数学卷·2018届河北省衡水市武邑中学高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届河北省衡水市武邑中学高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是¬q成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 ‎2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　）‎ A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q ‎3．如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a＞3 B．a＜﹣2 C．a＞3或a＜﹣2 D．a＞3或﹣6＜a＜﹣2‎ ‎4．若存在x0∈R，使ax02+2x0+a＜0，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a＜1 B．a≤1 C．﹣1＜a＜1 D．﹣1＜a≤1‎ ‎5．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，那么此双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎6．曲线y=﹣2x在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（　　）‎ A．1 B．45° C．﹣45° D．135°‎ ‎7．已知点F1（﹣4，0）、F2（4，0），曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，则该曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1（y≥3） B． =1‎ C．﹣=1（x≥3） D．﹣=1‎ ‎8．点P为椭圆+=1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为（　　）‎ A．（±，1） B．（，±1） C．（，1） D．（±，±1）‎ ‎9．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（　　）‎ A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2‎ ‎10．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎11．已知F1，F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（　　）‎ A． +=4 B． +=2‎ C．e12+e22=4 D．e12+e22=2‎ ‎12．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．抛物线y=ax2（a≠0）的焦点坐标是　　．‎ ‎14．椭圆+=1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为　　．‎ ‎15．曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为　　．‎ ‎16．①若椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，动点P满足|PF1|+|PF2|＞10，则动点P不一定在该椭圆外部；‎ ‎②椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则b=c（c为半焦距）；‎ ‎③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点；‎ ‎④抛物线y2=4x上动点P到其焦点的距离的最小值为1．‎ 其中真命题的序号为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．‎ ‎18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足2＜x≤3．‎ ‎（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎19．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．‎ ‎（1）求a和b的值；‎ ‎（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点．‎ ‎20．已知椭圆+=1及直线l：y=x+m，‎ ‎（1）当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．‎ ‎21．已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．‎ ‎（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎22．已知函数f（x）=x2+alnx．‎ ‎（1）当a=﹣2e时，求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）若函数g（x）=f（x）+在[1，2]上是单调增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是¬q成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 ‎【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】先求出条件q和¬q的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由＜1，得x＜0或x＞1，即q：x＜0或x＞1，‎ ‎∴¬q：0≤x≤1．‎ ‎∴p是¬q成立必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　）‎ A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．‎ ‎【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，‎ q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，‎ 命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括 ‎“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”‎ 或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”‎ 或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．‎ 所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a＞3 B．a＜﹣2 C．a＞3或a＜﹣2 D．a＞3或﹣6＜a＜﹣2‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】利用方程表示焦点在x轴上的椭圆，建立不等式，即可求得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意，∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，‎ ‎∴a2＞a+6＞0，解得a＞3或﹣6＜a＜﹣2‎ ‎∴实数a的取值范围是a＞3或﹣6＜a＜﹣2‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．若存在x0∈R，使ax02+2x0+a＜0，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a＜1 B．a≤1 C．﹣1＜a＜1 D．﹣1＜a≤1‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】先求对任意x∈R，都有ax2+2x+a≥0恒成立时a的取值范围，再求该范围的补集即可．‎ ‎【解答】解：命题：存在x0∈R，使的否定为：对任意x∈R，都有ax2+2x+a≥0恒成立，‎ 下面先求对任意x∈R，都有ax2+2x+a≥0恒成立时a的范围：‎ ‎①当a=0时，该不等式可化为2x≥0，即x≥0，显然不合题意；‎ ‎②当a≠0时，则有，解得a≥1，‎ 综①②得a的范围为：a≥1，‎ 所以，存在x0∈R，使的a的取值范围为：a＜1．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，那么此双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a=b，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，‎ 由两条渐近线互相垂直，可得﹣•=﹣1，‎ 可得a=b，即有c==a，‎ 可得离心率e==．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．