2018届二轮复习数列的概念与简单表示法课件理（全国通用）

2018届二轮复习数列的概念与简单表示法课件理（全国通用）

第五章　数　　列 第一节　数列的概念与简单表示法 【 知识梳理 】 1. 数列的有关概念 概　念 含　义 数列 按照 _________ 排列的一列数 数列的项 数列中的 _________ 数列的通项 数列 {a n } 的第 n 项 a n 一定顺序 每一个数 概　念 含　义 通项公式 数列 {a n } 的第 n 项 a n 与 n 之间的关系能用 公式 _______ 表示 , 这个公式叫做数列 的通项公式 前 n 项和 数列 {a n } 中 , S n =___________ 叫做数列 的前 n 项和 a n = f(n ) a 1 +a 2 +…+a n 2. 数列的表示方法 列表法 列表格表示 n 与 a n 的对应关系 图象法 把点 ______ 画在平面直角坐标系中 公式法 通项 公式 把数列的通项使用 _____ 表示的方法 递推 公式 使用初始值 a 1 和 a n+1 =f(a n ) 或 a 1 ,a 2 和 a n+1 =f(a n ,a n-1 ) 等表示数列的方法 (n,a n ) 公式 3.a n 与 S n 的关系 若数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 则 S 1 S n -S n-1 4. 数列的分类 有限 无限 ＞ ＜ 【 特别提醒 】 1. 数列的项与项数 : 数列的项与项数是两个不同的概念 , 数列的项是指数列中某一确定的数 , 而项数是指数列的项对应的位置序号 . 2. 常见数列的通项公式 : ① 自然数列 :1,2,3,4,… 　 a n =n; ② 奇数列 :1,3,5,7,… 　 a n =2n-1; ③ 偶数列 :2,4,6,8,… 　 a n =2n; ④ 平方数列 :1,4,9,16,… 　 a n =n 2 ; ⑤2 的乘方数列 :2,4,8,16,… 　 a n =2 n ; ⑥正整数的倒数列 : ⑦ 重复数串列 :9,99,999,9 999,… 　 a n =10 n -1; ⑧ 符号数列 :-1,1,-1,1,… 或 1,-1,1,-1,… 　 a n =(-1) n 或 a n =(-1) n+1 . 【 小题快练 】 链接教材　练一练 1.( 必修 5P31 例 3 改编 ) 在数列 {a n } 中 ,a 1 =1,a n =1+ (n≥2), 则 a 4 = 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 由题意知， a 1 =1 ， a 2 =2 ， 2.( 必修 5P31 练习 T4(1) 改编 ) 数列 的一个通项公式 a n 是 ________. 【 解析 】 由已知得 , 数列可写成 故通项为 答案 : 感悟考题　试一试 3.(2016 · 石家庄模拟 ) 把 1,3,6,10,15,21,… 这些数叫做三角形数 , 这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形 ( 如图 ). 则第 7 个三角形数是　 ( 　　 ) A.27 B.28 C.29 D.30 【 解析 】 选 B. 由图可知 , 第 7 个三角形数是 1+2+3+4+5 +6+7=28. 4.(2016 · 成都模拟 ) 已知数列 {a n } 满足 a 1 =0,a n+1 = n∈N * , 则 a 2015 等于　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 根据题意 , 由于数列 {a n } 满足 a 1 =0,a n+1 = 那么可知 a 1 =0, 故可知数列的周期为 3, 那么可知 a 2 015 =a 2 = 5.(2016 · 九江模拟 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a 1 =1,a 2 =2, 且对于任意 n>1,n∈N * , 满足 S n+1 +S n-1 =2(S n +1), 则 S 10 的值为　 ( 　　 ) A.91 B.90 C.55 D.54 【 解析 】 选 A. 