB，EC两两垂直，分别以，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系E－xyz如图所示，则E(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，
设F(a，0，2)，0≤a≤2，
所以＝(a－2，0，2)，＝(a，－2，2)，
设平面FAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝2，得n＝(2，2，2－a).
取平面EBC的法向量为m＝(1，0，0).
所以cos〈m，n〉＝＝＝，
所以a＝1.
所以线段CD上存在点F，且F为CD中点时，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为.
20.解 (1)由已知可得＝，
所以a2＝b2，
所以椭圆C的方程为＋＝1，
将点代入方程得b2＝2，即a2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)知椭圆的右焦点为(1，0).
①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝1，
不妨设A，B，E(1，1)，F(1，－1)，
所以|AB|＝，|EF|2＝4，|AB|·|EF|2＝；
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线l与椭圆方程得
可得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝＝＝，
因为圆心(0，0)到直线l的距离d＝，
所以|EF|2＝4＝，
所以|AB|·|EF|2＝·
＝＝·＝，
因为k2∈[0，＋∞)，
所以|AB|·|EF|2∈，
综上，|AB|·|EF|2的取值范围是.
21.解 (1)在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.01＋0.02＋0.04)×5＝0.35，
后2个小矩形的面积之和为(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以中位数位于区间(15，20]内.
设直方图的面积平分线为15＋x，则0.06x＝0.5－0.35＝0.15，得x
＝2.5，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.
(2)由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.35×100＝35，
所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人.
所以补全的列联表如下：
男
女
总计
网购迷
15
20
35
非网购迷
45
20
65
总计
60
40
100
因为K2＝＝≈6.593>5.024，查表得P(K2≥5.024)＝0.025，
所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.
(3)由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，.
设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为X，Y，
由题意知，X～B，Y～B.
所以E(X)＝2×＝1，E(Y)＝2×＝.
因为ξ＝X＋Y，
则E(ξ)＝E(X)＋E(Y)＝，
所以ξ的期望为.
22.(1)解 f′(x)＝1＋aex，
当a≥0时，f′(x)>0，
则f(x)在R上单调递增.
当a<0时，令f′(x)>0，得xln，
则f(x)的单调递减区间为.
综上所述，当a≥0时，f(x)在R上单调递增；
当a<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.
(2)证明 方法一 设g(x)＝f(x)＋2x＝－ex＋3x－1，则g′(x)＝－ex＋3，
由g′(x)<0得x>ln 3；
由g′(x)>0得x－4＋.
方法二 ∵f(x1)＋f(x2)＝－5，
∴x1＝＋－x2－3，
∴x1－2x2＝＋－3x2－3，
设g(x)＝ex－3x，则g′(x)＝ex－3，
由g′(x)<0得x0得x>ln 3，
故g(x)min＝g(ln 3)＝3－3ln 3.
∵－10，
∴x1－2x2>e－1＋3－3ln 3－3＝－3ln 3，
∵3ln 3＝ln 27<4，
∴x1－2x2>－4＋.