曲线y=﹣2x在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（　　）‎ A．1 B．45° C．﹣45° D．135°‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】本题考查的知识点为导数的几何意义及斜率与倾斜角的转化，要求曲线在点（1，）处切线的倾斜角，我们可以先求出曲线方程的导函数，并计算出点（1，）的斜率即该点的导数值，然后再计算倾斜角．‎ ‎【解答】解：∵‎ ‎∴y'=x﹣2‎ ‎∴y'|x=1=1﹣2=﹣1‎ 即曲线在点（1，）处切线的斜率为：﹣1‎ 故曲线在点（1，）处切线的倾斜角为：135°‎ 故选D ‎　‎ ‎7．已知点F1（﹣4，0）、F2（4，0），曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，则该曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1（y≥3） B． =1‎ C．﹣=1（x≥3） D．﹣=1‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】由已知得动点P的轨迹是以F1（﹣4，0）、F2（4，0）为焦点，实轴长为6和双曲线的右支，由此能求出 ‎【解答】解：∵点F1（﹣4，0）、F2（4，0），曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，‎ ‎∴动点P的轨迹是以F1（﹣4，0）、F2（4，0）为焦点，‎ 实轴长为6和双曲线的右支，‎ ‎∴（x≥3）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．点P为椭圆+=1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为（　　）‎ A．（±，1） B．（，±1） C．（，1） D．（±，±1）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据已知，点P是椭圆+=1上的一点，以点P以及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，根据该三角形的底边|F1F2|=2，我们易求出P点的横坐标，进而求出P点的纵坐标，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：设P（x0，y0），‎ ‎∵点P是椭圆+=1上的一点，∴+=1，‎ ‎∵a2=5，b2=4，∴c=1，‎ ‎∴=|F1F2|•|y0|=|y0|=1，‎ ‎∴y0=±1，‎ ‎∵+=1，∴x0=±．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（　　）‎ A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，‎ 两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），‎ 又因为直线的斜率为1，所以=1，‎ 所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，‎ 即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=﹣=﹣1．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．‎ ‎【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，‎ ‎∵|AF|=3，‎ ‎∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3‎ ‎∴2+3cosθ=3‎ ‎∴cosθ=‎ ‎∵m=2+mcos（π﹣θ）‎ ‎∴‎ ‎∴△AOB的面积为S==‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．已知F1，F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（　　）‎ A． +=4 B． +=2‎ C．e12+e22=4 D．e12+e22=2‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，并表示出e1和e2，根据椭圆和双曲线的定义、勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，‎ 则e1=，e2=，‎ 不妨令P在双曲线的右支上，‎ 由双曲线的定义得，|PF1|﹣|PF2|=2m ①‎ 由椭圆的定义得，|PF1|+|PF2|=2a ②‎ 又∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2 ③‎ ‎①2+②2得，|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2 ④‎ 将④代入③得，a2+m2=2c2，‎ 即，即，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　）‎ A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1‎ ‎【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C： +=1．利用，即可求得椭圆方程．‎ ‎【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x ‎∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，‎ ‎∴（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴a2=4b2‎ ‎∴a2=20，b2=5‎ ‎∴椭圆方程为： +=1‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．抛物线y=ax2（a≠0）的焦点坐标是　（0，）　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标．‎ ‎【解答】解：当a＞0时，整理抛物线方程得x2=y，p=‎ ‎∴焦点坐标为 （0，）．‎ 当a＜0时，同样可得．‎ 故答案为：（0，）．‎ ‎　‎ ‎14．椭圆+=1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用F（，0）为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，建立方程组，求解即可得椭圆方程．‎ ‎【解答】解：∵椭圆+=1（a＞b＞0），F（，0）为其右焦点，‎ 过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，‎ ‎∴，解得a2=4，b2=2，c2=2，‎ ‎∴椭圆C的方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为　　．‎ ‎【考点】导数的几何意义；直线的点斜式方程．‎ ‎【分析】先对函数进行求导，求出在x=1处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．‎ ‎【解答】解：∵y=x3+x，∴y'=x2+1∴f'（1）=2‎ 在点（1，）处的切线为：y=2x﹣与坐标轴的交点为：（0，），（，0）‎ S=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．①若椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，动点P满足|PF1|+|PF2|＞10，则动点P不一定在该椭圆外部；‎ ‎②椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则b=c（c为半焦距）；‎ ‎③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点；‎ ‎④抛物线y2=4x上动点P到其焦点的距离的最小值为1．‎ 其中真命题的序号为　②③④　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据点与椭圆的位置关系，可判断①； 根据离心率，求出b，c关系，可判断②；求出椭圆和双曲线的焦点，可判断③；求出抛物线上点到焦点的最小距离，可判断④‎ ‎【解答】解：①若椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，动点P满足|PF1|+|PF2|＞10，则动点P一定在该椭圆外部，故错误；‎ ‎②椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则b=c=a（c为半焦距），正确；‎ ‎③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点（，0），正确；‎ ‎④抛物线y2=4x上动点P到其焦点的距离的最小值为=1，正确．‎ 故答案为：②③④．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设抛物线方程为y2=2px（p≠0），依题意，可求得AB=2|p|，利用△OAB的面积等于4，即可求得p，从而可得此抛物线的标准方程．