当 n=2 时 ,S 3 +S 1 =2(S 2 +1), 即 3+a 3 +1=2 × 4, 解得 a 3 =4; 当 n>1,n ∈ N * 时 ,S n+1 +S n-1 =2(S n +1),S n+2 +S n =2(S n+1 +1), 两式相减得 a n+2 +a n =2a n+1 , 故数列 {a n } 从第 二项起是首项为 2, 公差为 2 的等差数列 , 所以 S 10 =1+2 × 9+ × 2=91. 考向一 　已知数列的前几项求通项 【 典例 1】 (1)(2016 · 太原模拟 ) 已知数列 根据前三项给出的规律 , 则实数对 (a,b ) 可能是　 ( 　　 ) (2) 根据数列的前几项 , 写出下列各数列的一个通项 公式 . ①3,5,9,17,33,… 【 解题导引 】 (1) 根据前几项规律写出其通项公式后再列方程组求解 . (2) 观察项与项数之间的关系 , 项与前后项之间的关系 , 分子与分母的关系以及符号规律 . 【 规范解答 】 (1) 选 C. 由前三项可知 , 该数列的通项公 式可能为 a n = 所以 即 (2)① 观察各项的特点 : 每一项都比 2 的 n 次幂多 1, 所以 a n =2 n +1. ② 数列的符号规律为 (-1) n , 由第二、三、四项特点 , 可 将第一项看成 这样 , 先不考虑符号 , 则分母为 3,5, 7,9,… 可归纳为 2n+1, 分子为 3,8,15,24,… 将其每一项 加 1 后变成 4,9,16,25,… 可归纳为 (n+1) 2 , 综上 , 数列的 通项公式 a n = ③把数列改写成 分母依次为 1,2,3,…, 而分子 1,0,1,0,… 周期性出现 , 因此数列 的通项可表示为 ④将数列统一为 对于分子 3,5,7,9,…, 是序号的 2 倍加 1, 可得分子的通项公式为 b n =2n+1, 对于分母 2,5,10,17, … 联想到数列 1,4,9,16,… 即数列 {n 2 }, 可得分母的通 项公式为 c n =n 2 +1, 所以可得它的一个通项公式为 a n = 【 规律方法 】 由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 (1) 常用方法 : 观察 ( 观察规律 ) 、比较 ( 比较已知数列 ) 、归纳、转化 ( 转化为特殊数列 ) 、联想 ( 联想常见的数列 ) 等 . (2) 具体策略 : ① 分式中分子、分母的特征 ; ② 相邻项的变化特征 ; ③ 拆项后的特征 ; ④ 各项的符号特征和绝对值特征 ; ⑤化异为同 . 对于分式还可以考虑对分子、分母各个 击破 , 或寻找分子、分母之间的关系 ; ⑥ 对于符号交替出现的情况 , 可用 (-1) k 或 (-1) k+1 , k∈N * 处理 . 【 变式训练 】 1. 如图所示 , 这是一个正六边形的序列 , 则第 n 个图形的边数为　 ( 　　 ) A.5n-1 B.6n C.5n+1 D.4n+2 【 解析 】 选 C. 第一个图形是六边形 , 即 a 1 =6, 以后每个图形是在前一个图形的基础上增加 5 条边 , 所以 a 2 =6+5=11,a 3 =11+5=16, 观察可得选项 C 满足此条件 . 2. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数 . 他们研究过如图所示的三角形数 : 将三角形数 1,3,6,10,… 记为数列 {a n }, 将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 {b n }, 可以推测 : (1)b 2 012 是数列 {a n } 中的第 ________ 项 . (2)b 2k-1 =________.( 用 k 表示 ) 【 解析 】 由以上规律可知三角形数 1,3,6,10, … 的一个 通项公式为 a n = 写出其若干项有 :1,3,6,10,15, 21,28,36,45,55,66,78,91,105,120, … 发现其中能被 5 整除的为 10,15,45,55,105,120, 故 b 1 =a 4 ,b 2 =a 5 ,b 3 =a 9 , b 4 =a 10 ,b 5 =a 14 ,b 6 =a 15 . 从而由上述规律可猜想 : b 2k =a 5k = (k 为正整数 ), b 2k-1 =a 5k-1 = 故 b 2 012 =b 2×1 006 =a 5×1 006 =a 5 030 , 即 b 2 012 是数列 {a n } 中的第 5 030 项 . 答案 : (1)5 030 　 (2) 【 加固训练 】 1. 数列 则 是该数列的　 ( 　　 ) A. 第 6 项　　　　　　 B. 第 7 项 C. 第 10 项　　　 D. 第 11 项 【 解析 】 选 B. 原数列可写成 因为 所以 20=2+(n-1)×3, 所以 n=7. 2. 根据下图 5 个图形及相应点的个数的变化规律 , 猜测第 n 个图中有 ________ 个点 . 【 解析 】 观察图中 5 个图形点的个数分别为 1,1×2+1, 2×3+1,3×4+1,4×5+1, 故第 n 个图中点的个数为 (n-1) ×n+1=n 2 -n+1. 答案 : n 2 -n+1 3. 写出下列数列的一个通项公式 : (1)0.6,0.66,0.666,… 【 解析 】 (1) 数列变为 (2) 各项的分母分别为 2 1 ,2 2 ,2 3 ,2 4 ,… 易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母小 3. 因此把第 1 项变为 原数列化为 故 a n = (3) 分子是连续的偶数 , 且第 1 个数是 2, 所以用 2n 表示 ; 分母是 2 2 -1,4 2 -1,6 2 -1,8 2 -1,10 2 -1, 所以用 (2n) 2 -1 表示 . 所以 a n = (4) 正负交替出现 , 且奇数项为负 , 偶数项为正 , 所以用 (-1) n 表示 . 分母是连续奇数相乘的形式 , 观察和项数 n 的关系 , 用 (2n-1)(2n+1) 表示 . 分子是 2 1 +1,2 2 +1,2 3 +1,2 4 +1,… 用 2 n +1 表示 . 所以 a n = 考向二 　已知递推关系求通项 【 典例 2】 (1)(2016 · 长沙模拟 ) 已知 数列 {a n } 满足 :a 1 =2,(n+1)a n =(n-1)a n-1 (n≥2,n∈N * ), 则 =__________, 数列 {a n } 的通项 公式为 __________. (2) 已知数列 {a n } 满足 a 1 =1,a n+1 =3a n +2, 则 a n =________. 【 解题导引 】 (1) 把已知转化为 利用累乘法求解 . (2) 化为 a n+1 +m=p(a n +m ) 构造 {a n +m } 为等比数列 . 【 规范解答 】 (1)a 1 =2, 当 n=2 时 , 当 n=3 时 , 所以 利用累乘法得 : 所以 a n = 答案 : (2) 因为 a n+1 =3a n +2, 所以 a n+1 +1=3(a n +1), 所以 所以数列 {a n +1} 为等比数列 , 公比 q=3, 又 a 1 +1=2, 所以 a n +1=2 · 3 n-1 , 所以 a n =2 · 3 n-1 -1. 答案 : 2 · 3 n-1 -1 【 母题变式 】 1. 若本例题 (2) 条件 a n+1 =3a n +2 变为 a n+1 =3a n +3 n+1 , 求 a n . 【 解析 】 因为 a n+1 =3a n +3 n+1 , 所以 所以数列 是以 为首项 ,1 为公差的等差数列 . 所以 所以 a n =n · 3 n -2 · 3 n-1 . 2. 若本例题 (2) 条件 a n+1 =3a n +2 变为 a n+1 =9a n +2 · 3 n+1 , 求 a n . 【 解析 】 因为 a n+1 =9a n +2 · 3 n+1 , 所以 所以 所以数列 是以 为首项 ,3 为公比的等比数列 . 所以 所以 a n =4 · 3 2n-2 -3 n . 【 规律方法 】 典型的递推数列及处理方法 递推式 方法 转化过程 a n+1 =a n +f(n ) 累加法 (a 2 -a 1 )+(a 3 -a 2 )+…+ (a n -a n-1 )=a n -a 1 累乘法 递推式 方法 转化过程 a n+1 =pa n +q (p≠0,1,q≠0) 转化法 化为 a n+1 +m=p(a n +m ) 构 造 {a n +m } 为等比数列 a n+1 =pa n +q·p n+1 (p≠0,1,q≠0) 转化法 化为 构造 为等差数列 【 变式训练 】 在数列 {a n } 中 ,a n+1 =3 a n 2 ,a 1 =3, 则 a n = ________. 