‎ ‎【解答】解：由题意，设抛物线方程为y2=2px（p≠0），‎ 焦点F（），直线l：x=，‎ ‎∴A、B两点坐标为（），（），‎ ‎∴AB=2|p|．‎ ‎∵△OAB的面积为4，‎ ‎∴•||•2|p|=4，‎ ‎∴p=±2．‎ ‎∴抛物线的标准方程为y2=±4x．‎ ‎　‎ ‎18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足2＜x≤3．‎ ‎（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．‎ ‎【分析】（I）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，若p∧q为真，则p真且q真，即可得出；‎ ‎（II）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）对于命题p：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，‎ 又a＞0，∴a＜x＜3a，‎ 当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．‎ 由已知q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．‎ 若p∧q为真，则p真且q真，‎ ‎∴实数x的取值范围是2＜x＜3．‎ ‎（Ⅱ）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，‎ 设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A⊊B，‎ 又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|￢q}={x≤2或x＞3}，‎ 则0＜a≤2且3a＞3，‎ ‎∴实数a的取值范围是1＜a≤2．‎ ‎　‎ ‎19．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．‎ ‎（1）求a和b的值；‎ ‎（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点．‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】（1）先求函数的导函数，然后根据1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点，则f'（1）=0，f'（﹣1）=0，建立方程组，解之即可求出a与b的值；‎ ‎（2）先求出g'（x）的解析式，求出g'（x）=0的根，判定函数的单调性，从而函数的g（x）的极值点．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f'（x）=3x2+2ax+b．‎ ‎∵1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点，‎ ‎∴f'（1）=3+2a+b=0，f'（﹣1）=3﹣2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．‎ ‎（2）∵由（1）得，f（x）=x3﹣3x，‎ ‎∴g'（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2），解得x1=x2=1，x3=﹣2．‎ ‎∵当x＜﹣2时，g'（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g'（x）＞0，‎ ‎∴x=﹣2是g（x）的极值点．‎ ‎∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g'（x）＞0，∴x=1不是g（x）的极值点．‎ ‎∴g（x）的极值点是﹣2．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆+=1及直线l：y=x+m，‎ ‎（1）当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）将直线方程代入椭圆方程，求得9x2+6mx+2m2﹣8=0，由△≥0，即可求得实数m的取值范围；‎ ‎（2）由（1）可知，由韦达定理及弦长公式可知丨AB丨=•=•，当m=0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为．‎ ‎【解答】解：（1）将直线方程代入椭圆方程：，消去y，整理得：9x2+6mx+2m2﹣8=0，‎ 由△=36m2﹣36（2m2﹣8）=﹣36（m2﹣8），‎ ‎∵直线l与椭圆有公共点，‎ ‎∴△≥0，即﹣36（m2﹣8）≥0‎ 解得：﹣2≤m≤2，‎ 故所求实数m的取值范围为[﹣2，2]；‎ ‎（2）设直线l与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由（1）可知：利用韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1x2=，‎ 故丨AB丨=•=•=•，‎ 当m=0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为．‎ ‎　‎ ‎21．已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．‎ ‎（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；直线的一般式方程；直线与圆相交的性质；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）由题意可得点A，B，C的坐标，设出椭圆的标准方程，根据题意知2a=AC+BC，求得a，进而根据b，a和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．‎ ‎（2）设直线l的方程为y=kx+2．与椭圆方程联立，根据判别式大于0求得k的范围，设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．根据韦达定理求得x1+x2和x1x2‎ ‎，进而根据若以MN为直径的圆恰好过原点，推断则，得知x1x2+y1y2=0，根据x1x2求得y1y2代入即可求得k，最后检验看是否符合题意．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得点A，B，C的坐标分别为．‎ 设椭圆的标准方程是．‎ 则2a=AC+BC，‎ 即，所以a=2．‎ 所以b2=a2﹣c2=4﹣2=2．‎ 所以椭圆的标准方程是．‎ ‎（2）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2．‎ 由得（1+2k2）x2+8kx+4=0．‎ 因为M，N在椭圆上，‎ 所以△=64k2﹣16（1+2k2）＞0．‎ 设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．‎ 则，‎ 若以MN为直径的圆恰好过原点，则，‎ 所以x1x2+y1y2=0，‎ 所以，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，‎ 即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，‎ 所以，，即，‎ 得k2=2，‎ 经验证，此时△=48＞0．‎ 所以直线l的方程为，或．‎ 即所求直线存在，其方程为．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=x2+alnx．‎ ‎（1）当a=﹣2e时，求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）若函数g（x）=f（x）+在[1，2]上是单调增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）a=﹣2e时，求出f′（x），利用x变化时，f'（x），f（x）的变化情况可求函数f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）问题转化为a≥﹣2x2在[1，2]恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 当a=﹣2e时，f′（x）=2x﹣=，‎ 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：‎ x ‎（0，）‎ ‎（，+∞）‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 极小值 ‎∴f（x）的单调递减区间是（0，）；单调递增区间是（，+∞），‎ ‎∴极小值是f（）=0，无极大值；‎ ‎（2）g（x）=x2+alnx+，x＞0，‎ g′（x）=2x+﹣，‎ ‎∵函数g（x）在[1，2]上是单调增函数，‎ ‎∴g′（x）≥0在[1，2]恒成立，‎ 即a≥﹣2x2在[1，2]恒成立，‎ 令h（x）=﹣2x2，h′（x）=﹣﹣4x＜0在[1，2]恒成立，‎ ‎∴h（x）在[1，2]单调递减，‎ ‎∴h（x）max=h（1）=0，‎ ‎∴a≥0．‎