【 解析 】 由已知 ,a n >0, 在递推关系式两边取对数 , 有 lga n+1 =2lga n +lg3. 令 b n =lga n , 则 b n+1 =2b n +lg3. 所以 b n+1 +lg3=2(b n +lg3), 所以 {b n +lg3} 是等比数列 . 所以 b n +lg3=2 n-1 · 2lg3=2 n lg3. 所以 b n =2 n lg3-lg3=(2 n -1)lg3=lga n . 所以 a n = 3 2 n -1 . 答案 : 3 2 n -1 【 加固训练 】 1. 在数列 1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,… 中 ,x 应取 ( 　　 ) A.19 　 B.20 　 C.21 　 D.22 【 解析 】 选 C.a 1 =1,a 2 =1,a n+2 =a n+1 +a n , 所以 x=8+13=21. 2. 在数列 {a n } 中 ,a 1 =2,a n+1 =a n + 则 a n 等于 ( 　　 ) A.2+ln n 　　 B.2+(n-1)ln n C.2+nln n 　　 D.1+n+ln n 【 解析 】 选 A. 由已知 ,a n+1 -a n = a 1 =2, 所以 a n -a n-1 = (n≥2), a n-1 -a n-2 = … a 2 -a 1 = 将以上 n-1 个式子叠加 , 得 =lnn(n≥2). 所以 a n =2+lnn(n≥2), 经检验 n=1 时也适合 . 3. 设数列 {a n } 满足 求 a n . 【 解析 】 因为 a n+1 = 所以 所以 又 所以 是以 为首项 , 为公比的等比数列 , 所以 所以 a n = 考向三 　 a n 与 S n 关系式的应用 【 考情快递 】 命题方向 命题视角 已知 S n 求 a n 问题 主要考查已知数列的前 n 项和 , 求通项 S n 与 a n 的关系问题 以 S n 与 a n 的关系为载体 , 转化为等差、等比数列问题 【 考题例析 】 命题方向 1: 已知 S n 求 a n 问题 【 典例 3】 (2016 · 德阳模拟 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =3n 2 -2n+1, 则其通项公式为 ________. 【 解题导引 】 分 n=1 与 n≥2 两种情况求解 . 【 规范解答 】 当 n=1 时 ,a 1 =S 1 =3×1 2 -2×1+1=2, 当 n≥2 时 ,a n =S n -S n-1 =3n 2 -2n+1-[3(n-1) 2 -2(n-1)+1] =6n-5, 显然当 n=1 时 , 不满足上式 . 故数列的通项公式为 a n = 答案 : a n = 【 易错警示 】 解答典例 3 会出现以下错误 : 直接由 a n =S n -S n-1 求出通项公式 , 忽略了 n=1 时的情况而致误 . 【 母题变式 】 1. 若本例中条件 “ 前 n 项和 S n =3n 2 -2n+1 ” 改为 “ 前 n 项积为 T n =3n 2 -2n+1 ” , 求 a n . 【 解析 】 当 n=1 时 ,a 1 =T 1 =3 × 1 2 -2 × 1+1=2, 当 n≥2 时 ,a n = 显然当 n=1 时 , 满足上式 . 故数列的通项公式为 a n = 2. 若本例中条件 “ 前 n 项和 S n =3n 2 -2n+1 ” 改为 “ a 1 +2a 2 +3a 3 +4a 4 +…+na n =3n 2 -2n+1 ” , 求 a n . 【 解析 】 设 a 1 +2a 2 +3a 3 +4a 4 + … +na n =T n , 当 n=1 时 ,a 1 =T 1 =3×1 2 -2×1+1=2, 当 n≥2 时 ,na n =T n -T n-1 =3n 2 -2n+1-[3(n-1) 2 -2(n-1)+1] =6n-5, 因此 a n = 显然当 n=1 时 , 不满足上式 . 故数列的通项公式为 a n = 命题方向 2:S n 与 a n 的关系问题 【 典例 4】 (2015 · 全国卷 Ⅱ) 设 S n 是数列 {a n } 的前 n 项和 , 且 a 1 =-1,a n+1 =S n S n+1 , 则 S n =__________. 【 解题导引 】 将 a n+1 转化为 S n 与 S n+1 , 再求解 . 【 规范解答 】 由已知得 a n+1 =S n+1 -S n =S n+1 · S n , 两边同时 除以 -S n+1 · S n , 得 故数列 是以 -1 为首 项 ,-1 为公差的等差数列 , 则 =-1-(n-1)=-n, 所以 S n = 答案 : 【 技法感悟 】 1. 已知 S n 求 a n 的三个步骤 (1) 先利用 a 1 =S 1 求出 a 1 . (2) 用 n-1 替换 S n 中的 n 得到一个新的关系 , 利用 a n =S n -S n-1 (n≥2) 便可求出当 n≥2 时 a n 的表达式 . (3) 对 n=1 时的结果进行检验 , 看是否符合 n≥2 时 a n 的表达式 , 如果符合 , 则可以把数列的通项公式合写 ; 如果不符合 , 则应该分 n=1 与 n≥2 两段来写 . 2.S n 与 a n 关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求 , 将问题向不同的两个方向转化 , (1) 利用 a n =S n -S n-1 (n≥2) 转化为只含 S n ,S n-1 的关系式 ,(2) 利用 S n -S n-1 =a n (n≥2) 转化为只含 a n ,a n-1 的关系式 , 再求解 . 【 题组通关 】 1.(2016 · 衡水模拟 ) 设数列 {a n } 的前 n 项和 S n =n 2 , 则 a 8 的值为　 ( 　　 ) A.15 　　 B.16 　 C.49 　 D.64 【 解析 】 选 A.a 8 =S 8 -S 7 =8 2 -7 2 =15. 2.(2016 · 唐山模拟 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a 1 =1,S n =2a n+1 , 则 S n = 　 ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 因为 S n =2a n+1 , 所以当 n ≥ 2 时 ,S n-1 =2a n , 所以 a n =S n -S n-1 =2a n+1 -2a n (n≥2), 即 (n≥2), 又 a 2 = 所以 a n = 当 n=1 时 ,a 1 =1≠ 所以 a n = 所以 S n =2a n+1 = 3.(2016 · 衡阳模拟 ) 若数列 {a n } 的前 n 项和 S n = 则 {a n } 的通项公式是 a n =________. 【 解析 】 当 n=1 时 , 由已知 S n = 得 a 1 = 即 a 1 =1; 当 n ≥ 2 时 , 由已知得到 S n-1 = 所以 a n =S n - S n-1 = 所以 a n =-2a n-1 , 所以数列 {a n } 为以 1 为首项 , 以 -2 为公比的等比数列 , 所以 a n =(-2) n-1 . 答案 : (-2) n-1 4.(2016 · 郑州模拟 ) 已知各项均为正数的数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n >1, 且 6S n =(a n +1)(a n +2),n∈N * . 求数列 {a n } 的通项公式 . 【 解析 】 由 a 1 =S 1 = (a 1 +1)(a 1 +2), 解得 a 1 =1 或 a 1 =2. 由已知 a 1 =S 1 >1, 因此 a 1 =2. 又由 a n+1 =S n+1 -S n = (a n+1 +1)(a n+1 +2)- (a n +1)(a n +2), 得 a n+1 -a n -3=0 或 a n+1 =-a n . 因为 a n >0, 故 a n+1 =-a n 不成立 , 舍去 . 因此 a n+1 -a n -3=0, 即 a n+1 -a n =3, 从而 {a n } 是公差为 3, 首项为 2 的等差数列 , 故 {a n } 的通项公式为 a n =3n-1.